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CPGE Futur

Exercice 1 : Différentielle et matrice jacobienne

Problème guidé : Analyse locale d’un écoulement diphasique et matrice jacobienne

Section titled “Problème guidé : Analyse locale d’un écoulement diphasique et matrice jacobienne”

Filière : MP
Matière : Mathématiques
Chapitre: ** Calcul différentiel
Thème : Différentielle et matrice jacobienne

Énoncé

Section titled “Énoncé”

Dans le cadre de l’étude thermodynamique d’un réacteur chimique diphasique à l’échelle pilote, on modélise l’état local du mélange par un système de deux variables d’état intensives : la température TT (exprimée en kelvins, K\text{K}) et la pression PP (exprimée en pascals, Pa\text{Pa}).

Pour des raisons de contrôle de procédé, on s’intéresse à la transformation de ces variables d’état en deux variables de sortie mesurées par des capteurs :

  • Le flux molaire de réactif FF (en mol⋅s−1\text{mol}\cdot\text{s}^{-1}).
  • La masse volumique apparente du mélange ρ\rho (en kg⋅m−3\text{kg}\cdot\text{m}^{-3}).

La fonction de transfert du système est modélisée par l’application f:Ω→R2f : \Omega \to \mathbb{R}^2 définie sur un ouvert Ω=]0,+∞[×]0,+∞[\Omega = ]0, +\infty[ \times ]0, +\infty[ par : f(T,P)=(F(T,P)ρ(T,P))=(k⋅PTexp⁡(−ERT)M⋅PZ(T,P)⋅R⋅T)f(T, P) = \begin{pmatrix} F(T, P) \\ \rho(T, P) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k \cdot \frac{P}{T} \exp\left(-\frac{E}{R T}\right) \\ \frac{M \cdot P}{Z(T, P) \cdot R \cdot T} \end{pmatrix}

où :

  • k=2.5×10−2 mol⋅K⋅s−1⋅Pa−1k = 2.5 \times 10^{-2} \text{ mol}\cdot\text{K}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{Pa}^{-1} est une constante cinétique globale.
  • E=4.5×104 J⋅mol−1E = 4.5 \times 10^{4} \text{ J}\cdot\text{mol}^{-1} est une énergie d’activation caractéristique.
  • R=8.314 J⋅mol−1⋅K−1R = 8.314 \text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} est la constante des gaz parfaits.
  • M=2.8×10−2 kg⋅mol−1M = 2.8 \times 10^{-2} \text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} est la masse molaire moyenne du mélange.
  • Z(T,P)=1+βPT2Z(T, P) = 1 + \beta \frac{P}{T^2} est le facteur de compressibilité réel du mélange, avec β=1.2×10−6 K2⋅Pa−1\beta = 1.2 \times 10^{-6} \text{ K}^2\cdot\text{Pa}^{-1} (paramètre correctif non idéal).

On se place au voisinage d’un point de fonctionnement nominal M0=(T0,P0)M_0 = (T_0, P_0) avec T0=400 KT_0 = 400 \text{ K} et P0=2.0×106 PaP_0 = 2.0 \times 10^6 \text{ Pa}.

Questions

Section titled “Questions”
  1. Justesse des domaines et régularité : Justifier que l’application ff est de classe C1\mathcal{C}^1 sur l’ouvert Ω\Omega.
  2. Calcul de la matrice jacobienne : Exprimer littéralement, puis calculer sous forme matricielle la matrice jacobienne de ff au point M0M_0, notée Jf(M0)J_f(M_0). On veillera à expliciter les dérivées partielles intermédiaires.
  3. Linéarisation et sensibilité : Écrire la relation d’approximation linéaire (différentielle) reliant les variations infinitésimales (ΔT,ΔP)(\Delta T, \Delta P) aux variations des mesures (ΔF,Δρ)(\Delta F, \Delta \rho).
  4. Analyse critique et limites du modèle :
    • a) Calculer numériquement les valeurs de F(M0)F(M_0) et ρ(M0)\rho(M_0). Préciser les ordres de grandeur.
    • b) Supposons qu’une incertitude de mesure de ±1%\pm 1\% affecte la température T0T_0 et que la pression P0P_0 soit parfaitement stable. Estimer l’impact relatif maximal sur la masse volumique ρ\rho.
    • c) Analyse critique : Discuter la validité physique du modèle lorsque T→0T \to 0 ou lorsque PP prend des valeurs de l’ordre de 1010 Pa10^{10} \text{ Pa}. Le modèle mathématique garantit-il la réalité physique des grandeurs sur l’ensemble de R2\mathbb{R}^2 ?

Pistes

Section titled “Pistes”
  • Question 1 : Décomposer ff en somme, produits et quotients de fonctions usuelles (exponentielles, polynômes) en veillant à vérifier que les dénominateurs ne s’annulent pas sur Ω\Omega.
  • Question 2 : Pour dériver par rapport à TT et PP, utilisez les règles de dérivation des fonctions composées (notamment pour la composante ρ\rho qui contient le facteur Z(T,P)Z(T,P) au dénominateur).
  • Question 3 : La formule de Taylor à l’ordre 1 donne Δf(M0)≈Jf(M0)(ΔTΔP)\Delta f(M_0) \approx J_f(M_0) \begin{pmatrix} \Delta T \\ \Delta P \end{pmatrix}.
  • Question 4 : Pour l’analyse d’incertitude, utilisez les différentielles logarithmiques ou l’approximation linéaire. Pour la critique physique, observez le comportement de Z(T,P)Z(T,P) et de l’exponentielle aux limites.

Corrigé pas à pas

Section titled “Corrigé pas à pas”

1. Régularité de l’application ff

Section titled “1. Régularité de l’application fff”

La fonction ff est constituée de deux composantes FF et ρ\rho.

  • La composante F(T,P)=k⋅PT−1exp⁡(−ERT)F(T, P) = k \cdot P T^{-1} \exp\left(-\frac{E}{R T}\right) est un produit de fonctions de classe C∞\mathcal{C}^\infty sur Ω\Omega (fonctions polynomiales, exponentielle d’une fonction rationnelle). Elle est donc C1\mathcal{C}^1 sur Ω\Omega.
  • La composante ρ(T,P)=MPRT(1+βPT2)\rho(T, P) = \frac{M P}{R T \left(1 + \beta \frac{P}{T^2}\right)} est un quotient. Le dénominateur D(T,P)=RT+βPTT2=RT+βPTD(T,P) = R T + \beta \frac{P T}{T^2} = R T + \beta \frac{P}{T} ne s’annule pas sur Ω=]0,+∞[2\Omega = ]0, +\infty[^2 car R,T,β,P>0R, T, \beta, P > 0. Ainsi, ρ\rho est rationnelle par rapport à ses composantes et au facteur correctif, donc de classe C1\mathcal{C}^1 sur Ω\Omega.

Par conséquent, ff est de classe C1\mathcal{C}^1 sur Ω\Omega.

2. Calcul de la matrice jacobienne

Section titled “2. Calcul de la matrice jacobienne”

La matrice jacobienne en un point (T,P)(T, P) est donnée par : Jf(T,P)=(∂F∂T∂F∂P∂ρ∂T∂ρ∂P)J_f(T, P) = \begin{pmatrix} \frac{\partial F}{\partial T} & \frac{\partial F}{\partial P} \\ \frac{\partial \rho}{\partial T} & \frac{\partial \rho}{\partial P} \end{pmatrix}

  • Dérivées de FF : ∂F∂T=kP[−1T2exp⁡(−ERT)+1T(ERT2)exp⁡(−ERT)]=kPT2(ERT−1)exp⁡(−ERT)\frac{\partial F}{\partial T} = k P \left[ -\frac{1}{T^2} \exp\left(-\frac{E}{RT}\right) + \frac{1}{T} \left(\frac{E}{R T^2}\right) \exp\left(-\frac{E}{RT}\right) \right] = k \frac{P}{T^2} \left( \frac{E}{RT} - 1 \right) \exp\left(-\frac{E}{RT}\right) ∂F∂P=kTexp⁡(−ERT)\frac{\partial F}{\partial P} = \frac{k}{T} \exp\left(-\frac{E}{RT}\right)

  • Dérivées de ρ\rho : En posant ρ(T,P)=MPRT+βPT\rho(T, P) = \frac{M P}{R T + \beta \frac{P}{T}}, calculons les dérivées partielles : ∂ρ∂T=−MP(R−βPT2)(RT+βPT)2\frac{\partial \rho}{\partial T} = -\frac{M P \left( R - \beta \frac{P}{T^2} \right)}{\left( R T + \beta \frac{P}{T} \right)^2} ∂ρ∂P=M(RT+βPT)−MP(βT)(RT+βPT)2=MRT(RT+βPT)2\frac{\partial \rho}{\partial P} = \frac{M \left( R T + \beta \frac{P}{T} \right) - M P \left(\frac{\beta}{T}\right)}{\left( R T + \beta \frac{P}{T} \right)^2} = \frac{M R T}{\left( R T + \beta \frac{P}{T} \right)^2}

Application numérique au point M0(400 K,2×106 Pa)M_0 (400 \text{ K}, 2\times 10^6 \text{ Pa}) :

  • Valeur de Z(T0,P0)=1+1.2×10−6×2×1064002=1+1.2×10−6×12.5=1+1.5×10−5≈1Z(T_0, P_0) = 1 + 1.2\times 10^{-6} \times \frac{2\times 10^6}{400^2} = 1 + 1.2\times 10^{-6} \times 12.5 = 1 + 1.5\times 10^{-5} \approx 1 (comportement quasi-idéal à cette pression modérée).
  • Terme d’activation : ERT0=4.5×1048.314×400≈13.53\frac{E}{R T_0} = \frac{4.5 \times 10^4}{8.314 \times 400} \approx 13.53.
  • On obtient numériquement :
    • ∂F∂T(M0)≈2.45×10−2 mol⋅s−1⋅K−1\frac{\partial F}{\partial T}(M_0) \approx 2.45 \times 10^{-2} \text{ mol}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}
    • ∂F∂P(M0)≈3.12×10−8 mol⋅s−1⋅Pa−1\frac{\partial F}{\partial P}(M_0) \approx 3.12 \times 10^{-8} \text{ mol}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{Pa}^{-1}
    • ∂ρ∂T(M0)≈−4.21×10−2 kg⋅m−3⋅K−1\frac{\partial \rho}{\partial T}(M_0) \approx -4.21 \times 10^{-2} \text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}\cdot\text{K}^{-1}
    • ∂ρ∂P(M0)≈8.45×10−6 kg⋅m−3⋅Pa−1\frac{\partial \rho}{\partial P}(M_0) \approx 8.45 \times 10^{-6} \text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}\cdot\text{Pa}^{-1}

3. Linéarisation et sensibilité

Section titled “3. Linéarisation et sensibilité”

La relation linéaire approchée pour les variations locales est : (ΔFΔρ)≈Jf(M0)(ΔTΔP)\begin{pmatrix} \Delta F \\ \Delta \rho \end{pmatrix} \approx J_f(M_0) \begin{pmatrix} \Delta T \\ \Delta P \end{pmatrix} Soit : ΔF≈∂F∂T(M0)ΔT+∂F∂P(M0)ΔP\Delta F \approx \frac{\partial F}{\partial T}(M_0) \Delta T + \frac{\partial F}{\partial P}(M_0) \Delta P Δρ≈∂ρ∂T(M0)ΔT+∂ρ∂P(M0)ΔP\Delta \rho \approx \frac{\partial \rho}{\partial T}(M_0) \Delta T + \frac{\partial \rho}{\partial P}(M_0) \Delta P

4. Analyse critique et limites du modèle

Section titled “4. Analyse critique et limites du modèle”

  • a) Ordres de grandeur au point M0M_0 :

    • F(M0)=2.5×10−2×2×106400exp⁡(−13.53)≈125×1.48×10−6≈1.85×10−4 mol⋅s−1F(M_0) = \frac{2.5 \times 10^{-2} \times 2 \times 10^6}{400} \exp(-13.53) \approx 125 \times 1.48 \times 10^{-6} \approx 1.85 \times 10^{-4} \text{ mol}\cdot\text{s}^{-1}.
    • ρ(M0)=2.8×10−2×2×1068.314×400×1≈16.84 kg⋅m−3\rho(M_0) = \frac{2.8 \times 10^{-2} \times 2 \times 10^6}{8.314 \times 400 \times 1} \approx 16.84 \text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} (ordre de grandeur typique d’une phase vapeur dense ou gaz comprimé).

  • b) Impact d’une incertitude sur TT : Si ΔP=0\Delta P = 0 et que ΔT/T0=±1%\Delta T / T_0 = \pm 1\%, alors ΔT=0.01×400=4 K\Delta T = 0.01 \times 400 = 4 \text{ K}. L’variation relative de la masse volumique est estimée par : Δρρ0≈1ρ0∂ρ∂T(M0)ΔT≈−4.21×10−216.84×4≈−0.01×4=−0.04\frac{\Delta \rho}{\rho_0} \approx \frac{1}{\rho_0} \frac{\partial \rho}{\partial T}(M_0) \Delta T \approx \frac{-4.21 \times 10^{-2}}{16.84} \times 4 \approx -0.01 \times 4 = -0.04 Soit une variation relative de −4%-4\%. L’amplification de l’incertitude (facteur 4) s’explique par la dilatation thermique directe couplée au terme correctif.

  • c) Analyse critique des limites du modèle :

    • Limite lorsque T→0T \to 0 : Le terme exp⁡(−ERT→−∞)\exp\left(-\frac{E}{RT}\rightarrow -\infty\right) tend vers 00 pour le flux FF, ce qui est physiquement cohérent (la cinétique s’arrête au zéro absolu). En revanche, pour la masse volumique, le terme βPT2\frac{\beta P}{T^2} diverge en 1/T21/T^2, ce qui ferait tendre Z(T,P)Z(T,P) vers l’infini et ρ\rho vers 00, perdant tout sens physique pour un gaz réel à très basse température (condensation/solidification non modélisée).
    • Limite de haute pression (P∼1010 PaP \sim 10^{10} \text{ Pa}) : Le facteur de compressibilité Z(T,P)=1+βPT2Z(T,P) = 1 + \beta \frac{P}{T^2} devient très grand (1+1.2×10−6×10101.6×105≈761 + \frac{1.2\times 10^{-6} \times 10^{10}}{1.6 \times 10^5} \approx 76). Le modèle linéaire de ZZ n’est plus valide aux très hautes pressions où les équations d’état cubiques (Van der Waals, Redlich-Kwong) s’imposent.
    • Conclusion critique : Ce modèle mathématique est strictement local (valable dans un domaine restreint autour de M0M_0). L’utilisation aveugle de l’ouvert Ω=]0,+∞[2\Omega = ]0, +\infty[^2 conduit à des aberrations physiques aux bornes du domaine.