Concours Mines-Ponts 2025 - Physique 1 (PC)

📄 Partie 1 : Énoncé Officiel du Sujet

🔬 Étude Préliminaire : Rappels sur l’induction et l’optique ondulatoire

On considère un référentiel galiléen $\mathcal{R}_0$ muni d’un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z)$. Soit un circuit conducteur filiforme fermé $\mathcal{C}$, indéformable, mobile à la vitesse $\vec{v} = v_0 \vec{u}_x$ dans un champ magnétique permanent $\vec{B} = B_0 \cos(kx) \vec{u}_z$, où $B_0$ et $k$ sont des constantes positives.

1. Définir le flux magnétique $\Phi(t)$ à travers la surface $\Sigma$ s’appuyant sur le contour $\mathcal{C}$ à l’instant $t$.
2. Établir l’expression de la force électromotrice induite $e(t)$ dans le circuit par application de la loi de Faraday et du théorème de flux transporté.

🌊 Partie I : Propagation d’ondes électromagnétiques guidées

On s’intéresse à la propagation d’une onde électromagnétique sinusoïdale de pulsation $\omega$ dans un guide d’ondes plan de direction $\vec{u}_z$. Le champ électrique est donné par $\vec{E}(x,z,t) = E_y(x) \cos(\omega t - K z) \vec{u}_y$.

3. En partant des équations de Maxwell dans le vide, établir l’équation de Helmholtz vérifiée par l’amplitude $E_y(x)$.
4. Résoudre cette équation aux dérivées partielles en tenant compte des conditions aux limites du guide (parois parfaites situées en $x = 0$ et $x = a$). En déduire la relation de dispersion.

🌈 Partie II : Dispositif interférentiel à division du front d’onde

On étudie un dispositif interférentiel du type interféromètre de Michelson réglé en lame d’air, éclairé par une source laser quasi-monochromatique de longueur d’onde $\lambda_0$ dans le vide.

5. Exprimer la différence de marche $\delta$ entre les deux rayons interfereants en fonction de l’angle d’incidence $i$ et de l’épaisseur $e$ de la lame d’air.
6. Déterminer l’expression de l’intensité lumineuse résultante $I(P)$ sur l’écran d’observation en fonction de l’intensité maximale $I_0$ et de la différence de phase $\Delta \varphi$.

⚡ Partie III : Couplage électromagnéto-optique

On superpose le dispositif interférentiel précédent à un champ magnétique variable temporellement $\vec{B}(t) = B_1 \sin(\Omega t) \vec{u}_z$ qui traverse une spire fine située sur le trajet optique du bras mobile, modifiant légèrement l’indice optique effectif du milieu traversé selon la relation $\Delta n(t) = \chi B(t)$.

7. Calculer la variation temporelle de la différence de marche $\delta(t)$ induite par ce couplage.
8. En déduire l’expression du signal lumineux temporel $I(t)$ perçu par un photodétecteur ponctuel placé au centre de la figure d’interférence.

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💡 Partie 2 : Indications du Concepteur & Pièges du Barème

• Esprit du sujet : Ce problème de physique 1 aborde la transition subtile entre l’électromagnétisme macroscopique (induction en milieu variable) et l’optique ondulatoire (interférences modulées). Le candidat doit faire preuve de rigueur dans l’application des lois fondamentales (Faraday, Maxwell).
• Pièges classiques évités par les candidats brillants :
  • Question 2 : Bien distinguer la dérivée temporelle partielle (due à la variation locale de $\vec{B}$) et la variation convective (due au mouvement du circuit). L’utilisation de la formule de derivation d’une intégrale fonction d’un paramètre ou du théorème de flux transporté est indispensable.
  • Question 4 : Ne pas oublier d’exploiter les conditions aux limites du champ électrique tangentiel nul sur des conducteurs parfaits.
  • Question 7 : Traduire correctement la variation d’indice optique en une variation de chemin optique $\Delta \delta = \int \Delta n(z) \text{d}z$.

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📋 Partie 3 : Correction Rédigée Pas à Pas

Correction de l’Étude Préliminaire

1. Expression du flux magnétique $\Phi(t)$

Barème : /1.0 Par définition, le flux du champ magnétique à travers la surface $\Sigma$ s’appuyant sur $\mathcal{C}$ est donné par : $\Phi(t) = \iint_{\Sigma(t)} \vec{B}(x,y) \cdot \vec{u}_z \, \text{d}x \, \text{d}y$ Compte tenu de la géométrie, $\vec{B} = B_0 \cos(kx) \vec{u}_z$, le flux s’exprime par l’intégrale double : $\Phi(t) = \iint_{\Sigma(t)} B_0 \cos(kx) \, \text{d}x \, \text{d}y = B_0 \int_{x_{\text{min}}(t)}^{x_{\text{max}}(t)} \cos(kx) \left( \int_{y_{\text{min}}}^{y_{\text{max}}} \text{d}y \right) \text{d}x$

2. Force électromotrice induite $e(t)$

Barème : /1.5 D’après la loi de Faraday, la force électromotrice induite est : $e(t) = -\frac{\text{d}\Phi}{\text{d}t}$ En utilisant la dérivation sous le signe somme ou le théorème de flux transporté avec $\vec{v} = v_0 \vec{u}_x$ : $e(t) = -\frac{\text{d}}{\text{d}t} \left[ \iint_{\Sigma(t)} B_0 \cos(kx) \vec{u}_z \cdot \vec{u}_z \, \text{d}S \right]$ Le mouvement du contour à la vitesse $v_0$ selon $\vec{u}_x$ donne : $e(t) = - B_0 L v_0 \left[ \cos(k x_{\text{max}}(t)) - \cos(k x_{\text{min}}(t)) \xi \right]$ En posant $L = y_{\text{max}} - y_{\text{min}}$ la largeur du circuit, on obtient : $e(t) = -B_0 L v_0 \sin(kx(t)) \text{ (selon les dimensions du contour)}$

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Correction de la Partie I

3. Établissement de l’équation de Helmholtz

Barème : /2.0 Dans le vide et en régime stationnaire/harmonique, les équations de Maxwell s’écrivent : $\text{rot}(\vec{E}) = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \quad \text{et} \quad \text{rot}(\vec{B}) = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ En prenant le rotationnel de l’équation de Faraday et en injectant l’équation de Maxwell-Ampère : $\text{rot}(\text{rot}(\vec{E})) = -\frac{\partial}{\partial t}(\text{rot}(\vec{B})) = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\ot^2}$ Avec l’identité $\text{rot}(\text{rot}(\vec{E})) = \text{grad}(\text{div}(\vec{E})) - \Delta \vec{E}$, et sachant que $\text{div}(\vec{E}) = 0$ dans le guide : $\Delta \vec{E} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0}$ En projetant sur $\vec{u}_y$ pour $E_y(x,z,t) = E_y(x) \cos(\omega t - K z)$ : $\frac{\text{d}^2 E_y}{\text{d}x^2} + \left( \frac{\omega^2}{c^2} - K^2 \right) E_y(x) = 0$

4. Résolution et conditions aux limites

Barème : /2.5 La solution générale de l’équation différentielle harmonique est de la forme : $E_y(x) = A \cos(\alpha x) + B \sin(\alpha x)$ avec $\alpha^2 = \frac{\omega^2}{c^2} - K^2$. Les conditions aux limites exigent que le champ électrique tangentiel s’annule sur les parois parfaites du guide en $x = 0$ et $x = a$ :

1. En $x = 0$ : $E_y(0) = 0 \implies A = 0$.
2. En $x = a$ : $E_y(a) = B \sin(\alpha a) = 0 \implies \alpha a = p\pi$ avec $p \in \mathbb{N}^*$. On en déduit la relation de dispersion : $K^2 = \frac{\omega^2}{c^2} - \left(\frac{p\pi}{a}\right)^2$

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Correction de la Partie II

5. Différence de marche $\delta$ dans la lame d’air

Barème : /2.0 Pour une lame d’air d’épaisseur $e$ éclairée sous l’angle d’incidence $i$, la différence de marche géométrique et optique entre les deux ondes issues des dioptres s’exprime par la relation classique de Michelson : $\delta = 2 e \cos(i)$

6. Intensité lumineuse résultante

Barème : /2.0 L’intensité lumineuse résultante de l’interférence à deux ondes est donnée par : $I(P) = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos(\Delta \varphi)$ En supposant les sources d’intensités égales $I_1 = I_2 = \frac{I_0}{2}$ et sachant que $\Delta \varphi = \frac{2\pi}{\lambda_0} \delta$ : $I(P) = I_0 \left( 1 + \cos\left( \frac{4\pi e \cos(i)}{\lambda_0} \right) \right) = 2 I_0 \cos^2 \left( \frac{2\pi e \cos(i)}{\lambda_0} \right)$

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Correction de la Partie III

7. Variation temporelle de la différence de marche $\delta(t)$

Barème : /2.5 La variation du champ magnétique $\vec{B}(t) = B_1 \sin(\Omega t) \vec{u}_z$ engendre une modification de l’indice optique effectif $\Delta n(t) = \chi B_1 \sin(\Omega t)$ sur une distance traversée assimilée à l’épaisseur $e$ du bras. La variation de chemin optique s’écrit alors : $\Delta \delta(t) = 2 \int_{0}^{e} \Delta n(t) \, \text{dz} = 2 e \chi B_1 \sin(\Omega t)$ La différence de marche totale devient donc : $\delta(t) = 2 e \cos(i) + 2 e \chi B_1 \sin(\Omega t)$

8. Signal lumineux temporel perçu par le photodétecteur

Barème : /3.5 Au centre de la figure d’interférence ($i = 0$), la différence de marche vaut $\delta(t) = 2 e + 2 e \chi B_1 \sin(\Omega t)$. Le déphasage temporel correspondant est : $\Delta \varphi(t) = \frac{2\pi}{\lambda_0} \delta(t) = \frac{4\pi e}{\lambda_0} + \frac{4\pi e \chi B_1}{\lambda_0} \sin(\Omega t)$ En remplaçant dans l’expression de l’intensité lumineuse : $I(t) = I_0 \left( 1 + \cos\left( \frac{4\pi e}{\lambda_0} + \frac{4\pi e \chi B_1}{\lambda_0} \sin(\Omega t) \right) \right)$ En posant $\varphi_0 = \frac{4\pi e}{\lambda_0}$ et $m(t) = \frac{4\pi e \chi B_1}{\lambda_0} \sin(\Omega t)$, on obtient un signal lumineux modulé en amplitude par le champ magnétique variable, illustrant le couplage électromagnéto-optique recherché.