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CPGE Futur

Exercice 1 : Cycles de Beau de Rochas et Diesel

🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude

Section titled “🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude”

Les moteurs à combustion interne équipant les véhicules automobiles fonctionnent selon des cycles thermodynamiques idéalisés. L’étude de ces cycles permet d’évaluer les performances énergétiques maximales que l’on peut espérer des moteurs réels.

On s’intéresse dans ce problème à deux modélisations idéales de référence :

  1. Le cycle de Beau de Rochas (ou cycle à allumage commandé, type essence).
  2. Le cycle Diesel (ou cycle à allumage par compression).

Le fluide caloporteur est l’air, assimilé à un gaz parfait de masse molaire MM, de capacité thermique massique à pression constante cpc_p et à volume constant cvc_v, toutes deux supposées constantes. On note γ=cpcv=1,4\gamma = \frac{c_p}{c_v} = 1,4 le coefficient isentropique de l’air.

Le cycle s’effectue dans un cylindre muni d’un piston mobile. Le volume minimal de la chambre est VcV_c (point mort haut, PMH) et le volume maximal est VmaxV_max (point mort bas, PMB). On définit le taux de compression volumique par : α=VmaxVc>1\alpha = \frac{V_{\text{max}}}{V_c} > 1

❓ Questions progressives

Section titled “❓ Questions progressives”

Partie I : Étude du cycle de Beau de Rochas

Section titled “Partie I : Étude du cycle de Beau de Rochas”

Le cycle théorique de Beau de Rochas est constitué de cinq transformations réversibles formant un cycle fermé :

  • 1 →\to 2 : Compression isentropique de l’état (P1,Vmax,T1)(P_1, V_{\text{max}}, T_1) à l’état (P2,Vc,T2)(P_2, V_c, T_2).
  • 2 →\to 3 : Chauffage isochore de l’état (P2,Vc,T2)(P_2, V_c, T_2) à l’état (P3,Vc,T3)(P_3, V_c, T_3), simulant la combustion.
  • 3 →\to 4 : Détente isentropique de l’état (P3,Vc,T3)(P_3, V_c, T_3) à l’état (P4,Vmax,T4)(P_4, V_{\text{max}}, T_4).
  • 4 →\to 1 : Refroidissement isochore de l’état (P4,Vmax,T4)(P_4, V_{\text{max}}, T_4) à l’état initial (P1,Vmax,T1)(P_1, V_{\text{max}}, T_1).

Q1. Représenter qualitativement ce cycle dans le diagramme de Clapeyron (P,V)(P, V) et dans le diagramme entropique (T,S)(T, S).

Q2. Exprimer la quantité de chaleur Q rec¸ueQ_{\text{ reçue}} reçue par le gaz au cours du cycle (exclusivement lors de la phase de combustion 2 →\to 3) en fonction de nn (quantité de matière), cvc_v, T2T_2 et T3T_3.

Q3. Exprimer la quantité de chaleur Q ceˊdeˊeQ_{\text{ cédée}} cédée par le gaz au milieu extérieur au cours du cycle (comptée algébriquement ou en valeur absolue) en fonction de nn, cvc_v, T1T_1 et T4T_4.

Q4. Définir le rendement thermique η\eta du cycle. Montrer que ce rendement s’exprime sous la forme : ηBR=1−T4−T1T3−T2\eta_{\text{BR}} = 1 - \frac{T_4 - T_1}{T_3 - T_2}

Q5. En utilisant les relations de Laplace pour les transformations isentropiques, exprimer le rendement ηBR\eta_{\text{BR}} uniquement en fonction du taux de compression α\alpha et de γ\gamma. Calculer sa valeur numérique pour α=9\alpha = 9 et γ=1,4\gamma = 1,4.

Partie II : Étude du cycle Diesel

Section titled “Partie II : Étude du cycle Diesel”

Dans le cycle Diesel, la combustion n’a plus lieu à volume constant, mais à pression constante. Le cycle comprend les étapes suivantes :

  • 1 →\to 2 : Compression isentropique de (P1,Vmax,T1)(P_1, V_{\text{max}}, T_1) à (P2,Vc,T2)(P_2, V_c, T_2).
  • 2 →\to 3’ : Chauffage isobare de (P2,Vc,T2)(P_2, V_c, T_2) à (P2,V3′,T3′)(P_2, V_{3'}, T_{3'}). On définit le taux de taux d’injection (ou de détente préalable) par β=V3′Vc\beta = \frac{V_{3'}}{V_c} (avec 1<β<α1 < \beta < \alpha).
  • 3’ →\to 4’ : Détente isentropique de (P2,V3′,T3′)(P_2, V_{3'}, T_{3'}) à (P4′,Vmax,T4′)(P_4', V_{\text{max}}, T_{4'}).
  • 4’ →\to 1 : Refroidissement isochore de (P4′,Vmax,T4′)(P_4', V_{\text{max}}, T_{4'}) à (P1,Vmax,T1)(P_1, V_{\text{max}}, T_1).

Q6. Exprimer la quantité de chaleur reçue par le gaz au cours de la transformation isobare 2 →\to 3’ en fonction de nn, cpc_p, T2T_2 et T3′T_{3'}.

Q7. Exprimer la quantité de chaleur cédée par le gaz au cours du refroidissement isochore 4’ →\to 1 en fonction de nn, cvc_v, T1T_1 et T4′T_{4'}.

Q8. Établir l’expression du rendement thermique ηDiesel\eta_{\text{Diesel}} en fonction de α\alpha, β\beta et γ\gamma.

Q9. Analyse critique du modèle : Pour un même taux de compression α\alpha, quel cycle a le meilleur rendement théorique entre Beau de Rochas et Diesel ? Discuter de la validité de ces modèles face aux moteurs réels (pertes thermiques, frotterments, irréversibilités de la combustion).

💡 Pistes & Indications méthodologiques

Section titled “💡 Pistes & Indications méthodologiques”
  • Diagrammes énergétiques : Pensez à l’orientation des cycles dans le plan (P,V)(P,V) (sens horaire pour un moteur thermique qui fournit du travail).
  • Premier principe : Pour les transformations isochores et isobares, utilisez dU=δQ+δWdU = \delta Q + \delta W avec δW=−PdV\delta W = -P dV (donc δQ=ncvdT\delta Q = n c_v dT à VV cst et δQ=ncpdT\delta Q = n c_p dT à PP cst).
  • Relations de Laplace : TVγ−1=cstT V^{\gamma-1} = \text{cst} et PVγ=cstP V^\gamma = \text{cst} sont indispensables pour lier les températures entre elles.
  • Astuce algébrique pour le rendement Diesel : Factorisez par T2T_2 et exprimez les températures T3′T_{3'} et T4′T_{4'} en fonction de T1T_1, α\alpha et β\beta en enchaînant les lois des gaz parfaits et de Laplace.

📋 Corrigé détaillé pas à pas

Section titled “📋 Corrigé détaillé pas à pas”

Partie I : Cycle de Beau de Rochas

Section titled “Partie I : Cycle de Beau de Rochas”

Q1. Représentation graphique :

  • Dans (P,V)(P,V) : Deux isochores (lignes verticales à VcV_c et VmaxV_{\text{max}}) et deux isentropiques (courbes d’équation PVγ=cstP V^\gamma = \text{cst}). Le cycle est parouru dans le sens horaire.
  • Dans (T,S)(T,S) : Deux isochores (pentes différentes, la plus inclinée étant cvc_v) et deux isentropiques (segments verticaux car dS=0dS = 0).

Q2. Chaleur reçue Qrec¸ueQ_{\text{reçue}} : La seule phase où le système reçoit de l’énergie thermique sous forme de chaleur de la part de la source chaude est la transformation isochore 2 →\to 3. Qrec¸ue=ΔU2→3=ncv(T3−T2)Q_{\text{reçue}} = \Delta U_{2 \to 3} = n c_v (T_3 - T_2)

Q3. Chaleur cédée QceˊdeˊeQ_{\text{cédée}} : La chaleur est cédée au milieu extérieur lors du refroidissement isochore 4 →\to 1 : Qceˊdeˊe algeˊbrique=ΔU4→1=ncv(T1−T4)Q_{\text{cédée algébrique}} = \Delta U_{4 \to 1} = n c_v (T_1 - T_4) En valeur absolue, la quantité de chaleur évacuée vers la source froide est : ∣Qceˊdeˊe∣=ncv(T4−T1)|Q_{\text{cédée}}| = n c_v (T_4 - T_1)

Q4. Rendement thermique ηBR\eta_{\text{BR}} : Par définition, le rendement d’un moteur thermique cyclique est le rapport entre le travail total fourni (donc −Wcycle-W_{\text{cycle}}) et la chaleur reçue : ηBR=−WcycleQrec¸ue=Qrec¸ue−∣Qceˊdeˊe∣Qrec¸ue=1−∣Qceˊdeˊe∣Qrec¸ue\eta_{\text{BR}} = \frac{-W_{\text{cycle}}}{Q_{\text{reçue}}} = \frac{Q_{\text{reçue}} - |Q_{\text{cédée}}|}{Q_{\text{reçue}}} = 1 - \frac{|Q_{\text{cédée}}|}{Q_{\text{reçue}}} En substituant les expressions trouvées en Q2 et Q3 : ηBR=1−ncv(T4−T1)ncv(T3−T2)=1−T4−T1T3−T2\eta_{\text{BR}} = 1 - \frac{n c_v (T_4 - T_1)}{n c_v (T_3 - T_2)} = 1 - \frac{T_4 - T_1}{T_3 - T_2}

Q5. Expression de ηBR\eta_{\text{BR}} en fonction de α\alpha et γ\gamma : On utilise les lois de Laplace pour les transformations isentropiques 1 →\to 2 et 3 →\to 4 :

  • Pour 1 →\to 2 : T1Vmaxγ−1=T2Vcγ−1  ⟹  T2=T1(VmaxVc)γ−1=T1αγ−1T_1 V_{\text{max}}^{\gamma-1} = T_2 V_c^{\gamma-1} \implies T_2 = T_1 \left(\frac{V_{\text{max}}}{V_c}\right)^{\gamma-1} = T_1 \alpha^{\gamma-1}
  • Pour 3 →\to 4 : T3Vcγ−1=T4Vmaxγ−1  ⟹  T3=T4(VmaxVc)γ−1=T4αγ−1T_3 V_c^{\gamma-1} = T_4 V_{\text{max}}^{\gamma-1} \implies T_3 = T_4 \left(\frac{V_{\text{max}}}{V_c}\right)^{\gamma-1} = T_4 \alpha^{\gamma-1}

En injectant ces expressions dans le rapport des températures : T4−T1T3−T2=T4−T1αγ−1(T4−T1)=1αγ−1\frac{T_4 - T_1}{T_3 - T_2} = \frac{T_4 - T_1}{\alpha^{\gamma-1}(T_4 - T_1)} = \frac{1}{\alpha^{\gamma-1}} Le rendement s’écrit donc : ηBR=1−1αγ−1\eta_{\text{BR}} = 1 - \frac{1}{\alpha^{\gamma-1}}

Application numérique : Pour α=9\alpha = 9 et γ=1,4\gamma = 1,4 : ηBR=1−190,4=1−12,408≈1−0,415=0,585(soit 58,5%)\eta_{\text{BR}} = 1 - \frac{1}{9^{0,4}} = 1 - \frac{1}{2,408} \approx 1 - 0,415 = 0,585 \quad (\text{soit } 58,5 \%)

Partie II : Cycle Diesel

Section titled “Partie II : Cycle Diesel”

Q6. Chaleur reçue Qrec¸ue, DieselQ_{\text{reçue, Diesel}} : La transformation 2 →\to 3’ est isobare (P=P2P = P_2). La variation d’enthalpie est égale à la chaleur reçue : Qrec¸ue, Diesel=ΔH2→3′=ncp(T3′−T2)Q_{\text{reçue, Diesel}} = \Delta H_{2 \to 3'} = n c_p (T_{3'} - T_2)

Q7. Chaleur cédée Qceˊdeˊe, DieselQ_{\text{cédée, Diesel}} : La transformation 4’ →\to 1 est isochore : ∣Qceˊdeˊe, Diesel∣=ncv(T4′−T1)|Q_{\text{cédée, Diesel}}| = n c_v (T_{4'} - T_1)

Q8. Rendement du cycle Diesel ηDiesel\eta_{\text{Diesel}} : ηDiesel=1−∣Qceˊdeˊe, Diesel∣Qrec¸ue, Diesel=1−ncv(T4′−T1)ncp(T3′−T2)=1−1γT4′−T1T3′−T2\eta_{\text{Diesel}} = 1 - \frac{|Q_{\text{cédée, Diesel}}|}{Q_{\text{reçue, Diesel}}} = 1 - \frac{n c_v (T_{4'} - T_1)}{n c_p (T_{3'} - T_2)} = 1 - \frac{1}{\gamma} \frac{T_{4'} - T_1}{T_{3'} - T_2}

Exprimons toutes les températures en fonction de T1T_1, α\alpha, β\beta et γ\gamma :

  1. Compression 1 →\to 2 (isentropique) : T2=T1αγ−1T_2 = T_1 \alpha^{\gamma-1}
  2. Chauffage isobare 2 →\to 3’ (loi des gaz parfaits à pression constante) : VcT2=V3′T3′  ⟹  T3′=T2V3′Vc=T2β=T1αγ−1β\frac{V_c}{T_2} = \frac{V_{3'}}{T_{3'}} \implies T_{3'} = T_2 \frac{V_{3'}}{V_c} = T_2 \beta = T_1 \alpha^{\gamma-1} \beta
  3. Détente isentropique 3’ →\to 4’ : T3′V3′γ−1=T4′Vmaxγ−1  ⟹  T4′=T3′(V3′Vmax)γ−1T_{3'} V_{3'}^{\gamma-1} = T_{4'} V_{\text{max}}^{\gamma-1} \implies T_{4'} = T_{3'} \left(\frac{V_{3'}}{V_{\text{max}}}\right)^{\gamma-1} Or, V3′Vmax=V3′/VcVmax/Vc=βα\frac{V_{3'}}{V_{\text{max}}} = \frac{V_{3'}/V_c}{V_{\text{max}}/V_c} = \frac{\beta}{\alpha}. Ainsi : T4′=(T1αγ−1β)(βα)γ−1=T1βγT_{4'} = (T_1 \alpha^{\gamma-1} \beta) \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^{\gamma-1} = T_1 \beta^\gamma

En remplaçant T2T_2, T3′T_{3'} et T4′T_{4'} dans l’expression du rendement : ηDiesel=1−1γT1βγ−T1T1αγ−1β−T1αγ−1=1−1γαγ−1[βγ−1β−1]\eta_{\text{Diesel}} = 1 - \frac{1}{\gamma} \frac{T_1 \beta^\gamma - T_1}{T_1 \alpha^{\gamma-1} \beta - T_1 \alpha^{\gamma-1}} = 1 - \frac{1}{\gamma \alpha^{\gamma-1}} \left[ \frac{\beta^\gamma - 1}{\beta - 1} \right]

Q9. Analyse critique du modèle :

  • Comparaison des rendements : Puisque β>1\beta > 1, le terme βγ−1β−1\frac{\beta^\gamma - 1}{\beta - 1} (qui tend vers γ\gamma quand β→1\beta \to 1) est strictement supérieur à 11. Par conséquent, pour un même taux de compression α\alpha, le rendement du cycle de Beau de Rochas est supérieur à celui du cycle Diesel (ηBR>ηDiesel\eta_{\text{BR}} > \eta_{\text{Diesel}}).
  • Réalité industrielle : En pratique, le moteur Diesel compresse de l’air pur, ce qui évite l’auto-allumage prématuré (phénomène de cliquetis). Cela permet d’atteindre des taux de compression α\alpha beaucoup plus élevés dans un moteur Diesel (α∈[15,22]\alpha \in [15, 22]) que dans un moteur essence (α∈[8,11]\alpha \in [8, 11]). Grâce à cette valeur de α\alpha grandement supérieure, le rendement réel d’un moteur Diesel dépasse en pratique celui d’un moteur essence.
  • Limites des modèles idéaux : Les frottements mécaniques, les transferts thermiques non négligeables à travers les parois du cylindre, et le caractère non instantané des combustions font chuter les rendements réels par rapport aux prévisions de ces modèles.