Cours : Thermodynamique industrielle et machines

📌 1. Définitions & Cadre d’étude

La thermodynamique industrielle s’intéresse à la conversion énergétique entre travail et chaleur au travers de systèmes ouverts (machines thermiques) fonctionnant en régime permanent ou cyclique.

Système ouvert (volume de contrôle) : Système échangeant de la matière et de l’énergie (travail $W$ et chaleur $Q$ ) avec l’extérieur à travers sa frontière (surface de contrôle).
Régime permanent : État pour lequel les variables extensives du système (masse, énergie interne) et les conditions aux limites (débits, températures, pressions) sont indépendantes du temps dans le volume de contrôle : $\frac{\partial X}{\partial t} = 0$ .
Fluide caloporteur (ou fluide de travail) : Fluide traversant la machine. On le modélise usuellement comme un gaz parfait ou un corps pur diphasique (diagrammes thermodynamiques $T-S$ , $P-H$ ).
Transformations subies :
- Réversibilité interne : Absence de frottements visqueux et d’effets Joule internes.
- Monotherme / Botherme : Échanges thermiques avec un ou plusieurs thermostats.

📐 2. Théorèmes fondamentaux & Démonstrations clés

Premier principe pour un système ouvert en régime permanent

Considérons un volume de contrôle fixe traversé par un débit massique constant $\mathcal{D}_m$ . Entre l’entrée (section $e$ ) et la sortie (section $s$ ), le premier principe de la thermodynamique s’écrit sous forme massique :

$h_s + \frac{1}{2}v_s^2 + gz_s - (h_e + \frac{1}{2}v_e^2 + gz_e) = q + w_{\text{tech}}$

Où :

$h$ est l’enthalpie massique ( $\text{J}\cdot\text{kg}^{-1}$ ).
$v$ est la vitesse moyenne du fluide ( $\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ ).
$z$ est l’altitude ( $\text{m}$ ).
$q$ et $w_{\text{tech}}$ sont respectivement la chaleur et le travail technique reçus par unité de masse ( $\text{J}\cdot\text{kg}^{-1}$ ).

Dans de nombreuses machines (compresseurs, turbines, pompes), les variations d’énergie cinétique et potentielle macroscopiques sont négligeables devant les variations d’enthalpie et le travail reçu. L’équation se simplifie en : $\Delta h = q + w_{\text{tech}}$

Second principe et entropie échangée/créée

Pour un système ouvert en régime permanent, le bilan d’entropie s’écrit par unité de temps : $\frac{dS_{\text{syst}}}{dt} = 0 = \sum_{\text{i}} \frac{Q_i}{T_i} + \mathcal{D}_m (s_e - s_s) + S_{\text{créée}}$

Où $S_{\text{créée}} \ge 0$ (second principe, avec égalité si la transformation est réversible).

Étude des cycles moteurs (ex: Cycle de Carnot)

Un cycle moteur convertit de l’énergie thermique en énergie mécanique. Le rendement thermique $\eta$ est défini par : $\eta = \frac{W_{\text{cycle}}}{Q_{\text{reçu}}} = \frac{-W_{\text{fourni}}}{Q_{\text{chaud}}} = \frac{Q_{\text{chaud}} + Q_{\text{froid}}}{Q_{\text{chaud}}} = 1 + \frac{Q_{\text{froid}}}{Q_{\text{chaud}}}$

En appliquant l’inégalité de Clausius sur un cycle réversible (ou le théorème de Carnot) : $\oint \frac{\delta Q}{T} = 0 \implies \frac{Q_{\text{chaud}}}{T_{\text{chaud}}} + \frac{Q_{\text{froid}}}{T_{\text{froid}}} = 0$

On en déduit le rendement de Carnot maximal : $\eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{T_{\text{froid}}}{T_{\text{chaud}}}$

💡 3. Méthodes de calcul & Algorithmes

Méthodologie générale pour un problème de machine thermique :
- Étape 1 : Définir le système ouvert (volume de contrôle) et dresser le bilan des entrées/sorties de matière.
- Étape 2 : Appliquer le premier principe (conservation de l’enthalpie totale) et identifier les termes nuls ( $w_{\text{tech}} = 0$ pour une tuyère, $q = 0$ pour une détente adiabatique).
- Étape 3 : Utiliser les lois d’état (gaz parfait : $\Delta h = C_p \Delta T$ ) pour lier les températures aux pressions si la transformation est isentropique ( $PV^\gamma = \text{cte}$ ).
- Étape 4 : Exploiter le second principe (terme de création d’entropie) pour quantifier les irréversibilités via les efficacités ou rendements isentropiques.
Calcul du travail technique pour une machine réversible : Pour un système fermé ou ouvert réversible sans variation d’énergie cinétique ni potentielle : $w_{\text{tech}} = -\int_{e}^{s} v \, dP \quad (\text{pour un fluide incompressible, } w_{\text{tech}} = -v(P_s - P_e))$

⚠️ 4. Pièges classiques aux Concours

Confondre système fermé et système ouvert : Le travail échangé par une turbine n’est pas $\int P dV$ (travail des forces de pression frontières), mais le travail technique $W_{\text{tech}} = \int V dP$ (travail utile transmis par l’arbre). Ne jamais appliquer $dU = \delta Q - P dV$ à un système ouvert.
Erreur de signe sur les flux énergétiques : Respecter strictement la convention de signers récepteurs/fournisseurs : $Q > 0$ et $W > 0$ si reçus par le système.
Mauvaise utilisation du rendement isentropique :
- Pour une détente (turbine) : $w_{\text{réel}} = \eta_t \, w_{\text{isentropique}} \implies h_s - h_e = \eta_t (h_{s,\text{is}} - h_e)$ . Attention au sens des inégalités (le travail fourni par la turbine est négatif dans la convention récepteur, mais en valeur absolue, $|\text{travail réel}| < |\text{travail isentropique}|$ ).
- Pour une compression (compresseur) : $w_{\text{réel}} = \frac{w_{\text{isentropique}}}{\eta_c}$ . Le compresseur réel demande plus de travail que le compresseur idéal isentropique ( $\eta_c < 1$ ).
Oubli de la modélisation des gaz parfaits : Vérifier systématiquement les domaines de validité (pressions modérées, températures éloignées de la liquéfaction) avant d’utiliser $PV = nRT$ ou $h = C_p T$ .