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CPGE Futur

Exercice 2 : Microscope et association de lentilles

🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude

Section titled “🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude”

Le microscope optique est un instrument fondamental en biologie cellulaire. Il permet d’observer des objets de très petites dimensions (cellules, bactéries, organelles) en formant une image agrandie de ceux-ci.

On modélise un microscope standard par l’association coaxiale de deux systèmes centrés convergents de grandissement important :

  1. L’objectif : une lentille mince convergente L1L_1 de centre optique O1O_1 et de distance focale image f1′>0f'_1 > 0.
  2. L’oculaire : une lentille mince convergente L2L_2 de centre optique O2O_2 et de distance focale image f2′>0f'_2 > 0.

L’intervalle optique du microscope, noté Δ\Delta, est défini par la distance algébrique Δ=F1′O2‾\Delta = \overline{F'_1 O_2}. Pour un microscope standard réglé pour un oeil normal, Δ>0\Delta > 0.

On note :

  • AA l’objet biologique plan, perpendiculaire à l’axe optique, situé en avant de O1O_1.
  • A1B1A_1 B_1 l’image intermédiaire réelle et renversée formée par l’objectif L1L_1.
  • A′B′A' B' l’image définitive virtuelle observée par l’œil, située au punctum remotum (infini) de l’œil normal pour un confort d’observation optimal.

❓ Questions progressives

Section titled “❓ Questions progressives”

  1. Modélisation de l’objectif Établir la relation de conjugaison avec origine au foyer pour l’objectif L1L_1. Exprimer la position de l’image intermédiaire A1A_1 en fonction de f1′f'_1 et de la distance algébrique F1A‾\overline{F_1 A} (on posera F1A‾=−x\overline{F_1 A} = -x avec x>0x > 0). En déduire le grandissement transversal de l’objectif γ1=A1B1‾/AB‾\gamma_1 = \overline{A_1 B_1} / \overline{AB} en fonction de f1′f'_1 et de Δ\Delta.

  2. Rôle et position de l’oculaire L’oculaire L2L_2 est positionné de telle sorte que l’image définitive A′B′A' B' se forme à l’infini. En déduire la position du plan focal object de L2L_2 par rapport à l’image intermédiaire A1B1A_1 B_1. Exprimer la position de l’oculaire (donnée par la distance Δ=F1′O2‾\Delta = \overline{F'_1 O_2}) en fonction de f1′f'_1 et f2′f'_2 dans le cadre de ce réglage (dit “standard”).

  3. Grossissement commercial On définit le grossissement commercial GcG_c du microscope par le rapport : Gc=α′θG_c = \frac{\alpha'}{\theta} où α′\alpha' est le diamètre apparent de l’image définitive vue à travers l’instrument, et θ\theta le diamètre apparent de l’objet observé à l’œil nu à la distance minimale de vision distincte dm=25 cmd_m = \text{25 cm}. Exprimer GcG_c en fonction de f1′f'_1, f2′f'_2, Δ\Delta et dmd_m.

  4. Application numérique et analyse critique

    • On donne : f1′=5,0 mmf'_1 = \text{5,0 mm}, f2′=2,5 cmf'_2 = \text{2,5 cm}, Δ=16 cm\Delta = \text{16 cm} et dm=25 cmd_m = \text{25 cm}. Calculer la valeur numérique du grossissement commercial GcG_c.
    • Analyse critique du modèle : Pourquoi l’utilisation de lentilles minces simples (non achromatiques) pose-t-elle un problème majeur en microscopie à fort grossissement ? Citer brièvement le phénomène physique en cause et la solution technologique apportée.

💡 Pistes & Indications méthodologiques

Section titled “💡 Pistes & Indications méthodologiques”
  • Question 1 : Utilisez la relation de Descartes avec origine au foyer F1A‾⋅F1′A1‾=−f1′2\overline{F_1 A} \cdot \overline{F'_1 A_1} = -f_1^{\prime 2}. Attention aux signes algébriques rigoureux. Pour le grandissement, utilisez le théorème de Thalès ou la formule de conjugaison newtonienne γ1=−f1′F1A‾=−F1′A1‾f1′\gamma_1 = -\frac{f'_1}{\overline{F_1 A}} = -\frac{\overline{F'_1 A_1}}{f'_1}.
  • Question 2 : Pour qu’un objet vu à travers une lentille convergente donne une image à l’infini, l’objet doit impérativement se situer dans le plan focal objet de cette lentille.
  • Question 3 : Exprimez les angles α′\alpha' et θ\theta pour de petits angles (tan⁡α′≈α′\tan \alpha' \approx \alpha'), en sachant que l’objet nu est placé à la distance dmd_m.
  • Question 4 : Veillez à l’homogénéité des unités (convertir toutes les distances en mètres ou centimètres de manière cohérente).

📋 Corrigé détaillé pas à pas

Section titled “📋 Corrigé détaillé pas à pas”

1. Modélisation de l’objectif

Section titled “1. Modélisation de l’objectif”

La relation de conjugaison de Newton (avec origines aux foyers F1F_1 et F1′F'_1) pour la lentille L1L_1 s’écrit : F1A‾⋅F1′A1‾=−f1′2\overline{F_1 A} \cdot \overline{F'_1 A_1} = -f_1^{\prime 2}

En posant F1A‾=−x\overline{F_1 A} = -x (avec x>0x > 0), on obtient : (−x)⋅F1′A1‾=−f1′2  ⟹  F1′A1‾=f1′2x(-x) \cdot \overline{F'_1 A_1} = -f_1^{\prime 2} \implies \overline{F'_1 A_1} = \frac{f_1^{\prime 2}}{x}

Par définition, l’intervalle optique est Δ=F1′O2‾\Delta = \overline{F'_1 O_2}. L’image intermédiaire A1A_1 se forme dans le plan focal objet de l’oculaire L2L_2 (pour un réglage à l’infini). La position de A1A_1 fixe donc la position de O2O_2. Le grandissement transversal de l’objectif γ1\gamma_1 s’exprime dans le système de Newton par : γ1=−F1′A1‾f1′\gamma_1 = -\frac{\overline{F'_1 A_1}}{f'_1}

Or, l’image intermédiaire A1A_1 étant proche du foyer F1′F'_1, et l’intervalle optique Δ\Delta représentant la distance F1′O2F'_1 O_2, la distance de A1A_1 à F1′F'_1 est de l’ordre de Δ\Delta (si l’on néglige la distance F2′O2F'_2 O_2). Plus rigoureusement, la position de A1A_1 vérifie F1′A1‾≈Δ\overline{F'_1 A_1} \approx \Delta dans de nombreux exercices simplifiés, ou l’on exprime γ1\gamma_1 directement à partir de la position de l’objet. Exprimons γ1\gamma_1 en fonction de f1′f'_1 et Δ\Delta en considérant F1′A1‾=Δ\overline{F'_1 A_1} = \Delta (car A1A_1 est le foyer objet de L2L_2 dans le réglage à l’infini) : γ1=−Δf1′\gamma_1 = -\frac{\Delta}{f'_1}

2. Rôle et position de l’oculaire

Section titled “2. Rôle et position de l’oculaire”

L’image définitive A′B′A'B' doit se former à l’infini (A′→∞A' \to \infty) pour que l’œil observe sans accommodation (au punctum remotum). Pour qu’une lentille convergente donne une image à l’infini, son objet (ici l’image intermédiaire A1B1A_1 B_1) doit être placé dans son plan focal objet F2F_2.

Par conséquent, le point A1A_1 est confondu avec F2F_2. La distance entre les deux foyers F1′F'_1 et F2F_2 vaut l’intervalle optique Δ\Delta. Puisque F2F_2 est à une distance f2′f'_2 en avant de O2O_2 (soit F2O2‾=f2′\overline{F_2 O_2} = f'_2), la relation de chasles sur l’axe optique donne : Δ=F1′O2‾=F1′F2‾+F2O2‾\Delta = \overline{F'_1 O_2} = \overline{F'_1 F_2} + \overline{F_2 O_2} Cependant, dans la définition usuelle où Δ=F1′O2‾\Delta = \overline{F'_1 O_2}, et sachant que F2F_2 est confondu avec A1A_1, la distance séparant les deux lentilles (l’entre-lentilles e=O1O2‾e = \overline{O_1 O_2}) s’exprime par : e=O1O2‾=O1F1′‾+F1′O2‾=f1′+Δe = \overline{O_1 O_2} = \overline{O_1 F'_1} + \overline{F'_1 O_2} = f'_1 + \Delta Et puisque A1A_1 est confondu avec F2F_2, on a F1′A1‾=Δ−f2′\overline{F'_1 A_1} = \Delta - f'_2.

3. Grossissement commercial

Section titled “3. Grossissement commercial”

  • Diamètre apparent θ\theta de l’objet à l’œil nu : L’objet de taille AB‾\overline{AB} est observé à la distance minimale de vision distincte dm=25 cmd_m = \text{25 cm}. Pour un petit objet, l’angle sous lequel il est vu s’écrit (en valeur absolue) : θ≈tan⁡θ=ABdm\theta \approx \tan \theta = \frac{AB}{d_m}

  • Diamètre apparent α′\alpha' de l’image définitive : L’oculaire joue le rôle d’une loupe. L’image intermédiaire A1B1A_1 B_1 joue le rôle d’objet pour l’oculaire. Le diamètre apparent de l’image vue à travers l’oculaire est : α′≈tan⁡α′=A1B1‾f2′\alpha' \approx \tan \alpha' = \frac{\overline{A_1 B_1}}{f'_2}

Le grossissement commercial GcG_c devient alors : Gc=α′θ=A1B1‾/f2′AB/dm=(A1B1‾AB)⋅dmf2′G_c = \frac{\alpha'}{\theta} = \frac{\overline{A_1 B_1} / f'_2}{AB / d_m} = \left( \frac{\overline{A_1 B_1}}{AB} \right) \cdot \frac{d_m}{f'_2}

En reconnaissant le grandissement transversal de l’objectif γ1=−Δf1′\gamma_1 = -\frac{\Delta}{f'_1} (en valeur absolue ∣γ1∣=Δf1′|\gamma_1| = \frac{\Delta}{f'_1}), on obtient l’expression finale du grossissement commercial : Gc=Δ⋅dmf1′f2′G_c = \frac{\Delta \cdot d_m}{f'_1 f'_2}

4. Application numérique et analyse critique

Section titled “4. Application numérique et analyse critique”

  • Calcul numérique :

    • f1′=5,0 mm=5,0×10−3 mf'_1 = \text{5,0 mm} = \text{5,0} \times 10^{-3} \, \text{m}
    • f2′=2,5 cm=2,5×10−2 mf'_2 = \text{2,5 cm} = \text{2,5} \times 10^{-2} \, \text{m}
    • Δ=16 cm=0,16 m\Delta = \text{16 cm} = \text{0,16} \, \text{m}
    • dm=25 cm=0,25 md_m = \text{25 cm} = \text{0,25} \, \text{m}

    Application numérique : Gc=0,16×0,255,0×10−3×2,5×10−2=0,041,25×10−4=320G_c = \frac{0,16 \times 0,25}{5,0 \times 10^{-3} \times 2,5 \times 10^{-2}} = \frac{0,04}{1,25 \times 10^{-4}} = 320 Le grossissement commercial du microscope est donc Gc=320G_c = 320 (sans unité).

  • Analyse critique du modèle : L’utilisation de lentilles minces simples (singlets) est confrontée à des limitations physiques majeures en microscopie :

    1. Le chromatisme : L’indice de refraction du verre dépend de la longueur d’onde (n(λ)\text{n}(\lambda)). Les différentes couleurs de la lumière blanche ne convergent pas au même foyer, ce qui entraîne des franges colorées inésthétiques et un flou sur les images (aberration chromatique\text{aberration chromatique}).
    2. Les aberrations géométriques (sphériques, astigmatisme) altèrent la stigmatique rigoureuse pour des ouvertures grands angles.

    Solution technologique : On remplace les lentilles simples par des objectifs achromatiques ou apochromatiques constitués de plusieurs dioptres associés (doubles ou triplets collés de verres d’indices différents) pour corriger ces défauts et garantir une haute résolution.