📌 1. Définitions & Cadre d'étude

📌 1. Définitions & Cadre d’étude

En classe de PTSI, l’étude thermodynamique s’inscrit dans le cadre de la description macroscopique de la matière à l’équilibre ou au cours d’évolutions quasi-statiques.

Système thermodynamique et variables d’état

Un système est une portion de l’univers délimitée par une surface réelle ou fictive. Il peut être :

• Fermé : pas d’échange de matière avec l’extérieur.
• Ouvert : échange de matière et d’énergie.
• Isolé : aucun échange ni de matière ni d’énergie.

L’état d’un système à l’équilibre thermodynamique est décrit par des variables d’état (température $T$, pression $P$, volume $V$, nombre de moles $n$).

• Les grandeurs extensives (ex: $V$, $U$, $S$) sont proportionnelles à la quantité de matière.
• Les grandeurs intensives (ex: $P$, $T$) sont indépendantes de la quantité de matière.

Modèle du gaz parfait

L’équation d’état du gaz parfait est : $P V = n R T$ avec $R = 8{,}314\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$. Les énergies internes $U$ et enthalphie $H$ d’un gaz parfait ne dépendent que de la température : $\Delta U = \int_{T_1}^{T_2} C_v(T) \, dT \quad \text{et} \quad \Delta H = \int_{T_1}^{T_2} C_p(T) \, dT$ Pour un gaz parfait monoatomique ou diatomique de capacités thermiques massiques ou molaires constantes, on utilise la relation de Mayer : $C_p - C_n = n R$ (ou $c_p - c_v = r$).

📐 2. Théorèmes fondamentaux & Démonstrations clés

Premier principe de la thermodynamique

Pour un système fermé au repos macroscopique, le premier principe postule l’existence d’une fonction d’état extensive, l’énergie interne $U$, telle que pour toute transformation : $\Delta U = W + Q$ où $W$ est le travail des forces extérieures et $Q$ le transfert thermique.

• Forme infinitésimale : $dU = \delta W + \delta Q$ (attention, $dU$ est une différentielle exacte, mais $\delta W$ et $\delta Q$ sont des formes différentielles non exactes).

Second principe de la thermodynamique

Il introduit l’existence d’une fonction d’état extensive, l’entropie $S$, non conservative. Pour une transformation entre deux états d’équilibre : $\Delta S = S_{\text{ech}} + S_{\text{cre}}$ avec l’entropie créée vérifiant $S_{\text{cre}} \ge 0$ (principe d’évolution).

• $S_{\text{cre}} > 0$ pour une transformation irréversible.
• $S_{\text{cre}} = 0$ pour une transformation réversible (idéalisation).

Second principe sous forme d’inégalité de Clausius

Pour tout cycle ou transformation : $\Delta S \ge \int \frac{\delta Q}{T_{\text{ext}}}$ Et pour une transformation monotherme avec l’extérieur à la température $T_0$ : $S_{\text{cre}} = \Delta S - \frac{Q}{T_0} \ge 0$

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💡 3. Méthodes de calcul & Algorithmes

Calcul du travail $W$

Le travail élémentaire des forces de pression s’exprime par : $\delta W = - P_{\text{ext}} dV$

• Transformation monobare ($P_{\text{ext}} = P_0 = \text{cte}$) : $W = - P_0 (V_2 - V_1)$
• Transformation réversible ($P_{\text{ext}} = P_{\text{système}}$) : $W = - \int_{V_1}^{V_2} P(V) \, dV$
• Transformation isochore ($V = \text{cte}$) : $W = 0$

Application aux machines thermiques cycliques

Une machine thermique échange de l’énergie avec $N$ sources de chaleur. Le cas le plus courant est le fonctionnement entre une source chaude (température $T_c$) et une source froide (température $T_f$).

1. Bilan d’énergie (1er principe sur un cycle) : $\Delta U_{\text{cycle}} = 0 \implies W_{\text{cycle}} + Q_c + Q_f = 0$ où $Q_c$ est reçu de la source chaude et $Q_f$ de la source froide.

2. Bilan d’entropie (2ème principe sur un cycle) : $\Delta S_{\text{cycle}} = 0 = \frac{Q_c}{T_c} + \frac{Q_f}{T_f} + S_{\text{cre}}$ avec $S_{\text{cre}} \ge 0$.

3. Efficacités et performances :

   • Moteur thermique (convertit de la chaleur en travail, $W_{\text{cycle}} < 0$) : $\eta = \frac{-W_{\text{cycle}}}{Q_c} = 1 + \frac{Q_f}{Q_c} \le 1 - \frac{T_f}{T_c} = \eta_{\text{Carnot}}$
   • Réfrigérateur (transfère de la chaleur du froid vers le chauds grâce au travail, $W_{\text{cycle}} > 0$) : $\text{COP}_{\text{réfrigérateur}} = \frac{Q_f}{W_{\text{cycle}}} \le \frac{T_f}{T_c - T_f}$
   • Pompe à chaleur : $\text{COP}_{\text{PAC}} = \frac{-Q_c}{W_{\text{cycle}}} \le \frac{T_c}{T_c - T_f}$

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⚠️ 4. Pièges classiques aux Concours

1. Confondre fonction d’état et transfert : Dire $\Delta W$ ou $\tombstone$ est une erreur fatale. $W$ et $Q$ dépendent du chemin thermodynamique suivi, ce ne sont pas des différentielles exactes (on note $\delta W$ et $\delta Q$). Seuls $dU$, $dH$ et $dS$ s’intègrent simplement entre deux états.

2. Oublier le signe de la pression extérieure ($P_{\text{ext}}$) : Dans la formule $\delta W = -P_{\text{ext}}dV$, la pression extérieure n’est pas nécessairement la pression interne du gaz. En cas de détente brutale contre une pression atmosphérique constante $P_0$, on utilise $P_{\text{ext}} = P_0$, et non $P(V)$ du gaz.

3. Mauvaise utilisation des unités de température : Toutes les relations issues du second principe et les lois des gaz parfaits impliquent impérativement des températures en Kelvin ($T$ en $\text{K} = \theta \text{ en } ^\circ\text{C} + 273{,}15$). Utiliser des degrés Celsius dans les expressions de Carnot conduit à des résultats aberrants.

4. Inverser les sources dans les coefficients de performance : Soyez rigoureux sur les signes algébriques : $Q_c$ est la chaleur reçue de la source chaude, $Q_f$ celle de la source froide. Pour un moteur, $Q_c > 0$ et $Q_f < 0$.