Cours : Optique interférentielle

📌 1. Définitions & Cadre d’étude

L’optique interférentielle étudie la superposition de champs lumineux cohérents et les modulations d’intensité lumineuse qui en résultent.

Modèle scalaires des ondes lumineuses

Dans le cadre du programme de CPGE, on se restreint généralement à l’étude d’une composante scalaire du champ électrique, notée $s(M, t)$, représentant une onde lumineuse monochromatique de pulsation $\omega = 2\pi\nu$ et de longueur d’onde dans le vide $\lambda_0 = \frac{2\pi c}{\omega}$ : $s(M, t) = A(M) \cos\left(\omega t - \varphi(M)\right) = \text{Re} \left( \underline{s}(M) e^{j\omega t} \right)$ où $\underline{s}(M) = A(M) e^{-j\varphi(M)}$ est l’amplitude complexe de l’onde au point $M$.

Superposition d’ondes et Intensité

Soit un point $M$ éclairé par $N$ sources lumineuses. Le champ total est la somme des champs incidents (principe de superposition) : $\underline{s}_{\text{tot}}(M) = \sum_{i=1}^{N} \underline{s}_i(M)$

L’intensité lumineuse $I(M)$, grandeur physique mesurée par un récepteur (œil, capteur CCD, photodiode) est proportionnelle à la moyenne temporelle du carré du champ (sur un temps grand devant la période optique $T = \frac{2\pi}{\omega}$, mais petit devant le temps de réponse du détecteur) : $I(M) = K \langle s_{\text{tot}}^2(M, t) \rangle_t$ En notation complexe, pour deux ondes 1 et 2 : $I(M) = I_1(M) + I_2(M) + 2 \text{Re} \left( \langle \underline{s}_1(M,t) \underline{s}_2^*(M,t) \rangle_t \right)$ où $I_1 = K \frac{|\underline{s}_1|^2}{2}$ et $I_2 = K \frac{|\underline{s}_2|^2}{2}$ sont les intensités propres des ondes.

Interférences à deux ondes

Le terme d’interférence $I_{12}(M)$ s’écrit : $I_{12}(M) = 2 \text{Re} \left( \underline{s}_1(M) \underline{s}_2^*(M) \right) = 2 A_1(M) A_2(M) \cos\left(\varphi_2(M) - \varphi_1(M)\right)$ L’intensité totale devient : $I(M) = I_1(M) + I_2(M) + 2 \sqrt{I_1(M) I_2(M)} \cos(\Delta\varphi(M))$ avec $\Delta\varphi(M) = \varphi_1(M) - \varphi_2(M)$ la différence de phase entre les deux ondes.

Notion de cohérence

• Ondes cohérentes : La différence de phase $\Delta\varphi(M)$ est stationnaire au cours du temps ($\frac{d\Delta\varphi}{dt} = 0$). Il y a des interférences visibles.
• Ondes incohérentes : (cas de sources indépendantes comme deux ampoules spectrales ou deux lasers différents), $\Delta\varphi(M, t)$ fluctue de manière aléatoire et rapide. La moyenne temporelle du terme d’interférence est nulle ($\langle \cos(\Delta\varphi(t)) \rangle_t = 0$). On a $I(M) = I_1(M) + I_2(M)$, il n’y a pas de figure d’interférence observable.

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📐 2. Théorèmes fondamentaux & Démonstrations clés

Démonstration : Lien entre différence de phase et différence de marche

Objectif: ** Exprimer la différence de phase $\Delta\varphi$ en fonction du chemin optique parcouru par les ondes.

Soit une onde lumineuse se propageant dans un milieu d’indice optique $n$ (avec $n = \frac{c}{v}$ où $v$ est la vitesse de la lumière dans le milieu). La phase le long d’un trajet géométrique de longueur $L$ s’écrit : $\varphi = \omega t - \mathbf{k}\cdot\mathbf{r} = \omega t - \frac{2\pi n}{\lambda_0} s$ où $s$ est l’abscisse curviligne le long du rayon lumineux.

Pour un trajet reliant une source $S$ à un point d’observation $M$ à travers un milieu d’indice $n(M)$, la phase à l’arrivée est : $\varphi(M) = \varphi(S) - \frac{2\pi}{\lambda_0} \int_{S}^{M} n(s) ds$

On définit le chemin optique $\mathcal{A}(S \to M)$ (ou $\left[SM\right]$) entre $S$ et $M$ par : $\mathcal{A}(S \to M) = \int_{S}^{M} n(s) ds$

Considérons maintenant deux ondes issues d’une même source synchrone $S$ (division d’amplitude ou du front d’onde) empruntant deux chemins distincts (1) et (2) pour arriver en $M$.

• Phase de l’onde 1 en $M$ : $\varphi_1(M) = \varphi(S) - \frac{2\pi}{\lambda_0} \mathcal{A}_1(S \to M)$
• Phase de l’onde 2 en $M$ : $\varphi_2(M) = \varphi(S) - \frac{2\pi}{\lambda_0} \mathcal{A}_2(S \to M)$

La différence de phase $\Delta\varphi(M)$ vaut alors : $\Delta\varphi(M) = \varphi_1(M) - \varphi_2(M) = \frac{2\pi}{\lambda_0} \left( \mathcal{A}_2(S \to M) - \mathcal{A}_1(S \to M) \right)$

En posant $\delta = \mathcal{A}_2 - \mathcal{A}_1$, la différence de marche, on obtient la relation fondamentale : $\boxed{\Delta\varphi(M) = \frac{2\pi}{\lambda_0} \delta(M)}$

L’intensité lumineuse s’exprime ainsi sous sa forme canonique : $I(M) = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos\left( \frac{2\pi \delta}{\lambda_0} \right)$

Visibilité des franges de Michelson

La visibilité (ou contraste) $V$ d’une figure d’interférence est définie par : $V = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}}$ Si les intensités des deux ondes sont égales ($I_1 = I_2 = I_0$), on a :

• $I_{\max} = 4 I_0$
• $I_{\min} = 0$
• $V = 1$ (contraste maximal)

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💡 3. Méthodes classiques de résolution

Méthode générale pour l’étude d’un dispositif interférentiel

1. Identifier le type de division : Division du front d’onde (frous d’Young, miroir de Lloyd) ou division d’amplitude (interféromètre de Michelson, lames minces, anneaux de Newton).
2. Déterminer les sources secondaires (ou fictives) : Remplacer le système optique par des sources cohérentes équivalentes $S_1$ et $S_2$.
3. Calculer la différence de marche $\delta$ :
   • Exprimer les chemins optiques géométriquement sous des approximations valables (approximation paraxial).
   • Prendre en compte les retards de phase à la réflexion (changement de pi de phase lors d’une réflexion sur un milieu plus réfringent : $\delta_{\text{refl}} = \pm \frac{\lambda_0}{2}$).
4. Établir l’expression de l’intensité : $I = I_0 \left( 1 + m \cos\left(\frac{2\pi\delta}{\lambda_0}\right) \right)$.
5. Caractériser les franges :
   • Franges brillantes si $\delta = k \lambda_0$ ($k \in \mathbb{Z}$).
   • Franges sombres si $\delta = (k + \frac{1}{2}) \lambda_0$.
   • Déterminer l’interfrange $i$ (distance entre deux franges de même nature).

Exemple type : Frous d’Young

• Dispositif : Deux sources ponctuelles $S_1$ et $S_2$ séparées par $a$, distantes de $D$ de l’écran d’observation $(Oxy)$.
• Différence de marche au point $M(x, y)$ : $\delta \approx \frac{ax}{D}$.
• Interfrange : $i = \frac{\lambda_0 D}{a}$.

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⚠️ 4. Pièges classiques aux Concours

1. Oubli du déphasage par réflexion ($\pi$ radians) : Une onde réfléchie sur un milieu d’indice plus élevé que le milieu incident subit un saut de phase de $\pi$, ce qui équivaut à ajouter $\frac{\lambda_0}{2}$ à la différence de marche. Ne pas l’inclure inverse systématiquement franges brillantes et sombres (inversion du contraste au centre).
2. Confusion entre interfrange et largeur de frange : L’interfrange $i$ est la distance spatiale séparant deux maxima d’intensité consécutifs. Pour des interférences non isinclines (comme les coins d’air), l’interfrange n’est pas constant si l’approximation paraxiale est mal menée.
3. Conditions de non-brouillage (Cohérence temporelle et spatiale) :
   • Si la source n’est pas monochromatique (largeur spectrale $\Delta\lambda$), les figures d’interférences se brouillent au-delà d’un ordre d’interférence $p_{\max} \approx \frac{\lambda_0}{\Delta\lambda}$.
   • Si la source n’est pas ponctuelle (étendue spatiale), chaque point de la source incohérente crée un système de franges décalé, ce qui conduit à un brouillage global si la taille de la source dépasse la limite de cohérence spatiale.
4. Mauvaise manipulation de l’indice optique dans le calcul du chemin optique : Le chemin optique est $\int n(s) ds$. Dans un milieu d’indice $n$ sur une épaisseur $e$, la contribution à la différence de marche est $n \cdot e$, et non simplement $e$.