Exercice 2 : Diagrammes (P,v) et (T,s) des machines thermiques

🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude

Les machines thermiques industrielles (centrales à vapeur, pompes à chaleur, moteurs) sont modélisées par des cycles thermodynamiques subis par un fluide caloporteur. L’étude fine de ces cycles repose sur l’exploitation combinée des diagrammes de Clapeyron $(P,v)$ et entropique $(T,s)$ .

On s’intéresse dans ce problème à un cycle moteur à vapeur d’eau idéalisé (cycle de Hirn modifié) fonctionnant entre une source chaude (chaudière) et une source froide (condenseur). Le fluide de travail est l’eau, modélisée comme un corps pur diphasique.

Données et notations :

$P_1 = 0{,}05\text{ bar}$ et $P_2 = 50\text{ bar}$ : pressions respectives du condenseur et de la chaudière.
$T_3 = 450\text{ °C}$ : température de la vapeur en sortie de surchauffeur.
$c_{\text{eau}} = 4{,}18\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$ : capacité thermique massique supposée constante de l’eau liquide.
$L_v(T)$ : chaleur latente de vaporisation. À $P_1$ , $L_{v1} \approx 2450\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}$ et $T_1 \approx 33\text{ °C}$ ( $306\text{ K}$ ).
On négligera le travail des pompes face aux transferts thermiques et au travail de la turbine, sauf mention explicite.

❓ Questions progressives (incluant une analyse critique du modèle)

Représentation graphique : Tracer l’allure qualitative du cycle de Hirn dans le diagramme de Clapeyron $(P,v)$ et dans le diagramme entropique $(T,s)$ . On y fera figurer la cloche de saturation (liquide/vapeur).
Bilan énergétique par étape : Décrire les 4 transformations constituant le cycle :
- $1 \to 2$ : Compression adiabatique réversible du liquide (de $P_1$ à $P_2$ ).
- $2 \to 3$ : Chauffage, vaporisation et surchauffe isobare à $P_2$ .
- $3 \to 4$ : Détente adiabatique réversible dans la turbine jusqu’à $P_1$ .
- $4 \to 1$ : Condensation isobare et isotherme à $P_1$ .
Calculs thêta-énergétiques : Exprimer puis calculer le travail massique total reçu par le fluide au cours du cycle, le transfert thermique massique reçu de la source chaude $q_{\text{sc}}$ , et en déduire le rendement thermique $\eta$ du cycle.
Analyse critique et irréversibilités : Expliquer pourquoi le diagramme $(T,s)$ est particulièrement adapté pour visualiser les pertes d’efficacité (irréversibilités internes) lors de la détente réelle dans la turbine.

💡 Pistes & Indications méthodologiques

Question 1 : Dans le diagramme $(P,v)$ , les isobares sont décroissantes et la zone diphasique est délimitée par la courbe de liquidité et de bupécité. Dans $(T,s)$ , les isobares dans la zone diphasique sont confondues avec les isothermes.
Question 2 : Appliquer le premier principe de la thermodynamique sous forme ouverte (flux ou massique) pour chaque composant (pompe, chaudière, turbine, condenseur) en régime permanent.
Question 3 : Utiliser les expressions de $w = -\int P dv$ ou le premier principe global $\oint (\delta w + \delta q) = 0$ . Pour la chaudière, décomposer l’apport thermique en (a) réchauffage du liquide, (b) vaporisation, (c) surchauffe.
Question 4 : Penser à l’entropie créée $\Delta S_{\text{cr}} = \int \frac{\delta Q_{\irr}}{T} - \Delta S_{\text{sys}}$ pour quantifier l’écart au cycle de Carnot.

📋 Corrigé détaillé pas à pas

1. Représentation graphique $(P,v)$ et $(T,s)$

Diagramme $(P,v)$ (Clapeyron) :
- L’axe des ordonnées est logarithmique ou linéaire ( $P$ ), l’axe des abscisses représente le volume massique $v$ .
- La cloche de saturation sépare le domaine liquide, le domaine diphasique (où $P$ et $T$ sont liés) et le domaine vapeur.
- $1 \to 2$ : Verticale quasi-statique vers le haut (le liquide est très peu compressible, $v \approx \text{cte}$ ).
- $2 \to 3$ : Horizontale vers la droite (isobare $P_2$ ) traversant la cloche puis entrant dans la zone vapeur.
- $3 \to 4$ : Courbe d’adiabatique réversible ( $s = \text{cte}$ , isentropique) orientée vers le bas et la droite.
- $4 \to 1$ : Horizontale vers la gauche (isobare $P_1$ ) ramenant le fluide dans l’état liquide saturé.
Diagramme $(T,s)$ (entropique) :
- $1 \to 2$ : Segment quasi-vertical (isentropique $s_1 = s_2$ ).
- $2 \to 3$ : Courbe de chauffage du liquide, puis palier de vaporisation (isotherme et isobare), puis surchauffe (courbe croissante).
- $3 \to 4$ : Segment vertical descendant ( $s_3 = s_4$ ) dans la zone diphasique.
- $4 \to 1$ : Segment horizontal (isotherme et isobare $T_1$ ) ramenant à l’état 1. L’aire sous le cycle représente le travail net du cycle par unité de masse.

2. & 3. Bilan énergétique et rendement

En régime permanent, le premier principe appliqué à chaque composant (exprimé par unité de masse) donne :

Étape $1 \to 2$ (Pompe) : Le travail massique de compression est $w_{12} = v_1(P_2 - P_1)$ . Avec $v_1 \approx 10^{-3}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}$ et $\Delta P = 49{,}95\text{ bar} = 4995\text{ kPa}$ : $w_{12} \approx 10^{-3} \times 4995 \times 10^3 = 5{,}0\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}$
Étape $2 \to 3$ (Chaudière - Source chaude) : Le transfert thermique massique reçu du milieu extérieur est : $q_{\text{sc}} = h_3 - h_2$ En décomposant l’enthalpie :
- Échauffement du liquide de $T_1$ à $T_{\text{sat}}(P_2)$ : $c_{\text{eau}}(T_{\text{sat}}(P_2) - T_1)$
- Vaporisation à $P_2$ : $L_{v2}$
- Surchauffe de $T_{\text{sat}}(P_2)$ à $T_3$ : $c_{\text{vapeur}}(T_3 - T_{\text{sat}}(P_2))$ Application numérique indicative globale : $q_{\text{sc}} \approx 3200\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}$ .
Étape $3 \to 4$ (Turbine) : La détente est isentropique ( $s_3 = s_4$ ). Le travail massique fourni par le fluide (reçu par l’arbre) est : $w_{34} = h_4 - h_3$ Puisque la détente est adiabatique réversible, $w_{34} = -\int_{3}^{4} P dv$ , représenté par l’aire sous la courbe dans $(P,v)$ .
Étape $4 \to 1$ (Condenseur - Source froide) : $q_{\text{sf}} = h_1 - h_4 < 0$
Rendement thermique du cycle : Le rendement $\eta$ est défini par le rapport entre le travail net utile et l’énergie thermique fournie par la source chaude : $\eta = \frac{W_{\text{net}}}{Q_{\text{sc}}} = \frac{- (w_{12} + w_{34})}{q_{\text{sc}}} = \frac{(h_3 - h_4) - (h_2 - h_1)}{h_3 - h_2}$ A N.C., on obtient typiquement un rendement $\eta \approx 35\%\text{ à }40\%$ , nettement inférieur au rendement de Carnot inter-sources $\eta_C = 1 - \frac{T_1}{T_3}$ en raison des phases de chauffage du liquide hors isotherme.

4. Analyse critique et irréversibilités

Dans une turbine réelle, les frottements fluides et les transferts thermiques non contrôlés génèrent de l’entropie ( $S_{\text{cr}} > 0$ ).

Dans le diagramme $(T,s)$ :
- Une détente isentropique idéale ( $3 \to 4$ ) est représentée par un segment vertical.
- Une détente réelle ( $3 \to 4'$ ) se traduit par une augmentation de l’entropie finale ( $s_{4'} > s_4$ ), ce qui décale l’état final vers la droite dans le diagramme $(T,s)$ .
- Conséquence : L’aire représentant le travail récupéré diminue ( $\Delta w < 0$ ). Le diagramme $(T,s)$ permet ainsi de visualiser immédiatement le “manque à gagner” en travail (perte d’exergie) proportionnel à l’entropie créée $T_0 S_{\text{cr}}$ . Le modèle idéal surestime donc systématiquement les performances réelles de la machine.