Cours : Réduction de matrices et Probabilités continues

Fiche de Cours : Réduction de matrices et Probabilités continues

Filière : BCPST 2ème année — Matière : Mathématiques

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PARTIE I : RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES

Dans cette partie, $K = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, $E$ désigne un $K$-espace vectoriel de dimension finie $n$, et $M_n(K)$ l’espace des matrices carrées d’ordre $n$.

1. Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres

Définitions

• Soit $f \in \mathcal{L}(E)$ et $M \in M_n(K)$.
• Un scalaire $\lambda \in K$ est une valeur propre de $f$ (ou de $M$) s’il existe un vecteur non nul $x \in E$ (ou $X \in M_{n,1}(K)$) tel que : $f(x) = \lambda x \quad (\text{resp. } MX = \lambda X)$
• Un tel vecteur $x$ (ou $X$) est appelé vecteur propre associé à $\lambda$.
• Le sous-espace propre associé à $\lambda$, noté $E_\lambda(f)$ ou $\ker(f - \lambda \text{id})$, est l’ensemble des vecteurs propres associés à $\lambda$ auguré du vecteur nul : $E_\lambda(f) = \{x \in E \mid f(x) = \lambda x\} = \ker(f - \lambda \text{id}_E)$

Proposition (Propriétés fondamentales)

1. $E_\lambda(f)$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
2. Une famille $(x_1, \dots, x_k)$ de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes $(\lambda_1, \dots, \lambda_k)$ est toujours libres.
3. En conséquence, la somme des sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes est directe : $\sum_{i=1}^k E_{\lambda_i}(f) = \bigoplus_{i=1}^k E_{\lambda_i}(f)$

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2. Polynôme caractéristique

Définition

Le polynôme caractéristique d’une matrice $M \in M_n(K)$ est le polynôme noté $\chi_M$ défini par : $\chi_M(\lambda) = \det(\lambda I_n - M) \quad (\text{ou } \det(M - \lambda I_n))$ Remarque: $\chi_M(\lambda)$ est un polynôme unitaire de degré $n$ en la variable $\lambda$.*

Théorème fondamental

Les valeurs propres de $M$ sur $K$ sont exactement les racines de son polynôme caractéristique $\chi_M$ dans $K$.

Propriétés et invariants

Pour toute matrice $M \in M_n(K)$ :

• Trace : La somme des racines de $\chi_M$ (comptées avec leur multiplicité) est égale à la trace de $M$, $\text{Tr}(M)$.
• Déterminant : Le produit des racines de $\chi_M$ (comptées avec leur multiplicité) est égal à $\det(M)$.
• Invariance par similitude : Si $A$ et $B$ sont semblables, alors $\chi_A = \chi_B$.

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3. Diagonalisation

Définitions

• Une matrice $M \in M_n(K)$ est dite diagonalisable s’il existe une matrice inversible $P \in M_n(K)$ et une matrice diagonale $D$ telles que : $M = P D P^{-1}$
• Un endomorphisme $f \in \mathcal{L}(E)$ est diagonalisable s’il existe une base de $E$ constituée de vecteurs propres de $f$.

Théorème de diagonalisation (Conditions nécessaires et suffisantes)

Soit $M \in M_n(K)$ (ou $f \in \mathcal{L}(E)$) et soient $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ les valeurs propres distinctes de $M$. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. $M$ est diagonalisable.
2. $\sum_{i=1}^k \dim(E_{\lambda_i}) = n$.
3. Pour tout $i \in \{1, \dots, k\}$, le polynôme $\chi_M$ est scindé sur $K$ et, si $\alpha_i$ est la multiplicité de $\lambda_i$ comme racine de $\chi_M$, on a l’égalité : $\dim(E_{\lambda_i}) = \alpha_i$ (Rappel : on a toujours l’inégalité $\dim(E_{\lambda_i}) \le \alpha_i$).

Corollaire important

Si $M$ possède $n$ valeurs propres distinctes dans $K$, alors $M$ est diagonalisable (le polynôme caractéristique est alors scindé à racines simples).

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4. Trigonalisation

Définition

Une matrice $M \in M_n(K)$ est dite trigonalisable s’il existe une matrice inversible $P$ et une matrice triangulaire supérieure $T$ telles que : $M = P T P^{-1}$

Théorème de trigonalisation

• Une matrice $M \in M_n(K)$ est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique $\chi_M$ est scindé sur $K$.
• Corollaire (fondamental pour $\mathbb{C}$) : Toute matrice de $M_n(\mathbb{C})$ est trigonalisable.

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5. Théorème de Cayley-Hamilton

Théorème

Soit $M \in M_n(K)$ et soit $\chi_M$ son polynôme caractéristique. Alors, la matrice $M$ annule son propre polynôme : $\chi_M(M) = 0_{M_n(K)}$ (Attention : l’évaluation s’effectue dans l’anneau $M_n(K)$, le terme constant $c_0 I_n$ remplace la constante scalaire).

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PARTIE II : PROBABILITÉS CONTINUES

1. Variables aléatoires à densité sur $\mathbb{R}$

Définition : Densité de probabilité

Une fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ est appelée densité de probabilité si :

1. $f$ est positive ou nulle : $\forall x \in \mathbb{R}, f(x) \ge 0$.
2. $f$ est continue (ou continue par morceaux) sur $\mathbb{R}$.
3. L’intégrale généralisée de $f$ sur $\mathbb{R}$ converge et vaut $1$ : $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1$

Définition : Variable aléatoire à densité

Une variable aléatoire réelle $X$ (définie sur un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, P)$) est dite à densité s’il existe une densité de probabilité $f$ telle que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, la fonction de répartition $F_X$ de $X$ s’exprime par : $F_X(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$ Propriété : $F_X$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ (sauf éventuellement en un nombre fini de points) et $F'_X(x) = f(x)$ là où $f$ est continue.

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2. Espérance, Variance et Moments

Espérance

Soit $X$ une variable aléatoire à densité de densité $f$. On dit que $X$ admet une espérance (ou est d’espérance finie) si l’intégrale (absolument convergente) suivante existe : $E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} t f(t) \, dt$

Variance et Écart-type

Si $X$ admet un moment d’ordre 2 (c’est-à-dire si $\int_{-\infty}^{+\infty} t^2 f(t) \, dt$ converge), alors $X$ admet une variance définie par : $V(X) = E\left[(X - E(X))^2\right] = E(X^2) - (E(X))^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} (t - E(X))^2 f(t) \, dt$ L’écart-type est $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.

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3. Lois usuelles continues

Loi	Support / Paramètres	Densité $f(x)$	Espérance $E(X)$	Variance $V(X)$
Uniforme $\mathcal{U}([a,b])$	$[a, b]$ ($a < b$)	$\frac{1}{b-a} \mathbb{I}_{[a,b]}(x)$	$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a)^2}{12}$
Exponentielle $\mathcal{mathcal{E}}(\lambda)$	$\mathbb{R}_+$ ($\lambda > 0$)	$\lambda e^{-\lambda x} \mathbb{I}_{\mathbb{R}_+}(x)$	$\frac{1}{\lambda}$	$\frac{1}{\lambda^2}$
Gaussienne (Normale) $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$	$\mathbb{R}$ ($\mu \in \mathbb{R}, \sigma > 0$)	$\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$	$\mu$	$\sigma^2$

Note sur la loi normale centrée réduite $X \sim \mathcal{N}(0,1)$ : Sa densité est notée $\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ et sa fonction de répartition $\Phi(x) = \int_{-\infty}^x \varphi(t) \, dt$. Si $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$, alors la variable $Y = \frac{X-\mu}{\sigma}$ suit la loi $\mathcal{N}(0,1)$.

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4. Couples de variables aléatoires à densité

Définition : Densité conjointe

Soit $(X, Y)$ un couple de variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb{R}^2$. Ce couple admet une densité conjointe $f_{(X,Y)} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ (positive, continue par morceaux) telle que pour tout domaine $D \subset \mathbb{R}^2$ : $P((X,Y) \in D) = \iint_D f_{(X,Y)}(x,y) \, dx \, dy$

Densités marginales

Si le couple $(X,Y)$ a pour densité conjointe $f_{(X,Y)}$, alors $X$ et $Y$ sont des variables à densité, et leurs densités marginales s’obtiennent par intégration : $f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{(X,Y)}(x, y) \, dy \quad \text{et} \quad f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{(X,Y)}(x, y) \, dx$

Indépendance

Les variables aléatoires $X$ et $Y$ sont dites indépendantes si, pour tous boréliens $A$ et $B$ de $\mathbb{R}$ : $P(X \in A \text{ et } Y \in B) = P(X \in A)P(Y \in B)$ Dans le cas à densité, $X$ et $Y$ sont indépendantes si et seulement si on peut choisir : $f_{(X,Y)}(x,y) = f_X(x) f_Y(y)$

Théorème de transfert (Cas du couple)

Si $g : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ est continue, alors l’espérance de la variable aléatoire $g(X,Y)$ existe si et seulement si l’intégrale double suivante converge absolument : $E[g(X,Y)] = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} g(x,y) f_{(X,Y)}(x,y) \, dx \, dy$ Conséquence (Linéarité) : $E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$. Si $X$ et $Y$ sont indépendantes : $E(XY) = E(X)E(Y)$ et $V(X+Y) = V(X) + V(Y)$.