Cours : Mécanique des fluides

Fiche de Cours : Mécanique des Fluides (PSI)

1. Introduction et Cinématique des fluides

Définitions fondamentales

• Fluide : Milieu continu, déformable, dont les molécules sont en mouvement incessant et désordonné. On distingue les liquides (incompressibles) des gaz (compressibles).
• Hypothèse du milieu continu : On néglige la nature moléculaire. Les grandeurs physiques (masse volumique $\rho$, pression $P$, température $T$, vitesse $\vec{v}$) sont des fonctions continues du temps $t$ et de l’espace $\vec{M}(x, y, z)$.
• Particule de fluide : Volume élémenttaire $d\tau$ autour d’un point M, grand devant la distance intermoléculaire mais petit devant l’échelle macroscopique du système.

Description eulérienne vs lagrangienne

• Description lagrangienne : On suit chaque particule de fluide au cours du temps. (Variables : position initiale $\vec{a}$ et temps $t$).
• Description eulérienne : On observe ce qui se passe en un point fixe de l’espace au cours du temps. (Variables : position $\vec{M}$ et temps $t$). C’est la description privilégiée en PSI.

Dérivée particulaire (ou substantielle)

Soit $A(M, t)$ une grandeur physique (scalaire ou vectorielle). La variation de $A$ subie par une particule de fluide entre $t$ et $t+dt$ est : $\frac{dA}{dt} = \frac{\partial A}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \vec{\nabla})A$ où $\frac{\partial A}{\partial t}$ est la dérivée locale et $(\vec{v} \cdot \vec{\nabla})A$ est la dérivée convective.

---

2. Statique des fluides

Équation fondamentale de la statique des fluides (EFSF)

Dans le référentiel terrestre (supposé galiléen), pour un fluide au repos ($\vec{v} = \vec{0}$), l’application du PFD à une particule de fluide donne : $\vec{\nabla} P = \rho \vec{g}$ où $\vec{g}$ est le champ de pesanteur.

Conséquences et Théorèmes

• Fluide incompressible et homogène ($\rho = \text{cte}$) dans un champ de pesanteur uniforme ($\vec{g} = -g \vec{e}_z$) : $P(z) + \rho g z = \text{cte}$ Entre deux points $1$ et $2$ : $P_2 - P_1 = -\rho g (z_2 - z_1)$.
• Loi de Pascal : Toute variation de pression en un point d’un fluide incompressible au repos se transmet intégralement dans tout le fluide.
• Poussée d’Archimède : Tout corps immergé dans un fluide au repos subit de la part de celui-ci une force verticale, dirigée vers le haut, égale au poids du volume de fluide déplacé : $\vec{F}_{\text{archimède}} = -\iiint_{\text{volume}} \rho_{\text{fluide}} \vec{g} \, d\tau$

---

3. Dynamique des fluides parfaits

Un fluide est dit parfait si son modèle néglige les effets visqueux (tenseur des contraintes visqueuses nul, la force pressante est donc la seule force de contact exercée orthogonalement à toute surface).

Conservation de la masse : Équation de continuité

Pour tout fluide, la conservation de la masse se traduit par l’équation locale : $\frac{\partial \rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho \vec{v}) = 0$

• Cas d’un fluide incompressible ($\rho = \text{cte}$) : $\operatorname{div}(\vec{v}) = 0$

Équation d’Euler (Dynamique du fluide parfait)

L’application de la 2ème loi de Newton à une particule de fluide parfait donne l’équation d’Euler : $\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \vec{\nabla})\vec{v} \right) = -\vec{\nabla} P + \rho \vec{g}$

Théorème de Bernoulli

• Sous sa forme le long d’une ligne de courant (régime stationnaire, fluide parfait, incompressible, $\vec{g} = -g\vec{e}_z$) : Le long d’une ligne de courant : $P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gz = \text{cte}$
• Sous sa forme généralisée (si l’écoulement est irrotationnel : $\vec{\nabla} \times \vec{v} = \vec{0}$) : La constante est la même partout dans tout le fluide.

---

4. Dynamique des fluides visqueux (Fluides réels)

Viscosité et Navier-Stokes

Pour un fluide réel, les frottements internes s’opposent au mouvement. Pour un fluide newtonien incompressible, la viscosité dynamique $\mu$ (en $\text{Pa}\cdot\text{s}$) intervient via le terme laplacien de la vitesse. Équation de Navier-Stokes : $\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \vec{\nabla})\vec{v} \right) = -\vec{\nabla} P + \mu \Delta \vec{v} + \rho \vec{g}$

Nombre de Reynolds

Le nombre de Reynolds $Re$ est un nombre sans dimension qui caractérise le régime d’écoulement : $Re = \frac{\rho v L}{\mu} = \frac{v L}{\nu}$ où $L$ est une dimension caractéristique du système et $\nu = \mu/\rho$ la viscosité cinématique (en $\text{m}^2\cdot\text{s}^{-1}$).

• $Re \ll 1$ : Régime de Stokes (visqueux, inertie négligeable).
• $Re \gg 1$ : Régime d’Euler (inertie dominante, viscosité négligeable sauf aux abords des parois : couches limites).

---

5. Méthodes et Résolution de problèmes

1. Choix du système et de la description : Privilégier la description eulérienne en régime stationnaire.
2. Application du théorème de Bernoulli :
   • Identifier les hypothèses : fluide parfait, incompressible, stationnaire, écoulement le long d’une ligne de courant.
   • Choisir deux points $A$ et $B$ judicieusement (souvent sur une même ligne de courant, avec des vitesses connues ou nulles, et des pressions imposées comme $P_{\text{atm}}$).
3. Approximation des régimes de Stokes / Poiseuille en canal ou conduite cylindrique :
   • Poser la symétrie et l’invariance du problème (souvent cylindrique : $\vec{v} = v_z(r) \vec{e}_z$).
   • Projeter l’équation de Navier-Stokes.
   • Intégrer en utilisant les conditions aux limites (condition de non-glissement : $\vec{v} = \vec{0}$ à la paroi).

---

6. Pièges à éviter et Erreurs classiques

• Oubli des conditions de validité de Bernoulli : Ne jamais appliquer Bernoulli si le fluide est visqueux (sauf perte de charge explicitement modélisée) ou si l’écoulement est instationnaire.
• Confusion entre pression statique et dynamique : Dans Bernoulli ($P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gz = \text{cte}$), $P$ est la pression statique (pression thermodynamique ressentie par une particule en mouvement avec le fluide).
• Signe de la Poussée d’Archimède : Elle est toujours orientée vers le haut (sens opposé à la gravité $\vec{g}$).
• Conditions aux limites en viscosité : Ne pas oublier la condition de non-glissement pour un fluide visqueux au contact d’une paroi solide (la vitesse du fluide est égale à la vitesse de la paroi).