Exercice 2 : Variation de la constante

Problème : Étude qualitative et quantitative d’une équation différentielle linéaire perturbée par variation de la constante

Matière : Mathématiques (Filière MPSI)
Chapitre: ** Équations différentielles linéaires
Thème : Méthode de variation de la constante et analyse asymptotique

1. Énoncé

Soit $I = ]0, +\infty[$ . On considère l’équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre : $(E) \quad : \quad t y'(t) + y(t) = \frac{t}{1+t^2}$

L’objectif de ce problème est de résoudre $(E)$ sur l’intervalle $I$ en utilisant la méthode de variation de la constante, puis d’analyser le comportement global des solutions ainsi que les limites physiques/mathématiques du modèle lorsque $t$ tend vers $+\infty$ ou $0^+$ .

2. Questions

Résolution de l’équation homogène : Déterminer l’ensemble des solutions sur l’intervalle $I$ de l’équation homogène associée à $(E)$ , que l’on notera $(H)$ : $(H) \quad : \quad t y'(t) + y(t) = 0$
Application de la méthode de variation de la constante : On cherche une solution particulière de $(E)$ sous la forme $y_p(t) = \frac{C(t)}{t}$ , où $C$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$ . Établir une équation différentielle vérifiée par $C'(t)$ , puis en déduire une expression explicite de $y_p(t)$ .
Solution générale : Écrire l’expression générale des solutions de $(E)$ sur $I$ . Déterminer la solution unique $f$ de $(E)$ vérifiant la condition initiale $f(1) = \frac{\pi}{8} + \frac{\ln(2)}{2}$ .
Étude asymptotique et analyse critique du modèle :
- (a) Déterminer les limites de toutes les solutions de $(E)$ lorsque $t \to +\infty$ . Que remarquez-vous vis-à-vis de la constante d’intégration ?
- (b) Analyse critique : Si l’on interprétait ce modèle comme la régulation d’un système physique où $t$ représente le temps et $y(t)$ une quantité mesurée, que dire du comportement de $y(t)$ au voisinage de $0^+$ selon les solutions ? Le modèle mathématique est-il robuste face à des conditions initiales arbitraires en $t=0$ ?

3. Pistes et indications

Q1 : Mettez l’équation sous la forme standard $y'(t) + a(t)y(t) = 0$ en divisant par $t$ (ce qui est licite car $t \in ]0, +\infty[$ ). Pensez aux primitives usuelles.
Q2 : Injectez $y_p$ dans $(E)$ après avoir calculé sa dérivée. Simplifiez l’expression pour trouver $C'(t)$ directement.
Q3 : La solution générale d’une équation linéaire avec second membre est la somme de la solution générale de $(H)$ et d’une solution particulière de $(E)$ . Utilisez la condition initiale pour déterminer la constante.
Q4 : Pour l’analyse critique, observez le terme général $\frac{K}{t}$ lorsque $t \to 0^+$ et $t \to +\infty$ . Discutez de la divergence en $0$ pour $K \neq 0$ .

4. Corrigé pas à pas

1. Résolution de l’équation homogène $(H)$

Pour $t \in ]0, +\infty[$ , l’équation $(H)$ s’écrit sous forme normalisée : $y'(t) + \frac{1}{t} y(t) = 0$ Une primitive de $a(t) = \frac{1}{t}$ sur $I$ est $A(t) = \ln(t)$ . Les solutions de $(H)$ sur $I$ sont donc de la forme : $y_h(t) = K e^{-A(t)} = K e^{-\ln(t)} = \frac{K}{t}, \quad \text{avec } K \in \mathbb{R}$

2. Méthode de variation de la constante

On cherche une solution particulière sous la forme $y_p(t) = \frac{C(t)}{t}$ . Sa dérivée est : $y_p'(t) = \frac{C'(t)t - C(t)}{t^2} = \frac{C'(t)}{t} - \frac{C(t)}{t^2}$ Substituons $y_p$ et $y_p'$ dans l’équation $(E)$ : $t \left( \frac{C'(t)}{t} - \frac{C(t)}{t^2} \right) + \frac{C(t)}{t} = \frac{t}{1+t^2}$ En développant et simplifiant (les termes en $C(t)$ s’annulent, ce qui est la vérification que la méthode fonctionne) : $C'(t) = \frac{t}{1+t^2}$ Intégrons cette expression pour trouver $C(t)$ : $C(t) = \int \frac{t}{1+t^2} dt = \frac{1}{2} \ln(1+t^2) + \text{constante}$ En posant la constante d’intégration à $0$ (puisqu’on cherche une solution particulière), on obtient : $y_p(t) = \frac{\ln(1+t^2)}{2t}$

3. Solution générale et condition initiale

La solution générale de $(E)$ sur $I$ est la somme de la solution générale de $(H)$ et de la solution particulière $y_p$ : $y(t) = \frac{K}{t} + \frac{\ln(1+t^2)}{2t}, \quad K \in \mathbb{R}$ Appliquons la condition initiale $f(1) = \frac{\pi}{8} + \frac{\ln(2)}{2}$ : $f(1) = \frac{K}{1} + \frac{\ln(1+1^2)}{2(1)} = K + \frac{\ln(2)}{2}$ On pose donc : $K + \frac{\ln(2)}{2} = \frac{\pi}{8} + \frac{\ln(2)}{2} \implies K = \frac{\pi}{8}$ La solution unique recherchée est : $f(t) = \frac{\pi}{8t} + \frac{\ln(1+t^2)}{2t}$

4. Étude asymptotique et analyse critique du modèle

(a) Comportement en $+\infty$ : Considérons la solution générale $y(t) = \frac{K + \frac{1}{2}\ln(1+t^2)}{t}$ . Par croissance comparée, $\lim_{t \to +\infty} \frac{\ln(1+t^2)}{t} = 0$ , quel que soit $K \in \mathbb{R}$ . Par conséquent, toutes les solutions de $(E)$ convergent vers $0$ lorsque $t \to +\infty$ . Remarque critique : L’information portée par la constante $K$ s’efface complètement à long terme. Le système oublie totalement son état initial lorsque $t devient grand.
(b) Analyse critique des limites du modèle (Approche physique/systémique) : Regardons le comportement au voisinage de $0^+$ : $\lim_{t \to 0^+} y(t) = \lim_{t \to 0^+} \left( \frac{K}{t} + \frac{\ln(1+t^2)}{2t} \right)$ Comme $\frac{\ln(1+t^2)}{2t} \underset{t \to 0}{\sim} \frac{t^2}{2t} = \frac{t}{2} \to 0$ , le comportement en $0^+$ est entièrement dicté par le terme $\frac{K}{t}$ :
- Si $K = 0$ , $y(0^+) = 0$ (le système est régulier).
- Si $K \neq 0$ , $|y(t)| \to +\infty$ lorsque $t \to 0^+$ .
Limites du modèle : Du point de vue de la modélisation physique (par exemple, un phénomène de charge électrique ou thermique où $y$ représente une grandeur intensive), une divergence en $\frac{1}{t}$ (pôle d’ordre 1 en $0$ ) indique que le modèle mathématique linéaire perd toute pertiennce physique près de $t=0$ si la condition initiale n’est pas rigoureusement choisie ( $K=0$ ). Le terme $t y'(t)$ dans l’équation $(E)$ provoque une singularité mathématique (“catastrophe de modélisation”) : le modèle est extrêmement sensible aux perturbations initiales au voisinage de l’origine, révélant une instabilité structurelle face aux conditions aux limites en $0$ .