Cours : Systèmes différentiels

Fiche de Cours : Systèmes Différentiels (PSI - Mathématiques)

La résolution des systèmes différentiels linéaires est un outil fondamental en mathématiques appliquées et en physique (mécanique, automatique). En classe de seconde année PSI, l’étude se focalise principalement sur les systèmes différentiels linéaires à coefficients constants.

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I. Généralités et Structure de l’Ensemble des Solutions

1. Définitions et cadre d’étude

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$.

• Un système différentiel linéaire d’ordre 1 sur $I$ est de la forme : $\forall t \in I, \quad X'(t) = A(t)X(t) + B(t) \quad (\text{S})$ où $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})(\mathbb{K} = \mathbb{R} \text{ ou } \mathbb{C})$ est une matrice continue sur $I$, $B : I \to \mathbb{K}^n$ est un second membre continu, et $X : I \to \mathbb{K}^n$ est l’inconnue cherchée.
• Le système homogène (ou sans second membre) associé est : $X'(t) = A(t)X(t) \quad (\text{H})$

2. Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire (Admis)

Théorème (Cauchy-Lipschitz linéaire global) : Si $A$ et $B$ sont continues sur $I$, alors pour tout $t_0 \in I$ et pour tout vecteur initial $X_0 \in \mathbb{K}^n$, il existe un unique maximal solution du problème de Cauchy : $\begin{cases} X'(t) = A(t)X(t) + B(t) \\ X(t_0) = X_0 \end{cases}$ De plus, cette solution est définie sur le stuc entier $I$.

3. Structure de l’ensemble des solutions

Théorème :

1. L’ensemble des solutions du système homogène $(\text{H})$, noté $\mathcal{S}_0$, est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n$.
2. L’ensemble des solutions du système avec second membre $(\text{S})$ est un espace affine de direction $\mathcal{S}_0$. Sa solution générale s’obtient comme la somme d’une solution particulière de $(\text{S})$ et de la solution générale du système homogène associé $(\text{H})$.

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II. Systèmes Linéaires à Coefficients Constants (Cas Homogène)

On s’intéresse désormais au système $(\text{H}) : X' = AX$ où $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ est une matrice constante.

1. Définition de l’exponentielle de matrice

Définition : Pour toute matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, la série $\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{A^k}{k!}$ converge normalement dans $(\mathcal{M}_n(\mathbb{C}), ||\cdot||)$. Sa somme est appelée exponentielle de la matrice $A$, notée $\exp(A)$ ou $e^A$.

Propriétés fondamentales :

• Si $AB = BA$, alors $e^{A+B} = e^A e^B$.
• Pour toute matrice $A$, $e^A$ est inversible et $(e^A)^{-1} = e^{-A}$.
• L’application $t \mapsto e^{tA}$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ et : $\frac{d}{dt}\left(e^{tA}\right) = A e^{tA} = e^{tA} A$

2. Expression de la solution générale

Théorème : L’unique solution du problème de Cauchy : $\begin{cases} X'(t) = AX(t) \\ X(0) = X_0 \end{cases}$ est donnée par $\forall t \in \mathbb{R}, \quad X(t) = e^{tA}X_0$.

3. Méthodes pratiques de calcul de la solution générale

En pratique, on évite de calculer directement $e^{tA}$ via la série. On utilise la structure des sous-espaces propres ou caractéristiques.

Cas où $A$ est diagonalisable (dans $\mathbb{C}$ ou $\mathbb{R}$)

Si $A$ admet une base de vecteurs propres $(V_1, V_2, \dots, V_n)$ associée aux valeurs propres $(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$ (éventuellement confondues), alors la solution générale s’écrit : $X(t) = \sum_{k=1}^n C_k e^{\lambda_k t} V_k \quad \text{où } (C_1, \dots, C_n) \in \mathbb{K}^n$

Cas général (Réduction de Jordan / Dunford)

Si $A$ n’est pas diagonalisable sur $\mathbb{R}$, on peut :

1. Travailler sur $\mathbb{C}$ pour diagonaliser ou trigonaliser (Dunford $A = D + N$ avec $DN=ND$ et $N$ nilpotente).
2. Alors $e^{tA} = e^{tD} e^{tN} = e^{tD} \left( \sum_{k=0}^{n-1} \frac{t^k}{k!} N^k \right)$.

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III. Cas Particulier : Systèmes d’ordre 2 à coefficients constants dans $\mathbb{R}$

Soit le système $X' = AX$ avec $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Soit $\chi_A(\lambda) = \lambda^2 - \text{Tr}(A)\lambda + \det(A)$ le polynôme caractéristique.

1. Deux valeurs propres réelles distinctes ($\Delta > 0$) : $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}$. Solutions de la forme : $X(t) = C_1 e^{\lambda_1 t} V_1 + C_2 e^{\lambda_2 t} V_2$

2. Une valeur propre réelle double ($\Delta = 0$) : $\lambda_0 \in \mathbb{R}$. Si $A$ est diagonalisable ($A = \lambda_0 I$), $X(t) = C e^{\lambda_0 t} X_0$. Si $A$ n’est pas diagonalisable, d’après Cayley-Hamilton, $(A - \lambda_0 I)^2 = 0$. On a : $e^{tA} = e^{\lambda_0 t} e^{t(A - \lambda_0 I)} = e^{\lambda_0 t} (I + t(A - \lambda_0 I))$

3. Valeurs propres complexes conjuguées ($\Delta < 0$) : $\lambda = \alpha + i\beta$ avec $\beta \neq 0$. Soit $V$ un vecteur propre complexe associé à $\lambda$. Une solution complexe est $Z(t) = e^{\lambda t}V$. Les solutions réelles s’obtiennent en prenant la partie réelle et la partie imaginaire de $Z(t)$ : $X(t) = C_1 \text{Re}\left(e^{(\alpha + i\beta)t}V\right) + C_2 \text{Im}\left(e^{(\alpha + i\beta)t}V\right)$

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IV. Méthodes de Résolution avec Second Membre

Pour $X' = AX + B(t)$, la solution générale est $X(t) = X_H(t) + X_p(t)$.

1. Méthode de la variation de la constante

On cherche une solution particulière sous la forme : $X_p(t) = e^{tA} K(t)$ où $K$ est une fonction dérivable à valeurs dans $\mathbb{K}^n$. En injectant dans l’équation : $X_p'(t) = A e^{tA} K(t) + e^{tA} K'(t) = A X_p(t) + B(t)$ D’où $e^{tA} K'(t) = B(t)$, soit : $K'(t) = e^{-tA} B(t) \implies K(t) = \int_{t_0}^t e^{-sA} B(s) ds$

Formule générale de Duhamel : $X(t) = e^{(t-t_0)t} X_0 + \int_{t_0}^t e^{(t-s)A} B(s) ds$

2. Principe de superposition (Recherche par analogie)

Si $B(t)$ est de la forme $e^{\mu t} P(t)$ où $P$ est un vecteur polynomial, on cherche $X_p(t)$ sous une forme analogue (en tenant compte de l’éventuelle résonance si $\mu$ est valeur propre de $A$).

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V. Méthodes et Pièges à Éviter

⚠️ PIÈGES CLASSIQUES :

1. Confusion dimensionnelle : S’assurer que le vecteur $X(t)$ est bien de dimension $n$ et que la matrice $A$ est carrée $n \times n$.
2. Non-commutativité : Attention, si $A$ et $B$ ne commutent pas ($AB \neq BA$), $e^{A+B} \neq e^A e^B$. C’est une erreur fatale fréquente dans les calculs matriciels.
3. oubli des conditions initiales : Dans un problème de Cauchy, ne pas oublier de déterminer les constantes d’intégration $(C_1, \dots, C_n)$ en injectant la condition $X(t_0) = X_0$.
4. Racines complexes : En PSI, on manipule des systèmes réels. Même si le calcul intermédiaire passe par $\mathbb{C}$ (valeurs propres complexes), le résultat final exprimé dans la base de l’énoncé doit être réel (utiliser $\text{Re}$ et $\text{Im}$).

💡 MÉTHODE - Rédaction type concours :

• Étape 1 : Résoudre l’équation homogène $X' = AX$. Déterminer les valeurs propres de $A$, préciser s’il y a diagonalisabilité. Expliciter clairement $\mathcal{S}_0$ sous forme d’une combinaison linéaire de $n$ solutions indépendantes.
• Étape 2 : Pour le second membre, identifier une forme évidente (principe de superposition) ou appliquer la variation de la constante.
• Étape 3 : Conclure en écrivant la solution générale $X = X_H + X_p$ et utiliser les conditions initiales si elles sont fournies.