Optimisation au concours : Physique PSI

🎯 Objectif du module & Exigences des Jurys

En filière PSI, les épreuves de Physique-Chimie (Mines-Ponts, Centrale-Supélec, CCINP) se distinguent par une approche résolument tournée vers les systèmes multiphysiques, le dimensionnement énergétique et le couplage conversion/actionneur. Le jury n’évalue pas seulement la justesse mathématique, mais l’aptitude à :

1. Poser explicitement le domaine de validité des modèles (régime de conduction, hypothèses d’écoulement, régimes quasi-stationnaires).
2. Justifier les relations intégrales et moyennes par des théorèmes généraux plutôt que par intuition.
3. Maîtriser les bilans énergétiques (puissance instantanée vs puissance moyenne, puissance d’échange fluide-paroi/machine).
4. Vérifier systématiquement l’homogénéité dimensionnelle et les ordres de grandeur physiques.

Ce guide présente la structure canonique de réponse et les rédactions idéales attendues pour deux familles de questions à très fort coefficient.

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📌 Question Type 1 : Bilan de puissance et étude d’un convertisseur statique (hacheur/onduleur)

💡 Méthode canonique & Étapes de rédaction

1. Définition du cadre et des hypothèses d’étude :

   • Préciser l’état des interrupteurs (semi-conducteurs parfaits : chutes de tension et courants de fuite nuls, commutations instantanées).
   • Spécifier le régime de conduction : régime de conduction continue (RCC) supposé établi.
   • Rappeler la condition de régime périodique : pour toute grandeur $x(t)$, $x(t+T) = x(t)$.

2. Étude séquentielle sur une période de découpage $T$ :

   • Pour $t \in [0, \alpha T]$ : schéma équivalent, identification de la maille active, équation différentielle liant la tension de sortie $u_s(t)$ à l’entrée $E_0$.
   • Pour $t \in [\alpha T, T]$ : schéma équivalent avec composant de roue libre, détermination de $u_s(t)$.

3. Valeurs moyennes et propriétés d’une inductance :

   • Calculer la tension moyenne en sortie : $\langle u_s \rangle = \frac{1}{T}\int_0^T u_s(t) \, \text{d}t$.
   • Énoncer la propriété fondamentale de la bobine en régime périodique : $\langle u_L \rangle = \left\langle L \frac{\text{d}i}{\text{d}t} \right\rangle = \frac{L}{T} \int_0^T \frac{\text{d}i}{\text{d}t} \, \text{d}t = \frac{L}{T} [i(T) - i(0)] = 0$
   • En déduire la relation fondamentale liant $\langle u_s \rangle$ aux autres éléments de charge (f.é.m., résistance).

4. Ondulation de courant et dimensionnement :

   • Intégrer l’équation différentielle sur la phase de magnétisation $[0, \alpha T]$ pour exprimer $\Delta i = i_{\text{max}} - i_{\text{min}}$.
   • Déterminer l’inductance minimale $L_{\text{min}}$ garantissant le maintien de la conduction continue ($i_{\text{min}} \ge 0$).

5. Bilan des puissances :

   • Puissance fournie par la source : $P_e = \langle e(t) i_e(t) \rangle$.
   • Puissance reçue par la charge : $P_s = \langle u_s(t) i(t) \rangle$.
   • Attention capitale : pour les pertes Joule, $\langle R i^2 \rangle = R I_{\text{eff}}^2 \neq R \langle i \rangle^2$. Si l’ondulation est faible ($\Delta i \ll \langle i \rangle$), l’approximation $I_{\text{eff}} \approx \langle i \rangle$ doit être explicitement formulée.

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📋 Exemple de sujet & Rédaction modèle type Concours

Énoncé :
Un hacheur série (abaisseur) est alimenté par une source de tension continue idéale de f.é.m. $E_0 = 100 \text{ V}$. Il débite sur l’induit d’un moteur à courant continu modélisé par une f.é.m. $E$, une résistance $R = 0{,}50 \ \Omega$ et une inductance de lissage $L = 20 \text{ mH}$. La fréquence de hachage est $f = 20 \text{ kHz}$ ($T = 1/f$). L’interrupteur commandé $K$ est passant sur $[0, \alpha T]$ et bloqué sur $[\alpha T, T]$. La diode $D$ assure la roue libre. On suppose le régime permanent établi et la conduction continue. Le rapport cyclique est $\alpha = 0{,}60$.

1. Exprimer puis calculer la tension moyenne $\langle u_s \rangle$ aux bornes de la charge.
2. Exprimer l’ondulation crête à crête de courant $\Delta i$ en fonction de $E_0, \alpha, L$ et $f$.
3. Sachant que le courant moyen vaut $\langle i \rangle = 15 \text{ A}$, établir le bilan de puissance et déterminer la puissance électromécanique $P_{\text{em}}$ développée par le moteur.

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Rédaction modèle :

1. Calcul de la tension moyenne $\langle u_s \rangle$
Les semi-conducteurs étant idéaux :

• Pour $t \in [0, \alpha T]$ : $K$ est fermé, $D$ est bloquée sous tension inverse négative. On a $u_s(t) = E_0$.
• Pour $t \in [\alpha T, T]$ : $K$ est ouvert, la continuité du courant dans l’inductance force la mise en conduction de la diode de roue libre $D$, d’où $u_s(t) = 0$.

Par définition de la valeur moyenne : $\langle u_s \rangle = \frac{1}{T} \left( \int_0^{\alpha T} E_0 \, \text{d}t + \int_{\alpha T}^T 0 \, \text{d}t \right) = \alpha E_0$

Application numérique : $\langle u_s \rangle = 0{,}60 \times 100 = 60 \text{ V}$

2. Expression de l’ondulation de courant $\Delta i$
Sur l’intervalle $t \in [0, \alpha T]$, la loi des mailles s’écrit : $u_s(t) = E_0 = L \frac{\text{d}i}{\text{d}t} + R i(t) + E$

En pratique industrielle et en régime de lissage efficace, la chute ohmique est négligeable devant les tensions de source ($R i \ll E_0$). L’équation se simplifie en : $\frac{\text{d}i}{\text{d}t} \approx \frac{E_0 - \langle u_s \rangle}{L} = \frac{E_0(1 - \alpha)}{L}$

En intégrant entre $t = 0$ (où $i = i_{\text{min}}$) et $t = \alpha T$ (où $i = i_{\text{max}}$) : $\Delta i = i_{\text{max}} - i_{\text{min}} = \int_0^{\alpha T} \frac{E_0(1 - \alpha)}{L} \, \text{d}t = \frac{\alpha (1 - \alpha) E_0}{L f}$

Application numérique : $\Delta i = \frac{0{,}60 \times (1 - 0{,}60) \times 100}{20 \times 10^{-3} \times 20 \times 10^3} = \frac{24}{400} = 0{,}060 \text{ A} = 60 \text{ mA}$ L’hypothèse d’une ondulation négligeable devant $\langle i \rangle$ ($\Delta i / \langle i \rangle = 0{,}060 / 15 = 4{,}0 \times 10^{-3} \ll 1$) est parfaitement vérifiée.

3. Bilan de puissance et puissance électromécanique
En régime permanent périodique, la tension moyenne aux bornes de l’inductance est nulle : $\langle u_L \rangle = 0 \implies \langle u_s \rangle = R \langle i \rangle + E \implies E = \langle u_s \rangle - R \langle i \rangle$

Calcul de la f.é.m. : $E = 60 - 0{,}50 \times 15 = 52{,}5 \text{ V}$

La puissance électromécanique moyenne convertie est : $P_{\text{em}} = E \langle i \rangle$

Application numérique : $P_{\text{em}} = 52{,}5 \times 15 = 787{,}5 \text{ W} \approx 7{,}9 \times 10^2 \text{ W}$

Vérification du bilan global :

• Puissance électrique moyenne absorbée à la source : $P_e = \langle E_0 i_K(t) \rangle = E_0 \langle i_K \rangle$ Or, le courant $i_K(t)$ vaut $i(t) \approx \langle i \rangle$ sur $[0, \alpha T]$ et $0$ sinon, donc $\langle i_K \rangle = \alpha \langle i \rangle$. $P_e = E_0 \alpha \langle i \rangle = \langle u_s \rangle \langle i \rangle = 60 \times 15 = 900 \text{ W}$
• Pertes Joule moyennes dans l’induit : $P_J = R I_{\text{eff}}^2 \approx R \langle i \rangle^2 = 0{,}50 \times 15^2 = 112{,}5 \text{ W}$
• On retrouve bien la conservation stricte : $P_e = P_J + P_{\text{em}} \iff 900 \text{ W} = 112{,}5 \text{ W} + 787{,}5 \text{ W}$

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⚠️ Les pièges majeurs soulignés dans les rapports de jury

1. Confusion entre $I_{\text{eff}}$ et $\langle i \rangle$ : Écrire systématiquement $P_J = R \langle i \rangle^2$ sans justifier que l’ondulation $\Delta i$ est très faible devant la valeur moyenne entraîne une pénalité systématique. La formule exacte est $I_{\text{eff}}^2 = \langle i \rangle^2 + \frac{(\Delta i)^2}{12}$ pour une ondulation triangulaire.
2. Oubli de la nullité de $\langle u_L \rangle$ : Utiliser la loi d’Ohm instantanée sur des grandeurs moyennes sans justifier que l’effet inductif moyen disparaît en régime périodique établi est perçu comme une méconnaissance des bases de l’électrotechnique.
3. Absence de vérification de la conduction continue : Tout raisonnement basé sur $u_s = 0$ en phase de roue libre suppose $i(t) > 0$. Si $\langle i \rangle < \frac{\Delta i}{2}$, le hacheur entre en conduction discontinue, et les formules usuelles ($\langle u_s \rangle = \alpha E_0$) deviennent fausses.

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📌 Question Type 2 : Mécanique des fluides : équation d’Euler, théorème de Bernoulli et pertes de charge

💡 Méthode canonique & Étapes de rédaction

1. Énonciation rigoureuse du système et des hypothèses :

   • Fluide homogène, de masse volumique constante $\rho$ (écoulement incompressible).
   • Régime permanent ou stationnaire : $\frac{\partial}{\partial t} = 0$.
   • Caractérisation des forces de volume (pesanteur uniforme $\vec{g} = -g \vec{u}_z$).
   • Champ de vitesse : écoulement unidimensionnel dans l’approximation des vitesses débitantes moyennes $v = \frac{D_v}{S}$.

2. Équation locale puis forme intégrale :

   • Partir de l’équation de Navier-Stokes pour un fluide parfait (Euler) : $\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v} \right) = -\vec{\nabla} p + \rho \vec{g}$
   • Rappeler l’identité vectorielle $(\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v} = \vec{\nabla}\left(\frac{v^2}{2}\right) + \vec{\text{rot}}\,\vec{v} \wedge \vec{v}$.
   • Justifier l’intégration le long d’une ligne de courant (ou dans tout le fluide si l’écoulement est irrotationnel).

3. Formulation du théorème de Bernoulli généralisé (avec machine et frottements) : Entre deux sections droites $(1)$ et $(2)$ orientées dans le sens de l’écoulement : $\left( p_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g z_2 \right) - \left( p_1 + \frac{1}{1} \rho v_1^2 + \rho g z_1 \right) = \Delta p_{\text{machine}} - \Delta p_{\text{pertes}}$ ou, exprimé sous forme de hauteur équivalente de colonne de fluide ($\text{m}$) : $H_2 - H_1 = \frac{\mathcal{P}_{\text{fournie}}}{\rho g D_v} - \Delta H_f$

4. Modélisation des pertes de charge :

   • Pertes régulières (linéiques) : $\Delta p_{\text{reg}} = \lambda \frac{L}{D} \frac{\rho v^2}{2}$, où $\lambda$ est le coefficient de Darcy-Weisbach (fonction du nombre de Reynolds $Re = \frac{\rho v D}{\eta}$).
   • Pertes singulières (accidents de conduite) : $\Delta p_{\text{sing}} = \sum K_i \frac{\rho v^2}{2}$.

5. Loi de conservation du débit (continuité) : $D_v = S_1 v_1 = S_2 v_2 = \text{cte}$

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📋 Exemple de sujet & Rédaction modèle type Concours

Énoncé :
Une installation hydraulique pompe de l’eau ($\rho = 1{,}0 \times 10^3 \text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}$, viscosité dynamique $\eta = 1{,}0 \times 10^{-3} \text{ Pa}\cdot\text{s}$) depuis un grand bassin de stockage à l’air libre (surface libre $A$, altitude $z_A = 0 \text{ m}$) vers un réservoir surélevé ouvert à l’atmosphère (altitude de sortie $B$, $z_B = 25 \text{ m}$).
La conduite a une longueur totale $L = 120 \text{ m}$, un diamètre intérieur constant $D = 100 \text{ mm}$. Le débit volumique imposé est $D_v = 15{,}7 \text{ L}\cdot\text{s}^{-1}$.
On donne :

• Accélération de la pesanteur : $g = 9{,}81 \text{ m}\cdot\text{s}^{-2}$.
• Pression atmosphérique : $P_0 = 1{,}01 \times 10^5 \text{ Pa}$.
• Le coefficient de perte de charge régulière vaut $\lambda = 0{,}025$.
• La somme des coefficients de pertes de charge singulières (coudes, vanne, clapet) vaut $\sum K_i = 4{,}5$.

1. Calculer la vitesse d’écoulement $v$ dans la conduite et le nombre de Reynolds associé. Caractériser l’écoulement.
2. Établir l’expression littérale puis calculer la puissance mécanique utile $\mathcal{P}_u$ que la pompe doit fournir au fluide.

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Rédaction modèle :

1. Calcul de la vitesse et analyse de l’écoulement
La section de la conduite cylindrique vaut : $S = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi \times (0{,}100)^2}{4} \approx 7{,}85 \times 10^{-3} \text{ m}^2$

D’après le principe de conservation de la masse pour un fluide incompressible : $v = \frac{D_v}{S} = \frac{15{,}7 \times 10^{-3}}{7{,}85 \times 10^{-3}} = 2{,}0 \text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$

Le nombre de Reynolds dans la conduite cylindrique est : $Re = \frac{\rho v D}{\eta} = \frac{1{,}0 \times 10^3 \times 2{,}0 \times 0{,}100}{1{,}0 \times 10^{-3}} = 2{,}0 \times 10^5$ Comme $Re > 4000$, l’écoulement dans la conduite est turbulent.

2. Expression et calcul de la puissance mécanique utile
On applique le théorème de Bernoulli généralisé entre la surface du bassin inférieur $(A)$ et la section de sortie dans le réservoir supérieur $(B)$ le long d’une ligne de courant moyenne :

$\left( p_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2 + \rho g z_B \right) - \left( p_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 + \rho g z_A \right) = \Delta p_{\text{pompe}} - \Delta p_f$

Hypothèses d’application :

• Surfaces libres à l’air libre : $p_A = p_B = P_0$.
• Grand réservoir : l’aire de la section en $A$ est très grande devant celle du tuyau ($S_A \gg S$), d’où $v_A \approx 0$.
• Au point de rejet $B$, la vitesse du fluide est celle de la conduite : $v_B = v = 2{,}0 \text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$.
• Référence des altitudes : $z_A = 0$, $z_B = 25 \text{ m}$.

Le terme de pertes de charge totales s’écrit : $\Delta p_f = \Delta p_{\text{reg}} + \Delta p_{\text{sing}} = \left( \lambda \frac{L}{D} + \sum K_i \right) \frac{1}{2} \rho v^2$

L’élévation de pression totale transmise par la pompe s’obtient par réarrangement : $\Delta p_{\text{pompe}} = \rho g z_B + \frac{1}{2} \rho v^2 + \left( \lambda \frac{L}{D} + \sum K_i \right) \frac{1}{2} \rho v^2$ $\Delta p_{\text{pompe}} = \rho g z_B + \frac{1}{2} \rho v^2 \left( 1 + \lambda \frac{L}{D} + \sum K_i \right)$

Calcul numérique du gain de pression :

• Terme géométrique : $\rho g z_B = 1{,}0 \times 10^3 \times 9{,}81 \times 25 = 2{,}453 \times 10^5 \text{ Pa}$
• Facteur de pertes adimensionnel : $\lambda \frac{L}{D} + \sum K_i = 0{,}025 \times \frac{120}{0{,}100} + 4{,}5 = 30 + 4{,}5 = 34{,}5$
• Terme cinétique et dissipatif : $\frac{1}{2} \rho v^2 \left( 1 + 34{,}5 \right) = \frac{1}{2} \times 1{,}0 \times 10^3 \times (2{,}0)^2 \times 35{,}5 = 2{,}0 \times 10^3 \times 35{,}5 = 0{,}710 \times 10^5 \text{ Pa}$
• D’où : $\Delta p_{\text{pompe}} = 2{,}453 \times 10^5 + 0{,}710 \times 10^5 = 3{,}163 \times 10^5 \text{ Pa}$

La puissance mécanique utile $\mathcal{P}_u$ transmise par l’organe hydraulique au fluide est le produit du saut de pression par le débit volumique : $\mathcal{P}_u = D_v \Delta p_{\text{pompe}}$

Application numérique : $\mathcal{P}_u = 15{,}7 \times 10^{-3} \times 3{,}163 \times 10^5 \approx 4{,}97 \times 10^3 \text{ W} = 4{,}97 \text{ kW}$

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⚠️ Les pièges majeurs soulignés dans les rapports de jury

1. Confusion sur la pression à la surface d’un jet ou réservoir :
   Beaucoup de candidats oublient que lorsqu’une conduite débouche à l’air libre dans un réservoir, la pression statique vaut la pression atmosphérique $P_0$, mais l’énergie cinétique $\frac{1}{2}\rho v^2$ n’est pas nécessairement nulle immédiatement à l’embouchure.
2. Incohérence des unités dans Bernoulli :
   Prendre garde à la forme utilisée :
   • Forme en pressions : tous les termes sont en Pascals ($\text{Pa}$ ou $\text{N}\cdot\text{m}^{-2}$).
   • Forme en hauteurs de charge : tous les termes sont divisés par $\rho g$ et s’expriment en mètres ($\text{m}$).
   • Forme massique : tous les termes sont divisés par $\rho$ et s’expriment en $\text{J}\cdot\text{kg}^{-1}$.
     Mélanger des termes en $\text{Pa}$ avec des termes en $\text{m}$ détruit toute la suite du calcul.
3. Signe du terme machine :
   Une pompe fournit de l’énergie mécanique au fluide ($\Delta p_{\text{pompe}} > 0$). Une turbine prélève de l’énergie au fluide ($\Delta p_{\text{turbine}} < 0$). Inverser ce terme conduit à des puissances utiles aberrantes (pompes qui reçoivent de la puissance du fluide sans source externe).
4. Négliger la vitesse $v_A$ sans justification :
   Écrire $v_A = 0$ directement sans préciser que la surface $S_A$ est infiniment grande devant la section de la canalisation ($S_A \gg S \implies v_A \ll v$) est pénalisé dans les concours de niveau 1 (Mines-Ponts, Centrale).