Cours : Variables aléatoires discrètes

Fiche de Cours : Variables Aléatoires Discrètes (CPGE - MP)

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1. Généralités et Espace Probabilité

Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé.

Définition (Variable aléatoire discrète)

Une variable aléatoire discrète $X$ est une application $X : \Omega \to X(\Omega)$ telle que :

1. $X(\Omega)$ est un sous-ensemble fini ou dénombrable de $\mathbb{R}$.
2. Pour tout $x \in X(\Omega)$, l’événement $\{X = x\} = X^{-1}(\{x\}) = \{\omega \in \Omega \mid X(\omega) = x\}$ appartient à $\mathcal{A}$.

Loi d’une variable aléatoire

La loi de $X$ est entièrement déterminée par la donnée des probabilités : $\forall x \in X(\Omega), \quad P(X = x)$ Ces nombres vérifient la condition de normalisation : $\sum_{x \in X(\Omega)} P(X = x) = 1$

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2. Espérance et Moments

Définition (Espérance)

Soit $X$ une variable aléatoire discrète. On dit que $X$ admet une espérance (ou qu’elle est intégrable) si la famille $(x P(X = x))_{x \in X(\Omega)}$ est absolument sommable, c’est-à-dire si : $\sum_{x \in X(\Omega)} |x| P(X = x) < +\infty$ Dans ce cas, l’espérance de $X$ est définie par : $E[X] = \sum_{x \in X(\Omega)} x P(X = x)$

Théorème (Transfert - CSG)

Soit $X$ une variable aléatoire discrète et $g : X(\Omega) \to \mathbb{R}$ une fonction. La variable aléatoire $g(X)$ admet une espérance si et seulement si la famille $(g(x)P(X=x))_{x \in X(\Omega)}$ est absolument sommable. Le cas échéant : $E[g(X)] = \sum_{x \in X(\Omega)} g(x) P(X = x)$

Variance et Écart-type

Si $X$ admet un moment d’ordre 2 (i.e., $E[X^2] < +\infty$), alors $X$ admet une variance définie par : $V(X) = E\left[(X - E[X])^2\right] = E[X^2] - (E[X])^2 \ge 0$ L’écart-type est $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.

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3. Lois Usuelles

Loi	Notation	Support $X(\Omega)$	$P(X=k)$	Espérance $E[X]$	Variance $V(X)$
Bernoulli	$\mathcal{B}(p)$	$\{0, 1\}$	$P(X=1)=p, P(X=0)=1-p$	$p$	$p(1-p)$
Binomiale	$\mathcal{B}(n, p)$	$\llbracket 0, n \rrbracket$	$\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$	$np$	$np(1-p)$
Géométrique	$\mathcal{G}(p)$	$\mathbb{N}^*$	$p(1-p)^{k-1}$ ($p \in ]0, 1]$)	$\frac{1}{p}$	$\frac{1-p}{p^2}$
Poisson	$\mathcal{P}(\lambda)$	$\mathbb{N}$	$e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}$ ($\lambda > 0$)	$\lambda$	$\lambda$

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4. Couples de Variables Aléatoires

Loi conjointe et lois marginales

Soit $(X, Y)$ un couple de variables aléatoires discrètes définies sur $(\Omega, \mathcal{A}, P)$.

• Loi conjointe : $\forall (x,y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)$, $P(X=x, Y=y)$.
• Lois marginales : Pour tout $x \in X(\Omega)$, $P(X=x) = \sum_{y \in Y(\Omega)} P(X=x, Y=y)$.

Indépendance

Les variables $X$ et $Y$ sont dites indépendantes si : $\forall (x,y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega), \quad P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)$

Théorème (Formule de König-Huygens et Linéarité)

• Linéarité de l’espérance : Si $X$ et $Y$ admettent une espérance, alors pour tous $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$, $\alpha X + \beta Y$ admet une espérance et : $E[\alpha X + \beta Y] = \alpha E[X] + \beta E[Y]$
• Espérance du produit (si indépendantes) : Si $X$ et $Y$ sont indépendantes et intégrables, alors $XY$ est intégrable et : $E[XY] = E[X]E[Y]$
• Variance d’une somme (si indépendantes) : Si $X$ et $Y$ sont indépendantes et de carré intégrable : $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$

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5. Méthodes

Méthode 1 : Calculer l’espérance ou la variance par la technique des “variables indicatrices”

Pour toute variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\mathbb{N}$, on a la formule fondamentale : $E[X] = \sum_{k=1}^{+\infty} P(X \ge k)$ Utile en particulier pour les sommes de variables de Bernoulli. Si $X = \sum_{i=1}^n I_i$ où les $I_i$ sont des indicatrices : $E[X] = \sum_{i=1}^n E[I_i] = \sum_{i=1}^n P(I_i = 1)$

Méthode 2 : Reconnaissance de lois usuelles par les sommation

Face à une somme du type $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \dots$, penser aux développements de Taylor (binomiale, exponentielle) pour identifier ou simplifier des constantes de normalisation.

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6. Pièges Classiques (À Éviter)

1. Existence des moments : Ne jamais appliquer de formule sur $E[X]$ ou $V(X)$ sans avoir vérifié au préalable l’absolue convergence de la série (ou la convergence simple si les termes sont positifs).
2. Indépendance vs Incorrélation : L’indépendance implique $E[XY] = E[X]E[Y]$ (donc covariance nulle), mais la réciprocité est fausse.
3. Inversion de sommes doubles : Lors du calcul de $E[g(X,Y)]$ ou de la loi de $X+Y$ (produit de convolution discret), justifier rigoureusement l’inversion des sommations infinies (Fubini discret pour les familles sommables).