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CPGE Futur

Exercice 1 : Produit vectoriel et mixte

Problème guidé : Propriétés géométriques et analytiques du produit vectoriel et du produit mixte en dimension 3

Section titled “Problème guidé : Propriétés géométriques et analytiques du produit vectoriel et du produit mixte en dimension 3”

Filière : PTSI
Matière : Mathématiques
Chapitre: ** Géométrie euclidienne
Thème : Produit vectoriel et mixte

Énoncé

Section titled “Énoncé”

Soit E=R3\mathcal{E} = \mathbb{R}^3 muni de sa structure euclidienne canonique orientée par sa base orthonormée directe B=(i⃗,j⃗,k⃗)\mathcal{B} = (\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}). On rappelle que pour tout vecteur u⃗=(x1,y1,z1)\vec{u} = (x_1, y_1, z_1) et v⃗=(x2,y2,z2)\vec{v} = (x_2, y_2, z_2), le produit vectoriel u⃗∧v⃗\vec{u} \wedge \vec{v} est défini analytiquement par : u⃗∧v⃗=(y1z2−z1y2)i⃗+(z1x2−x1z2)j⃗+(x1y2−y1x2)k⃗\vec{u} \wedge \vec{v} = (y_1 z_2 - z_1 y_2)\vec{i} + (z_1 x_2 - x_1 z_2)\vec{j} + (x_1 y_2 - y_1 x_2)\vec{k} Et pour tout triplet (u⃗,v⃗,w⃗)(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}), le produit mixte est défini par [u⃗,v⃗,w⃗]=(u⃗∧v⃗)⋅w⃗[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = (\vec{u} \wedge \vec{v}) \cdot \vec{w}.

Le problème se propose d’étudier certaines identités remarquables liées à ces outils géométriques, d’interpréter leurs limites physiques et de modéliser l’orientation d’un repère dans l’espace.

Questions

Section titled “Questions”

  1. Calcul algébrique fondamental
    Soient u⃗,v⃗,w⃗\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} et x⃗\vec{x} quatre vecteurs de R3\mathbb{R}^3. Établir la relation dite de double produit vectoriel (ou formule de Grassmann) : u⃗∧(v⃗∧w⃗)=(u⃗⋅w⃗)v⃗−(u⃗⋅v⃗)w⃗\vec{u} \wedge (\vec{v} \wedge \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w} (On pourra utiliser un calcul dans une base bien choisie ou l’identité de Lagrange).

  2. Application au produit mixte
    Démontrer l’identité de Jacobi pour le produit vectoriel : pour tous vecteurs u⃗,v⃗,w⃗\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}, u⃗∧(v⃗∧w⃗)+v⃗∧(w⃗∧u⃗)+w⃗∧(u⃗∧v⃗)=0⃗\vec{u} \wedge (\vec{v} \wedge \vec{w}) + \vec{v} \wedge (\vec{w} \wedge \vec{u}) + \vec{w} \wedge (\vec{u} \wedge \vec{v}) = \vec{0}

  3. Interprétation géométrique et analyse critique du modèle
    Soit F⃗\vec{F} un champ de force appliqué en un point MM dont la position par rapport à un point fixe OO est OM⃗\vec{OM}. Le moment cinétique ou le moment de la force par rapport à OO est défini par M⃗O(F⃗)=OM⃗∧F⃗\vec{\mathcal{M}}_O(\vec{F}) = \vec{OM} \wedge \vec{F}. Dans le cadre de la modélisation mécanique classique en dimension 3, analyser rigoureusement les limites de ce modèle vectoriel lorsque l’on change de référentiel (notamment en cas de passage d’un repère galiléen à un repère non galiléen en rotation).

Pistes et Indications

Section titled “Pistes et Indications”
  • Question 1 : Pour simplifier les calculs sans perte de généralité, choisir un repère orthonormal où v⃗\vec{v} est colinéaire à i⃗\vec{i} et w⃗\vec{w} est dans le plan (i⃗,j⃗)(\vec{i}, \vec{j}). Expliciter les coordonnées de chaque vecteur.
  • Question 2 : Appliquer directement la formule de Grassmann démontrée à la question 1 pour chaque terme de la somme, puis sommer.
  • Question 3 : S’interroger sur la nature algébrique du produit vectoriel (qui est un vecteur “axial” ou “pseudovecteur”) face aux inversions d’espace ou aux changements d’orientation, et discuter de la validité de l’outil mathématique face à la réalité physique.

Corrigé pas à pas

Section titled “Corrigé pas à pas”

1. Démonstration de la formule de Grassmann

Section titled “1. Démonstration de la formule de Grassmann”

Méthode par choix d’une base adaptée : Soit v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w} deux vecteurs. Si v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w} sont colinéaires, alors v⃗∧w⃗=0⃗\vec{v} \wedge \vec{w} = \vec{0}, donc le membre de gauche est nul. De plus, v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w} étant colinéaires, on peut poser w⃗=λv⃗\vec{w} = \lambda \vec{v}, ce qui annule aussi le membre de droite par un calcul direct.

Supposons maintenant v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w} non colinéaires. On choisit une base orthonormée directe (i⃗′,j⃗′,k⃗′)(\vec{i}', \vec{j}', \vec{k}') telle que :

  • i⃗′\vec{i}' soit colinéaire à v⃗\vec{v} : v⃗=v1i⃗′\vec{v} = v_1 \vec{i}' (avec v1>0v_1 > 0).
  • j⃗′\vec{j}' soit dans le plan (v⃗,w⃗)(\vec{v}, \vec{w}) de sorte que w⃗=w1i⃗′+w2j⃗′\vec{w} = w_1 \vec{i}' + w_2 \vec{j}' (avec w2>0w_2 > 0).
  • k⃗′=i⃗′∧j⃗′\vec{k}' = \vec{i}' \wedge \vec{j}' complète la base directe.

Soit u⃗=x′i⃗′+y′j⃗′+z′k⃗′\vec{u} = x'\vec{i}' + y'\vec{j}' + z'\vec{k}'. Calculons terme à terme :

  1. v⃗∧w⃗=(v1i⃗′)∧(w1i⃗′+w2j⃗′)=v1w2(i⃗′∧j⃗′)=v1w2k⃗′\vec{v} \wedge \vec{w} = (v_1 \vec{i}') \wedge (w_1 \vec{i}' + w_2 \vec{j}') = v_1 w_2 (\vec{i}' \wedge \vec{j}') = v_1 w_2 \vec{k}'.
  2. u⃗∧(v⃗∧w⃗)=(x′i⃗′+y′j⃗′+z′k⃗′)∧(v1w2k⃗′)\vec{u} \wedge (\vec{v} \wedge \vec{w}) = (x'\vec{i}' + y'\vec{j}' + z'\vec{k}') \wedge (v_1 w_2 \vec{k}') =−x′v1w2j⃗′+y′v1w2i⃗′= -x' v_1 w_2 \vec{j}' + y' v_1 w_2 \vec{i}'

Évaluons à présent le membre de droite avec ce choix de base :

  • u⃗⋅v⃗=x′v1\vec{u} \cdot \vec{v} = x' v_1
  • u⃗⋅w⃗=x′w1+y′w2\vec{u} \cdot \vec{w} = x' w_1 + y' w_2

Ainsi : (u⃗⋅w⃗)v⃗−(u⃗⋅v⃗)w⃗=(x′w1+y′w2)(v1i⃗′)−(x′v1)(w1i⃗′+w2j⃗′)(\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w} = (x' w_1 + y' w_2)(v_1 \vec{i}') - (x' v_1)(w_1 \vec{i}' + w_2 \vec{j}') =x′w1v1i⃗′+y′w2v1i⃗′−x′v1w1i⃗′−x′v1w2j⃗′= x' w_1 v_1 \vec{i}' + y' w_2 v_1 \vec{i}' - x' v_1 w_1 \vec{i}' - x' v_1 w_2 \vec{j}' =y′v1w2i⃗′−x′v1w2j⃗′= y' v_1 w_2 \vec{i}' - x' v_1 w_2 \vec{j}'

On retrouve bien l’égalité : u⃗∧(v⃗∧w⃗)=(u⃗⋅w⃗)v⃗−(u⃗⋅v⃗)w⃗\vec{u} \wedge (\vec{v} \wedge \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}. ■\blacksquare

2. Démonstration de l’identité de Jacobi

Section titled “2. Démonstration de l’identité de Jacobi”

En appliquant la formule de Grassmann établie à la question 1 à chacun des trois termes :

  1. u⃗∧(v⃗∧w⃗)=(u⃗⋅w⃗)v⃗−(u⃗⋅v⃗)w⃗\vec{u} \wedge (\vec{v} \wedge \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}
  2. v⃗∧(w⃗∧u⃗)=(v⃗⋅u⃗)w⃗−(v⃗⋅w⃗)u⃗\vec{v} \wedge (\vec{w} \wedge \vec{u}) = (\vec{v} \cdot \vec{u})\vec{w} - (\vec{v} \cdot \vec{w})\vec{u}
  3. w⃗∧(u⃗∧v⃗)=(w⃗⋅v⃗)u⃗−(w⃗⋅u⃗)v⃗\vec{w} \wedge (\vec{u} \wedge \vec{v}) = (\vec{w} \cdot \vec{v})\vec{u} - (\vec{w} \cdot \vec{u})\vec{v}

En effectuant la somme membre à membre de ces trois relations et en utilisant la symétrie du produit scalaire (a⃗⋅b⃗=b⃗⋅a⃗\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}), on obtient : ∑cycu⃗∧(v⃗∧w⃗)=[(u⃗⋅w⃗)v⃗−(v⃗⋅w⃗)u⃗]+[(v⃗⋅u⃗)w⃗−(v⃗⋅w⃗)u⃗]…\sum_{\text{cyc}} \vec{u} \wedge (\vec{v} \wedge \vec{w}) = \left[(\vec{u}\cdot\vec{w})\vec{v} - (\vec{v}\cdot\vec{w})\vec{u}\right] + \left[(\vec{v}\cdot\vec{u})\vec{w} - (\vec{v}\cdot\vec{w})\vec{u}\right] \dots Plus simplement, en regroupant les termes par vecteurs :

  • Termes en u⃗\vec{u} : (w⃗⋅v⃗)u⃗−(v⃗⋅w⃗)u⃗=0⃗(\vec{w} \cdot \vec{v})\vec{u} - (\vec{v} \cdot \vec{w})\vec{u} = \vec{0}
  • Termes en v⃗\vec{v} : (u⃗⋅w⃗)v⃗−(w⃗⋅u⃗)v⃗=0⃗(\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{w} \cdot \vec{u})\vec{v} = \vec{0}
  • Termes en w⃗\vec{w} : (v⃗⋅u⃗)w⃗−(u⃗⋅v⃗)w⃗=0⃗(\vec{v} \cdot \vec{u})\vec{w} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w} = \vec{0}

La somme est donc bel et bien nulle : u⃗∧(v⃗∧w⃗)+v⃗∧(w⃗∧u⃗)+w⃗∧(u⃗∧v⃗)=0⃗■\vec{u} \wedge (\vec{v} \wedge \vec{w}) + \vec{v} \wedge (\vec{w} \wedge \vec{u}) + \vec{w} \wedge (\vec{u} \wedge \vec{v}) = \vec{0} \quad \blacksquare

3. Analyse critique et limites du modèle géométrique

Section titled “3. Analyse critique et limites du modèle géométrique”

  • Nature algébrique des objets (Vecteurs vs Pseudovecteurs) :
    Le produit vectoriel u⃗∧v⃗\vec{u} \wedge \vec{v} n’est pas un vecteur au sens strict (vecteur polaire ou de déplacement), mais un pseudovecteur (ou vecteur axial). En effet, lors d’une inversion du système d’axes (transformation de B\mathcal{B} en −B-\mathcal{B}), les vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} changent de signe, tandis que leur produit vectoriel reste invariant (le déterminant associé change de signe, mais l’orientation de l’espace est inversée, compensant le signe).

  • Limites en physique et en mécanique du solide :

    1. Dimensionnalité : Le produit vectoriel et le produit mixte reposent intrinsèquement sur la dimension 3 (unicité de l’orthogonal à un hyperplan de dimension 2, isomorphisme entre R3\mathbb{R}^3 et l’espace des applications antisymétriques). Il est mathématiquement impossible de définir un produit vectoriel standard en dimension 2 ou 4 de la même manière.
    2. Changement de référentiel : L’utilisation du moment M⃗O(F⃗)\vec{\mathcal{M}}_O(\vec{F}) suppose un espace affine euclidien absolu. Lorsque le référentiel d’étude n’est plus galiléen (par exemple en cinématique d’un solide en rotation), l’apparition de forces d’inertie (coriolis, entraînement) fait perdre la simplicité du modèle vectoriel stationnaire, nécessitant l’utilisation d’outils plus robustes comme le calcul tensoriel ou les torseurs.
    3. Sensibilité géométrique : Si les vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont colinéaires (erreurs de mesure expérimentales en sciences industrielles, incertitudes numériques en CFAO), le produit vectoriel s’annule brutalement, entraînant une perte d’information sur le plan engendré. Le modèle montre ici sa discontinuité topologique locale.