Cours : Réduction des matrices

Fiche de Cours : Réduction des matrices (BCPST2)

Professeur: CPGE - BCPST
Niveau: Deuxième année
Matière : Mathématiques

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1. Introduction et Définitions Fondamentales

Soit $K$ un corps ($K = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$). Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie $n$, et $f \in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme. Soit $A \in \mathcal{M}_n(K)$ une matrice carrée.

Définition 1.1 : Valeur propre, vecteur propre, espace propre

• $\lambda \in K$ est une valeur propre de $f$ (ou de $A$) s’il existe un vecteur non nul $x \in E$ (resp. $X \in M_{n,1}(K)$) tel que : $f(x) = \lambda x \quad (\text{resp. } AX = \lambda X)$ Le vecteur $x$ (ou $X$) est alors un vecteur propre associé à $\lambda$.
• L’ensemble des vecteurs propres associés à $\lambda$, augmentés du vecteur nul, forme un sous-espace vectoriel de $E$ (resp. $\mathcal{M}_{n,1}(K)$) appelé espace propre associé à $\lambda$, noté $E_\lambda(f)$ ou $\ker(f - \lambda \text{id}_E)$ (resp. $\ker(A - \lambda I_n)$). $E_\lambda = \ker(A - \lambda I_n) = \{X \in \mathcal{M}_{n,1}(K) \mid (A - \lambda I_n)X = 0\}$

Définition 1.2 : Spectre

L’ensemble des valeurs propres de $f$ (ou de $A$) est appelé le spectre et est noté $\operatorname{Sp}(f)$ ou $\operatorname{Sp}(A)$.

Théorème-Définition 1.3 : Polynôme caractéristique

On appelle polynôme caractéristique de la matrice $A$ (ou de l’endomorphisme $f$) le polynôme noté $\chi_A$ (ou $\chi_f$) défini par : $\chi_A(\lambda) = \det(\lambda I_n - A) \quad \text{ou} \quad \chi_A(x) = \det(x I_n - A)$ C’est un polynôme unitaire de degré $n$, dont les coefficients sont dans $K$.

Théorème fondamental : $\lambda \in K$ est valeur propre de $A$ si et seulement si $\chi_A(\lambda) = 0$. Les valeurs propres sont donc exactement les racines (dans $K$) du polynôme caractéristique.

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2. Diagonalisabilité

Définition 2.1 : Matrices et endomorphismes diagonalisables

• Une matrice $A \in \mathcal{M}_n(K)$ est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale, c’est-à-dire s’il existe une matrice inversible $P \in \mathcal{M}_n(K)$ et une matrice diagonale $D \in \mathcal{M}_n(K)$ telles que : $A = PDP^{-1} \iff D = P^{-1}AP$
• Un endomorphisme $f$ est diagonalisable s’il existe une base de $E$ constituée de vecteurs propres de $f$. (La matrice de $f$ dans cette base est alors diagonale).

Théorème 2.2 : Caractérisations de la diagonalisabilité

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ (ou $\mathbb{C}$). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. $A$ est diagonalisable.
2. La somme des dimensions des espaces propres est égale à $n$ : $\sum_{\lambda \in \operatorname{Sp}(A)} \dim(E_\lambda) = n$.
3. Le polynôme caractéristique $\chi_A$ est scindé sur $K$ (admet $n$ racines comptées avec leur multiplicité dans $K$) et, pour toute valeur propre $\lambda$ de multiplicité algébrique $\alpha_\lambda$, la dimension de l’espace propre associé (multiplicité géométrique $\dim(E_\lambda)$) vérifie : $\dim(E_\lambda) = \alpha_\lambda$

Rappel crucial (Lien dimensions) : Pour toute valeur propre $\lambda$, on a toujours l’inégalité : $1 \le \dim(E_\lambda) \le \alpha_\lambda$

Théorème 2.3 : Somme directe des sous-espaces propres

Si $\lambda_1, \dots, \lambda_p$ sont les valeurs propres distinctes de $A$, la somme des espaces propres $E_{\lambda_1} \oplus E_{\lambda_2} \oplus \dots \oplus E_{\lambda_p}$ est toujours directe. $A$ est diagonalisable si et seulement si cette somme est égale à l’espace tout entier $\mathcal{M}_{n,1}(K)$.

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3. Trigonalisabilité

Définition 3.1

• Une matrice $A \in \mathcal{M}_n(K)$ est trigonalisable si elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure.
• Un endomorphisme $f$ est trigonalisable s’il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $f$ est triangulaire supérieure.

Théorème 3.2 : Condition nécessaire et suffisante

Une matrice $A \in \mathcal{M}_n(K)$ est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique $\chi_A(x)$ est scindé sur $K$.

Corollaire BCPST :

• Tout endomorphisme ou toute matrice à coefficients dans $\mathbb{C}$ est toujours trigonalisable (car $\mathbb{C}$ est algébriquement clos - D’Alembert-Gauss).
• Dans $\mathbb{R}$, une matrice (ou endomorphisme) n’est trigonalisable que si toutes les racines de son polynôme caractéristique sont réelles.

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4. Polynômes d’endomorphismes et de matrices (Hors-programme strict mais indispensable en BCPST)

Définition 4.1 : Polynôme annulateur

Soit $P = \sum_{k=0}^{d} a_k X^k \in K[X]$ et $A \in \mathcal{M}_n(K)$. On note $P(A) = \sum_{k=0}^{d} a_k A^k$ (avec $A^0 = I_n$). On dit que $P$ est un polynôme annulateur de $A$ si $P(A) = 0_{M_n(K)}$.

Théorème 4.2 : CNS de diagonalisabilité par les polynômes

Une matrice $A \in \mathcal{M}_n(K)$ est diagonalisable si et seulement si elle admet un polynôme annulateur scindé à racines simples dans $K$.

Théorème 4.3 : Cayley-Hamilton

Tout polynôme caractéristique annule sa propre matrice (ou son propre endomorphisme) : $\chi_A(A) = 0_{\mathcal{M}_n(K)}$

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5. Méthodes Pratiques (Algorithmique du BCPST)

Méthode 5.1 : Comment diagonaliser une matrice $A \in \mathcal{M}_n(K)$ ?

1. Calculer le polynôme caractéristique $\chi_A(x) = \det(x I_n - A)$.
2. Trouver les racines de $\chi_A(x)$ et déterminer leur multiplicité.
3. Conclure : Si le polynôme n’est pas scindé sur $K$, ou si $\dim(E_\lambda) < \alpha_\lambda$ pour au moins une valeur propre, la matrice n’est pas diagonalisable. Sinon, continuer.
4. Déterminer les espaces propres $E_\lambda$ pour chaque valeur propre $\lambda$ en résolvant le système linéaire $(A - \lambda I_n)X = 0$.
5. Construire la base de vecteurs propres en concaténant les bases des espaces propres.
6. Écrire la relation de conjugaison $A = PDP^{-1}$ :
   • $D$ est la matrice diagonale avec les valeurs propres dans le même ordre que les vecteurs de $P$.
   • $P$ est la matrice de passage dont les colonnes sont les vecteurs propres.

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6. Pièges et Erreurs Classiques à Éviter (Alerte Concours)

1. Confondre multiplicité algébrique et géométrique : Ce n’est pas parce qu’une racine est double ($\alpha_\lambda = 2$) que l’espace propre associé est de dimension 2. Il peut être de dimension 1 (cas non diagonalisable). Exemple type : les matrices de shears (transfomations cisaillement).
2. Inverser l’ordre dans $A = PDP^{-1}$ : Si $P = (C_1 \mid C_2 \mid \dots \mid C_n)$ où $C_i$ est le vecteur propre associé à $\lambda_i$, alors $D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$. Attention à l’ordre !
3. Oublier de vérifier le corps $K$ : Travailler dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ change tout. Une matrice réelle peut avoir des valeurs propres complexes. Dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, elle ne sera pas diagonalisable, mais elle pourra l’être si on la considère dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$.
4. Erreur de calcul de déterminant : Pour $\chi_A(\lambda) = \det(\lambda I_n - A)$, factorisez au maximum par étapes (opérations sur les lignes/colonnes) plutôt que de développer brutalement.