Cours : Thermodynamique et échangeurs thermiques

📌 1. Définitions & Cadre d’étude

L’étude des systèmes ouverts et des échangeurs thermiques en filière PSI nécessite de manipuler les bilans énergétiques et massiques avec une rigueur mathématique absolue.

1.1. Système ouvert en régime permanent

Un système thermodynamique ouvert est délimité par une surface de contrôle $\Sigma$ fixe ou mobile à travers laquelle s’échangent de la masse, du travail et de la chaleur. Le régime est dit permanent (ou stationnaire) si toutes les variables intensives et extensives du système ainsi que les flux traversant la surface de contrôle sont indépendants du temps : $\forall M \in \Sigma \cup V, \quad \frac{\partial X}{\partial t} = 0$

1.2. Grandeurs massiques et flux

Soit $\dot{m} = \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}$ le débit massique ($\text{kg}\cdot\text{s}^{-1}$) traversant une section de la surface de contrôle. Pour toute grandeur extensive $X$ associée à une grandeur massique $x = X/m$, le flux convectif de $X$ à travers la section est donné par $\dot{m}x$. Le premier principe de la thermodynamique appliqué à un système ouvert en régime permanent s’exprime sous la forme globale : $\dot{U} = \dot{Q} + \dot{W}_{\text{ut}} + \sum_{\text{entrées}} \dot{m}_i \left( h_i + \frac{v_i^2}{2} + g z_i \right) - \sum_{\text{sorties}} \dot{m}_j \left( h_j + \frac{v_j^2}{2} + g z_j \right) = 0$ Où $h$ désigne l’enthalpie massique ($\text{J}\cdot\text{kg}^{-1}$), $\dot{Q}$ le flux thermique ($\text{W}$) et $\dot{W}_{\text{ut}}$ la puissance utile (ou mécanique transmise par un arbre, hors forces de pression trans-frontières).

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📐 2. Théorèmes fondamentaux & Démonstrations clés

2.1. Équation de bilan d’enthalpie pour un échangeur à co-courant et contre-courant

Un échangeur thermique met en contact deux fluides (chaud $c$ et froid $f$) séparés par une paroi imperméable. Soit $x$ l’abscisse curviligne le long de l’échangeur, allant de $0$ à $L$.

Considérons une tranche élémentaire d’échangeur comprise entre $x$ et $x + \mathrm{d}x$.

• Débit massique du fluide chaud : $\dot{m}_c$, capacité thermique massique : $c_{p,c}$.
• Débit massique du fluide froid : $\dot{m}_f$, capacité thermique massique : $c_{p,f}$.
• Flux thermiques de capacité : $C_c = \dot{m}_c c_{p,c}$ et $C_f = \dot{m}_f c_{p,f}$ ($\text{W}\cdot\text{K}^{-1}$).

Soit $\mathrm{d}S = p \, \mathrm{d}x$ l’aire de la surface d’échange de la tranche élémentaire (où $p$ est le périmètre mouillé). Le flux thermique élémentaire $\mathrm{d}\Phi$ cédé par le fluide chaud au fluide froid à travers $\mathrm{d}S$ s’exprime via le coefficient global d’échange $U$ ($\text{W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1}$) : $\mathrm{d}\Phi = U \, (T_c(x) - T_f(x)) \, \mathrm{d}S = U \, (T_c(x) - T_f(x)) \, p \, \mathrm{d}x$

2.2. Démonstration de l’efficacité d’un échangeur (Méthode NUT)

Exprimons la conservation de l’énergie sur la tranche $\mathrm{d}x$ pour un contre-courant (les fluides circulent en sens opposés, soit $\dot{m}_c \mathrm{d}h_c = -\mathrm{d}\Phi$ et $\dot{m}_f \mathrm{d}h_f = -\mathrm{d}\Phi$ si l’on oriente l’axe dans le sens du fluide chaud) :

C_c \frac{\mathrm{d}T_c}{\mathrm{d}x} = -U p (T_c - T_f) \\ \pm C_f \frac{\mathrm{d}T_f}{\mathrm{d}x} = \mp U p (T_c - T_f) \end{cases}$$ En introduisant la différence de température locale $\Delta T(x) = T_c(x) - T_f(x)$, on obtient une équation différentielle régissant l'évolution de l'écart thermique. Le nombre d'unités de transfert ($\text{NUT}$) et le rapport des capacités thermiques $R$ sont définis par : $$\text{NUT} = \frac{U S}{C_{\min}} \quad \text{et} \quad R = \frac{C_{\min}}{C_{\max}}$$ Où $C_{\min} = \min(C_c, C_f)$ et $C_{\max} = \max(C_c, C_f)$. L'efficacité $\varepsilon$ de l'échangeur est le rapport entre le flux thermique réellement échangé $\Phi$ et le flux thermique maximal théoriquement possible : $$\varepsilon = \frac{\Phi}{\Phi_{\max}} = \frac{\Phi}{C_{\min}(T_{c,\text{ent}} - T_{f,\text{ent}})}$$ Pour un échangeur à **contre-courant**, l'intégration du système conduit à l'expression magistrale de l'efficacité : $$\varepsilon = \frac{1 - \exp\left(-\text{NUT}(1 - R)\right)}{1 - R \exp\left(-\text{NUT}(1 - R)\right)} \quad (\text{si } R < 1)$$ En cas de $R = 0$ (changement d'état d'un des fluides, par exemple évaporation ou condensation), l'expression se simplifie en : $$\varepsilon = 1 - \exp(-\text{NUT})$$ --- ## 💡 3. Méthodes de calcul & Algorithmes Pour résoudre un problème d'échangeur thermique en concours, la méthodologie rigoureuse s'articule ainsi : 1. **Bilan global (Premier Principe)** : Écrire la conservation de l'enthalpie pour chaque flux supposé adiabatique avec l'extérieur : $$\Phi = C_c (T_{c,\text{ent}} - T_{c,\text{sor}}) = C_f (T_{f,\text{sor}} - T_{f,\text{ent}})$$ 2. **Identification des paramètres caractéristiques** : Calculer $C_c$ et $C_f$, identifier $C_{\min}$ et $C_{\max}$, puis calculer le rapport $R = C_{\min}/C_{\max}$. 3. **Choix de l'outil de calcul** : - Si les quatre températures d'entrée et de sortie sont connues (ou déductibles), utiliser la méthode de la **moyenne logarithmique des écarts de température (MLET)** : $$\Phi = U S \Delta T_{\text{lm}} \quad \text{avec} \quad \Delta T_{\text{lm}} = \frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln\left(\frac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)}$$ - Si des températures de sortie sont inconnues et qu'il faut dimensionner ou trouver un flux, utiliser la **méthode NUT-Efficacité** via l'abaque ou la formule analytique du cours. --- ## ⚠️ 4. Pièges classiques aux Concours - **Confusion co-courant / contre-courant** : Ne jamais appliquer la formule de $\Delta T_{\text{lm}}$ ou de l'efficacité d'un contre-courant à un co-courant. Les expressions analytiques divergent fondamentalement. - **Unités et homogénéité** : Veiller scrupuleusement à exprimer les débits en $\text{kg}\cdot\text{s}^{-1}$ et les capacités thermiques massiques en $\text{J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$. Une erreur d'un facteur 1000 sur les débits massiques (ex: $\text{g}\cdot\text{s}^{-1}$ au lieu de $\text{kg}\cdot\text{s}^{-1}$) est éliminatoire. - **Sens des flux thermiques** : Dans l'expression de $\Delta T_{\text{lm}}$, veillez à ce que les différences $\Delta T_1$ et $\Delta T_2$ soient prises aux mêmes extrémités géométriques de l'échangeur et qu'elles restent strictement positives ($\Delta T > 0$). - **Hypothèse $U$ constant** : $U$ dépend des coefficients de convective locaux (qui dépendent eux-mêmes de la vitesse des fluides via les nombres de Reynolds et Nusselt). Sauf mention explicitement contraire du texte, $U$ est supposé constant, mais l'examinateur appréciera une mention critique de cette hypothèse.