Exercice 1 : Équation de Navier-Stokes

Problème : Étude d’un écoulement visqueux stationnaire et analyse critique des modèles

Énoncé

On s’intéresse à l’écoulement unidirectionnel, stationnaire et incompressible d’un fluide newtonien visqueux (de masse volumique $\rho$ et de viscosité dynamique $\eta$ ) entre deux plaques planes, infinies et parallèles, situées en $y = 0$ et $y = h$ . La plaque inférieure (en $y = 0$ ) est fixe, tandis que la plaque supérieure (en $y = h$ ) se déplace à la vitesse constante $V_0$ selon l’axe $\vec{u}_x$ .

Cet écoulement, connu sous le nom d’écoulement de Couette plan, est soumis à un gradient de pression longitudinal $\frac{\partial P}{\partial x}$ supposé uniforme.

On pose le champ de vitesse sous la forme $\vec{v}(x,y,z) = v_x(y) \vec{u}_ഷ്യ$ .

Questions

Analyse préliminaire et géométrie : Justifier l’hypothèse d’incompressibilité et l’indépendance de la vitesse vis-à-vis des coordonnées $x$ et $z$ .
Application de Navier-Stokes : À partir de l’équation de Navier-Stokes pour un fluide newtonien incompressible, établir l’équation différentielle vérifiée par $v_x(y)$ .
Résolution : Exprimer le profil de vitesse $v_x(y)$ en fonction de $y$ , $h$ , $V_0$ , $\eta$ et du gradient de pression $\frac{\partial P}{\partial x}$ .
Cas particulier : En déduire le profil de vitesse dans le cas d’un écoulement de Couette pur (sans gradient de pression). Tracer qualitativement ce profil.
Analyse critique et limites du modèle :
- Discuter la validité de l’hypothèse de milieu continu au voisinage des parois.
- À partir de quel nombre sans dimension caractérisant l’écoulement l’hypothèse d’un régime stationnaire et laminaire peut-elle être remise en cause ? Discuter brièvement.

Pistes

Utiliser l’équation de continuité (conservation de la masse) pour simplifier les composantes du champ de vitesse.
Écrire l’équation de Navier-Stokes en projetant selon $\vec{u}_x$ , en éliminant les termes nuls par symétrie et stationnarité.
Intégrer deux fois l’équation différentielle obtenue en tenant compte des conditions aux limites d’adhérence du fluide sur les plaques ( $y=0$ et $y=h$ ).
Identifier les forces de pression et les forces visqueuses pour caractériser physiquement le profil obtenu.

Corrigé pas à pas

1. Analyse préliminaire et géométrie

Incompressibilité : Le fluide est supposé incompressible, ce qui se traduit par une masse volumique $\rho$ constante, soit l’équation de conservation de la masse : $\text{div}(\vec{v}) = 0$
Champ de vitesse : L’écoulement est invariant par translation selon $x$ et $z$ (plaques infinies), donc $\frac{\partial}{\partial x} = 0$ et $\frac{\partial}{\partial z} = 0$ . L’équation de continuité devient alors : $\frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z} = 0 \implies \frac{\partial v_y}{\partial y} = 0$ Puisque la plaque inférieure en $y=0$ est imperméable ( $v_y(y=0) = 0$ ), on en déduit que $v_y(y) = 0$ partout. De même, par symétrie du problème, $v_z = 0$ . Le champ de vitesse se réduit bien à $\vec{v} = v_x(y)\vec{u}_x$ .

2. Application de l’équation de Navier-Stokes

L’équation de Navier-Stokes pour un fluide newtonien incompressible s’écrit : $\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \vec{\nabla})\vec{v} \right) = -\vec{\nabla} P + \eta \Delta \vec{v} + \rho \vec{g}$

Régime stationnaire : $\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} = \vec{0}$ .
Terme advectif : $(\vec{v} \cdot \vec{\nabla})\vec{v} = v_x \frac{\partial v_x}{\partial x} \vec{u}_x = \vec{0}$ car $v_x$ ne dépend pas de $x$ .
Projection sur l’axe $\vec{u}_x$ : $0 = -\frac{\partial P}{\partial x} + \eta \frac{d^2 v_x}{dy^2}$ (On néglige ici l’effet de la pesanteur selon $x$ , ou on suppose l’axe horizontal).

3. Résolution de l’équation différentielle

L’équation différentielle du second ordre est : $\frac{d^2 v_x}{dy^2} = \frac{1}{\eta} \frac{\partial P}{\partial x}$ Par double integration par rapport à $y$ : $v_x(y) = \frac{1}{2\eta} \left( \frac{\partial P}{\partial x} \right) y^2 + A y + B$ où $A$ et $B$ sont des constantes d’intégration déterminées par les conditions aux limites d’adhérence visqueuse :

En $y = 0$ , le fluide est immobile par rapport à la plaque fixe : $v_x(0) = 0 \implies B = 0$ .
En $y = h$ , le fluide a la vitesse de la plaque supérieure : $v_x(h) = V_0 \implies \frac{1}{2\eta} \left( \frac{\partial P}{\partial x} \right) h^2 + A h = V_0$ , soit : $A = \frac{V_0}{h} - \frac{h}{2\eta} \frac{\partial P}{\partial x}$

Le profil de vitesse complet est donc : $v_x(y) = \frac{V_0}{h} y + \frac{1}{2\eta} \frac{\partial P}{\partial x} y (y - h)$

4. Cas particulier de l’écoulement de Couette pur

Si le gradient de pression est nul ( $\frac{\partial P}{\partial x} = 0$ ), le profil devient strictement linéaire : $v_x(y) = V_0 \frac{y}{h}$

Interprétation : Le mouvement du fluide est uniquement entraîné par le cisaillement exercé par la plaque mobile supérieure (effet d’entraînement visqueux pur).

5. Analyse critique et limites du modèle

Hypothèse de milieu continu et condition d’adhérence : L’utilisation des équations de Navier-Stokes repose fondamentalement sur l’hypothèse de milieu continu, ce qui implique que le libre parcours moyen des molécules du fluide $\lambda$ doit être très inférieur à l’échelle caractéristique du système ( $h$ ). Si $h$ devient très petit (microsystèmes fluidiques, $h \sim 1\,\mu\text{m}$ ou moins), le rapport $\text{Kn} = \frac{\lambda}{h}$ (nombre de Knudsen) augmente. L’hypothèse d’adhérence parfaite ( $v = 0$ à la paroi) n’est plus rigoureusement exacte : il apparaît un phénomène de glissement à la paroi (slip flow), invalidant partiellement les conditions aux limites usuelles de Navier-Stokes.
Stabilité et transition vers le régime turbulent : L’hypothèse d’un écoulement stationnaire et laminaire n’est valable que si les forces visqueuses dominent largement les forces d’inertie. Le nombre sans dimension pertinent pour quantifier cela est le nombre de Reynolds de l’écoulement, défini par exemple par $\text{Re} = \frac{\rho V_0 h}{\eta}$ (pour un Couette pur). Si $\text{Re}$ dépasse un seuil critique (de l’ordre de $10^3$ pour ce type d’écoulement), des instabilités apparaissent, l’écoulement devient instationnaire, tourbillonnaire et tridimensionnel : le modèle stationnaire unidirectionnel s’effondre alors totalement.