Cours : Polynômes et fractions rationnelles

Fiche de Cours : Polynômes et fractions rationnelles (MPSI)

1. Anneau des polynômes $\mathbb{K}[X]$

Soit $\mathbb{K}$ un sous-corps de $\mathbb{C}$ (généralement $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ).

Définitions fondamentales

Polynôme : Une suite presque nulle d’éléments de $\mathbb{K}$ , notée formellement $P = \sum_{k=0}^n a_k X^k$ . L’ensemble de ces polynômes est noté $\mathbb{K}[X]$ .
Degré : Si $P = \sum_{k=0}^n a_k X^k$ avec $a_n \neq 0$ , le degré de $P$ , noté $\deg(P)$ , est $n$ . Par convention, le polynôme nul $0$ a pour degré $-\infty$ et les polynômes non nuls constants ont pour degré $0$ .
Coefficient dominant : $a_n$ (le coefficient de plus haut degré). Si $a_n = 1$ , le polynôme est dit unitaire.

Théorème (Structure d’anneau et intégrité) : $(\mathbb{K}[X], +, \times)$ est un anneau commutatif intégrent. De plus, pour tous $P, Q \in \mathbb{K}[X]$ , $\deg(P + Q) \leq \max(\deg(P), \deg(Q))$ $\deg(PQ) = \deg(P) + \deg(Q) \quad (\text{avec la convention } -\infty + n = -\infty)$

Dérivation formelle

Pour $P = \sum_{k=0}^n a_k X^k$ , le polynôme dérivé est $P' = \sum_{k=1}^n k a_k X^{k-1}$ . Les règles usuelles de dérivation (linéarité, produit, composée) s’appliquent dans $\mathbb{K}[X]$ .

Formule de Taylor pour les polynômes : Si $\deg(P) \le n$ , alors pour tout $a \in \mathbb{K}$ : $P(X) = \sum_{k=0}^n \frac{P^{(k)}(a)}{k!} (X-a)^k$

2. Divisibilité et division euclidienne dans $\mathbb{K}[X]$

Divisibilité

Soient $A, B \in \mathbb{K}[X]$ . On dit que $B$ divise $A$ (noté $B \mid A$ ) s’il existe $Q \in \mathbb{K}[X]$ tel que $A = BQ$ .

Théorème (Division euclidienne) : Soient $A, B \in \mathbb{K}[X]$ avec $B \neq 0$ . Il existe un unique couple $(Q, R) de polynômes de \mathbb{K}[X]$ tel que : $A = BQ + R \quad \text{et} \quad \deg(R) < \deg(B)$

Idéaux de $\mathbb{K}[X]$

Propriété : Tout idéal de $\mathbb{K}[X]$ est principal. C’est-à-dire que pour tout idéal $\mathcal{I}$ , il existe un unique polynôme unitaire $D$ tel que $\mathcal{I} = (D) = \{DC \mid C \in \mathbb{K}[X]\}$ .

3. Racines et factorisation

Racines et multiplicité

Racine : $\alpha \in \mathbb{K}$ est racine de $P$ si $P(\alpha) = 0$ , ce qui équivaut à $(X-\alpha) \mid P$ .
Ordre de multiplicité : $\alpha$ $α$ est racine d’ordre $m \ge 1$ $m \geq 1$ de $P$ $P$ si $(X-\alpha)^m \mid P$ $(X - α)^{m} ∣ P$ et $(X-\alpha)^{m+1} \nmid P$ $(X - α)^{m + 1} ∤ P$ .
- Si $m=1$ , la racine est simple.
- Si $m=2$ , la racine est double.

Caractérisation analytique : $\alpha$ est racine d’ordre $m$ de $P$ si et seulement si : $P(\alpha) = P'(\alpha) = \dots = P^{(m-1)}(\alpha) = 0 \quad \text{et} \quad P^{(m)}(\alpha) \neq 0$

Théorème (D’alembert-Gauss) : Le corps $\mathbb{C}$ est algébriquement clos : tout polynôme non constant de $\mathbb{C}[X]$ admet au moins une racine dans $\mathbb{C}$ .

Factorisation dans $\mathbb{C}[X]$ et $\mathbb{R}[X]$

Dans $\mathbb{C}[X]$ : Tout polynôme $P \in \mathbb{C}[X]$ de degré $n \ge 1$ se factorise de manière unique (à l’ordre près des facteurs) sous la forme : $P(X) = \lambda \prod_{k=1}^r (X - \alpha_k)^{m_k}$ où $\lambda \in \mathbb{C}^*$ , les $\alpha_k$ sont les racines distinctes et $\sum m_k = n$ .
Dans $\mathbb{R}[X]$ : Les racines non réelles d’un polynôme à coefficients réels viennent par paires conjuguées. Les polynômes irréductibles de $\mathbb{R}[X]$ sont les de degré $1$ et les de degré $2$ à discriminant strictement négatif. $P(X) = \lambda \prod_{k=1}^r (X - a_k)^{m_k} \prod_{j=1}^s (X^2 + p_j X + q_j)^{n_j}$ avec $\Delta_j = p_j^2 - 4q_j < 0$ .

4. Fractions rationnelles

Une fraction rationnelle sur $\mathbb{K}$ est un élément de $\mathbb{K}(X)$ , quotient de deux polynômes $P/Q$ avec $Q \neq 0$ .

Partie entière

Théorème : Soit $F = \frac{P}{Q} \in \mathbb{K}(X)$ . Il existe un unique couple $(E, \frac{P_1}{Q})$ tel que : $F = E + \frac{P_1}{Q}$ avec $E \in \mathbb{K}[X]$ (la partie entière) et $\deg(P_1) < \deg(Q)$ . Méthode : On l’obtient en effectuant la division euclidienne de $P$ par $Q$ selon les puissances croissantes ou par division euclidienne usuelle si $\deg(P) \ge \deg(Q)$ .

Pôles et zéros

Pôle : Soit $F = P/Q$ sous forme irréductible. $\alpha$ est un pôle d’ordre $m$ de $F$ si $\alpha$ est racine d’ordre $m$ de $Q$ .
Valeur en un point : Si $Q(\alpha) \neq 0$ , $F(\alpha) = \frac{P(\alpha)}{Q(\alpha)}$ .

5. Décomposition en éléments simples (DES)

Théorème fondamental

Soit $F = \frac{P}{Q} \in \mathbb{K}(X)$ dont la décomposition du dénominateur dans $\mathbb{K}[X]$ est : $Q(X) = \lambda \prod_{k=1}^r (X - a_k)^{m_k}$ Alors $F$ se décompose de manière unique sous la forme : $F(X) = E(X) + \sum_{k=1}^r \sum_{j=1}^{m_k} \frac{a_{k,j}}{(X - a_k)^j}$ (Dans le cas de $\mathbb{R}(X)$ , on ajoute des termes de la forme $\frac{b_j X + c_j}{(X^2 + pX + q)^j}$ si les facteurs irréductibles sont de degré $2$ ).

Méthodes & Savoir-faire

Calculer le PGCD de deux polynômes : Utiliser l’algorithme d’Euclide (succession de divisions euclidiennes). Le dernier reste non nul (rendu unitaire) est le PGCD.
Trouver une racine multiple : Si l’on soupçonne qu’une racine $\alpha$ de $P$ est multiple, on vérifie si $P(\alpha) = 0$ et $P'(\alpha) = 0$ . Plus généralement, $\alpha$ est racine commune de $P$ et $P'$ .
Déterminer les coefficients d’un DES :
- Par identification : Réduire au même dénominateur et identifier les coefficients de chaque puissance de $X$ (lourd si le degré est grand).
- Par substitution (valeurs particulières) : Évaluer la relation en des points judicieux (souvent non définis pour la fraction, on utilise les limites ou la continuité algébrique).
- Par application d’opérateurs (ex: multiplication par $(X-a)^m$ et évaluation en $a$ ) : Permet d’isoler directement le coefficient du pôle dominant.
- Par parité / par passage à la limite en $\infty$ : Permet de gagner des équations rapidement.

Pièges à éviter (Attention !)

Attention au corps de base ( $\mathbb{R}$ vs $\mathbb{C}$ ) : $X^2 + 1$ est irréductible dans $\mathbb{R}[X]$ , mais se factorise en $(X-i)(X+i)$ dans $\mathbb{C}[X]$ . La décomposition en éléments simples dépend crucialement du corps $\mathbb{K}$ choisi !
Ne pas oublier la partie entière : Dans un DES, si $\deg(P) \ge \deg(Q)$ , la partie entière $E(X)$ n’est pas nulle. L’oublier fausse toute la décomposition.
Forme irréductible : Avant de chercher l’ordre d’un pôle pour le DES, assurez-vous que la fraction est bien sous forme irréductible (simplifiez les facteurs communs si $P$ et $Q$ ne sont pas premiers entre eux).