Cours : Optique géométrique

📌 1. Définitions & Cadre d’étude

L’optique geometrique etudie la propagation de la lumiere lorsque les dimensions caracteristiques des systemes (obstacles, dioptres, miroirs) sont tres grandes devant la longueur d’onde $\lambda$ du rayonnement dans le vide ($\lambda \to 0$).

• Rayon lumineux : Modele geometrique representant la direction de propagation de l’energie lumineuse. Il est orthogonal aux surfaces d’onde.
• Indice optique : Pour un milieu transparent, homogene et isotrope, l’indice de refraction $n$ est defini par : $n = \frac{c}{v}$ ou $c$ est la vitesse de la lumiere dans le vide et $v$ sa vitesse de phase dans le milieu ($n \ge 1$, $n_{\text{vide}} = 1$).
• Stigmatisme : Un systeme optique est dit stigmatique pour un point source $A$ si tous les rayons lumineux issus de $A$, apres traversee du systeme, convergent vers un meme point $A'$ (image reelle) ou emergent en donnant l’illusion de provenir de $A'$ (image virtuelle).
• Aplanatisme : Preservation de la taille et de l’orientation d’un objet orthogonal a l’axe optique.
• Conditions de Gauss : Conditions d’approximation ou les rayons lumineux incidents ont des angles d’incidence faibles par rapport a l’axe optique et sont peu eloignes du sommet du systeme. On effectue les approximations : $\sin(\theta) \approx \theta, \quad \tan(\theta) \approx \theta, \quad \cos(\theta) \approx 1$ Ces conditions assurent le stigmatisme approche et l’aplanatisme du premier ordre.

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📐 2. Théorèmes fondamentaux & Démonstrations clés

Lois de Snell-Descartes (Formulation vectorielle)

Soit un dioptre separent deux milieux d’indices respectifs $n_1$ et $n_2$. Soit $\vec{u}_1$ le vecteur unitaire colineaire au rayon incident, $\vec{u}_2$ celui du rayon refracte et $\vec{n}$ le vecteur normal unitaire oriente du milieu 1 vers le milieu 2 au point d’incidence $I$.

Les lois de Descartes s’ecrivent :

1. Les rayons incident, refracte et la normale sont coplanaires.
2. Formule vectorielle de la refraction : $\vec{n} \wedge (n_2 \vec{u}_2 - n_1 \vec{u}_1) = \vec{0}$

Chemin optique et Principe de Fermat

• Chemin optique : Le chemin optique $L(A, B)$ entre deux points $A$ et $B$ le long d’une trajectoire $\mathcal{C}$ est defini par : $L(A, B) = \int_{\mathcal{C}} n(M) \, \mathrm{d}s$
• Principe de Fermat : Le chemin optique reel suivi par la lumiere entre deux points fixes est extremal (stationnaire) par rapport aux variations de la trajectoire : $\delta L(A, B) = 0$

Demonstration de la loi de Descartes de la refraction par le principe de Fermat : Soit un axe $(Ox)$ sur le dioptre separent $M_1(0, y_1, -h_1)$ et $M_2(0, y_2, h_2)$ avec les indices $n_1$ et $n_2$. Un point courant du dioptre a pour coordonnees $I(0, x, 0)$. Le chemin optique est : $L(x) = n_1 \sqrt{x^2 + y_1^2 + h_1^2} + n_2 \sqrt{(x - y_2)^2 + h_2^2}$ La condition stationnaire $\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}x} = 0$ conduit a : $n_1 \frac{x}{\sqrt{x^2 + y_1^2 + h_1^2}} + n_2 \frac{x - y_2}{\sqrt{(x - y_2)^2 + h_2^2}} = 0$ En reconnaissant les sinus des angles d’incidence $i_1$ et de refraction $i_2$ par rapport a la normale : $n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)$

Matrice de transfert (Optique paraxiale)

Un systeme optique centre est modelise par sa matrice de transferts $M \in \mathcal{M}_{2,2}(\mathbb{R})$ reliant les parametres paraxiaux (hauteur $y$ et angle d’inclinaison $\alpha$) d’un rayon entrant $(y_1, \alpha_1)$ a un rayon sortant $(y_2, \alpha_2)$ : $\begin{pmatrix} y_2 \\ \alpha_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ \alpha_1 \end{pmatrix}$

• Homogeneite (Propagation dans un milieu d’indice $n$ sur une distance $e$) : $M_{\text{prop}} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{e}{n} \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
• Refraction (Dioptre spherique de sommet $S$, de rayon $R$, separent $n_1$ et $n_2$) : $M_{\text{dioptre}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{n_2 - n_1}{R n_2} & \frac{n_1}{n_2} \end{pmatrix}$

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💡 3. Méthodes de calcul & Algorithmes

Methode de calcul pour les systemes centres (Formules de conjugaison)

1. Identifier l’axe optique et orienter l’espace dans le sens de propagation de la lumiere.
2. Repérer les elements cardinaux : Sommet $S$, foyers principal objet $F$ et image $F'$.
3. Utiliser les relations de conjugaison standard :
   • Origine au sommet (Descartes) : $\frac{n_2}{\overline{SA'}} - \frac{n_1}{\overline{SA}} = \frac{n_2 - n_1}{\overline{SC}}$
   • Origine au centre (Newton) : $\overline{FA} \cdot \overline{F'A'} = -f' f$
4. Calcul du grandissement transversal $\gamma_t$ : $\gamma_t = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{SA'}}{\overline{SA}} \cdot \frac{n_1}{n_2}$

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⚠️ 4. Pièges classiques aux Concours

• Orientation des grandeurs algebriques : Oublier que $\overline{SA}$ est une mesure algebrique. Tout ce qui va contre le sens de propagation de la lumiere est negatif.
• Confusion entre foyers objet et image : Pour une lentille divergente, le foyer principal objet $F$ est apres la lentille (dans le sens de propagation), et le foyer image $F'$ est avant.
• Conditions de Gauss non verifiees : Utiliser les formules de conjugaison paraxiales pour des faisceaux grands ou ouverts engendre des aberrations spheriques aberrantes.
• Unites dans les calculs matriciels : Verifier la dimension des elements de la matrice de transfert (certains elements sont sans dimension, d’autres en $\text{m}^{-1}$ ou en $\text{m}$).