Cours : Électrocinétique linéaire

📌 1. Définitions & Cadre d’étude

L’électrocinétique étudie la circulation des charges électriques dans les conducteurs filiformes. Le cadre fondamental de la filière PCSI repose sur l’approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS).

A. L’Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires (ARQS)

L’ARQS est valide si le temps caractéristique du système $\tau$ (temps de propagation des ondes électromagnétiques sur la dimension caractéristique $d$ du circuit) est très inférieur à la période caractéristique $T$ des signaux temporels étudiés, soit : $\tau = \frac{d}{c} \ll T \iff d \ll \lambda$ où $c$ est la célérité de la lumière dans le vide et $\lambda$ la longueur d’onde associée au signal.

Conséquences mathématiques et physiques :

1. Conservation locale de la charge (Invariance de l’intensité) : Le courant électrique est à flux conservatif dans un fil conducteur : $\text{div}(\vec{j}) = 0 \implies \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0$ à l’échelle des conducteurs. En tout nœud, la somme algébrique des intensités est nulle (Loi des nœuds de Kirchhoff).
2. Champ électrostatique instantané : Le champ électrique $\vec{E}$ derive d’un potentiel scalaire $V$ selon $\vec{E} = -\text{grad}(V)$, ce qui permet de définir la tension $U_{AB} = V_A - V_B$ indépendamment du chemin suivi à l’extérieur du conducteur, et la circulation du champ électrique le long d’un contour fermé est nulle (Loi des mailles de Kirchhoff).

B. Modèles de composants linéaires idéaux

Un dipôle est caractérisé par sa relation tension-courant $(u(t), i(t))$.

• Résistance idéale : $u(t) = R \, i(t)$ avec $R > 0$ en convention récepteur. (Unité : $\text{ohm}$, $\Omega$).
• Condensateur idéal : $i(t) = C \frac{\text{d}u}{\text{d}t}$ en convention récepteur. (Unité : $\text{farad}$, $\text{F}$).
• Bobine idéale (inductance pure) : $u(t) = L \frac{\text{d}i}{\text{d}t}$ en convention récepteur. (Unité : $\text{henry}$, $\text{H}$).
• Sources idéales :
  • Source de tension idéale : $u(t) = E(t)$ quel que soit $i(t)$.
  • Source de courant idéale : $i(t) = I_0(t)$ quel que soit $u(t)$.

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📐 2. Théorèmes fondamentaux & Demonstrations clés

A. Théorème de Thévenin

Tout dipôle linéaire actif $D$ interconnecté à l’extérieur par deux bornes $A$ et $B$ est électriquement équivalent, pour l’extérieur, à une association en série d’une source idéale de tension de force électromotrice $E_{Th}$ et d’une résistance interne $R_{Th}$.

• $E_{Th}$ est la tension à vide aux bornes $A$ et $B$ : $E_{Th} = U_{AB,\text{vide}}$.
• $R_{Th}$ est la résistance équivalente vue des bornes $A$ et $B$ lorsque toutes les sources indépendantes sont “éteintes” (sources de tension court-circuitées, sources de courant ouvertes).

B. Théorème de Norton

Tout dipôle linéaire actif $D$ connecté entre deux bornes $A$ et $B$ est électriquement équivalent à une association en parallèle d’une source idéale de courant d’intensité $I_N$ et d’une résistance interne $R_N$.

• $I_N$ est le courant de court-circuit circulant de $A$ vers $B$ lorsque ces bornes sont reliées par un fil idéal : $I_N = I_{AB,\text{cc}}$.
• $R_N$ est la résistance équivalente vue des bornes $A$ et $B$ avec les sources indépendantes éteintes ($R_N = R_{Th}$).

C. Démonstration de l’équivalence Thévenin - Norton (Théorème de Millman)

Considérons un nœud $A$ relié à $n$ branches comportant chacune une source de tension idéale $E_k$ en série avec une résistance $R_k$. Soit $V_A$ le potentiel du nœud $A$ par rapport à une référence (masse) fixée à $0\text{ }\text{V}$.

La loi des nœuds en $A$ s’écrit : $\sum_{k=1}^{n} I_k = 0$ En utilisant la loi d’Ohm dans chaque branche (en convention récepteur par rapport au nœud, soit un courant quittant le nœud si $V_A > E_k$) : $I_k = \frac{V_A - E_k}{R_k}$ En injectant cette expression dans la loi des nœuds : $\sum_{k=1}^{n} \frac{V_A - E_k}{R_k} = 0 \implies V_A \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{R_k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{E_k}{R_k}$ On obtient ainsi le théorème de Millman : $V_A = \frac{\sum_{k=1}^{n} \frac{E_k}{R_k}}{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{R_k}}$

Cette expression permet d’identifier immédiatement le modèle de Thévenin équivalent du réseau vu depuis le nœud $A$ et une masse de référence : $E_{Th} = V_A \quad \text{et} \quad R_{Th} = \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{R_k} \right)^{-1}$

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💡 3. Méthodes de calcul & Algorithmes

A. Analyse systématique d’un circuit linéaire d’ordre 1 ou 2

1. Étape 1 : Identifier le nombre de dipôles stockant de l’énergie (condensateurs $C$, bobines $L$). Leur nombre détermine l’ordre de l’équation différentielle.
2. Étape 2 : Établir les lois de Kirchhoff (nœuds, mailles) et les relations constitutives des dipôles.
3. Étape 3 : Éliminer les variables intermédiaires pour obtenir une unique équation différentielle linéaire à coefficients constants d’ordre $n$ portant sur la grandeur d’intérêt $s(t)$ (tension ou courant) : $\frac{\text{d}^2 s}{\text{d}t^2} + \frac{\omega_0}{Q} \frac{\text{d}s}{\text{d}t} + \omega_0^2 s = f(t)$
4. Étape 4 : Résoudre l’équation homogène (régime libre) puis trouver une solution particulière liée au second membre $f(t)$ (régime forcé).
5. Étape 5 : Appliquer les conditions initiales de continuité :
   • La tension aux bornes d’un condensateur $u_C(t)$ est continue (car $i_C = C \frac{\text{d}u_C}{\text{d}t}$ ne peut être infinie).
   • L’intensité traversant une bobine $i_L(t)$ est continue (car $u_L = L \frac{\text{d}i_L}{\text{d}t}$ ne peut être infinie).

B. Utilisation de l’analyse complexe (Régime Sinusoïdal Forcé - RSF)

En régime sinusoïdal de pulsation $\omega$, toute grandeur réelle $x(t) = X_M \cos(\omega t + \varphi)$ est associée à une grandeur complexe sous forme phasorielle $\underline{X} = X_M e^{j\varphi}$, telle que $x(t) = \text{Re}\left(\underline{X} e^{j\omega t}\right)$.

Les impédances complexes $\underline{Z}$ des dipôles linéaires passifs s’expriment ainsi :

• Résistance : $\underline{Z}_R = R$
• Condensateur : $\underline{Z}_C = \frac{1}{j \mathcal{C} \omega} = - \frac{j}{\mathcal{C} \omega}$
• Bobine : $\underline{Z}_L = j L \omega$

Toutes les lois fondamentales de l’électrocinétique (diviseur de tension, diviseur de courant, Thévenin, Norton, Millman) s’appliquent strictement à l’identique dans le domaine complexe avec des impédances au lieu de résistances.

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⚠️ 4. Pièges classiques aux Concours

1. Oubli des conventions : Ne pas préciser explicitement la convention (récepteur ou générateur) sur le schéma avant d’écrire les équations conduit quasi-systématiquement à des erreurs de signes.
2. Discontinuités physiques illicites : Affirmer qu’une tension aux bornes d’une bobine ou qu’un courant traversant un condensateur est continu(e). Seules les variables d’état intégrales ($u_C$ et $i_L$) sont continues.
3. Erreur d’homogénéité sur les équations caractéristiques : En régime oscillant amorti, confondre le facteur de qualité $Q$ et la pulsation propre $\omega_0$. Vérifiez toujours que les termes $\frac{1}{\tau}$ ou $\frac{\omega_0}{Q}$ sont homogènes à l’inverse d’un temps ($\text{s}^{-1}$).
4. Utilisation abusive du théorème de Millman : Appliquer Millman sur des nœuds non indépendants ou oublier qu’une source de tension idéale seule en parallèle impose le potentiel, rendant le calcul de la somme des conductances caduc.