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CPGE Futur

Cours : Équations de Maxwell

Fiche de Cours : Équations de Maxwell

Section titled “Fiche de Cours : Équations de Maxwell”

Filière : MP/PC (Option PC) — Niveau : Deuxième année
Matière : Physique-Chimie

1. Introduction et Outils Mathématiques Préalables

Section titled “1. Introduction et Outils Mathématiques Préalables”

L’électromagnétisme macroscopique repose sur le formalisme vectoriel et l’analyse vectorielle. Soit un champ vectoriel A⃗(r⃗,t)\vec{A}(\vec{r}, t) et un champ scalaire V(r⃗,t)V(\vec{r}, t).

  • Opérateur nabla (∇⃗\vec{\nabla}) : En coordonnées cartésiennes, ∇⃗=∂∂xe⃗x+∂∂ye⃗y+∂∂ze⃗z\vec{\nabla} = \frac{\partial}{\partial x}\vec{e}_x + \frac{\partial}{\partial y}\vec{e}_y + \frac{\partial}{\partial z}\vec{e}_z.
  • Gradient : ∇⃗V=grad(V)=∂V∂xe⃗x+∂V∂ye⃗y+∂V∂ze⃗z\vec{\nabla}V = \text{grad}(V) = \frac{\partial V}{\partial x}\vec{e}_x + \frac{\partial V}{\partial y}\vec{e}_y + \frac{\partial V}{\partial z}\vec{e}_z.
  • Divergence : div(A⃗)=∇⃗⋅A⃗=∂Ax∂x+∂Ay∂y+∂Az∂z\text{div}(\vec{A}) = \vec{\nabla} \cdot \vec{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}.
  • Rotationnel : rot(A⃗)=∇⃗∧A⃗\text{rot}(\vec{A}) = \vec{\nabla} \wedge \vec{A}.

Théorèmes intégraux fondamentaux (Exigibles) :

  • Théorème de Green-Ostrogradski (Flux-Divergence) : Pour tout volume VV fermé, de frontière orientée ∂V\partial V (normale sortante n⃗\vec{n}) : ∬∂VA⃗⋅n⃗ dS=∭V(∇⃗⋅A⃗) dV\iint_{\partial V} \vec{A} \cdot \vec{n} \, dS = \iiint_V (\vec{\nabla} \cdot \vec{A}) \, dV
  • Théorème de Stokes (Circulation-Rotationnel) : Pour toute surface SS ouverte, s’appuyant sur un contour fermé Γ\Gamma orienté : ∮ΓA⃗⋅dl⃗=∬S(∇⃗∧A⃗)⋅n⃗ dS\oint_{\Gamma} \vec{A} \cdot d\vec{l} = \iint_S (\vec{\nabla} \wedge \vec{A}) \cdot \vec{n} \, dS

2. Les Équations de Maxwell (Formes Locale et Integrale)

Section titled “2. Les Équations de Maxwell (Formes Locale et Integrale)”

Le champ électromagnétique est décrit par le champ électrique E⃗\vec{E} et le champ magnétique B⃗\vec{B}. Les sources sont la densité volumique de charge ρ\rho et la densité volumique de courant j⃗\vec{j}.

A. Équations de Maxwell-Gauss (Structure du champ électrique)

Section titled “A. Équations de Maxwell-Gauss (Structure du champ électrique)”
  • Forme locale : ∇⃗⋅E⃗=ρε0\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}
  • Forme intégrale : Pour tout volume VV délimité par ∂V\partial V : ∬∂VE⃗⋅n⃗ dS=Qintε0\iint_{\partial V} \vec{E} \cdot \vec{n} \, dS = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} où ε0\varepsilon_0 est la permittivité diélectrique du vide et Qint=∭Vρ dVQ_{\text{int}} = \iiint_V \rho \, dV.

B. Équations de Maxwell-Thomson (Structure du champ magnétique)

Section titled “B. Équations de Maxwell-Thomson (Structure du champ magnétique)”
  • Forme locale : ∇⃗⋅B⃗=0\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0
  • Forme intégrale : Pour tout volume VV fermé : ∬∂VB⃗⋅n⃗ dS=0\iint_{\partial V} \vec{B} \cdot \vec{n} \, dS = 0 Interprétation : Il n’existe pas de monopôles magnétiques isolés. Le flux du champ magnétique à travers toute surface fermée est nul.

C. Équations de Maxwell-Faraday (Induction électromagnétique)

Section titled “C. Équations de Maxwell-Faraday (Induction électromagnétique)”
  • Forme locale : ∇⃗∧E⃗=−∂B⃗∂t\vec{\nabla} \wedge \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}
  • Forme intégrale : Pour un contour Γ\Gamma s’appuyant sur une surface SS fixe (ou indéformable) : ∮ΓE⃗⋅dl⃗=−ddt∬SB⃗⋅n⃗ dS\oint_{\Gamma} \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d}{dt} \iint_S \vec{B} \cdot \vec{n} \, dS Interprétation : Un champ magnétique variable temporellement crée un champ électrique non conservative (origine des forces électromotrices d’induction).

D. Équations de Maxwell-Ampère (Effet magnétique des courants et des variations de E⃗\vec{E})

Section titled “D. Équations de Maxwell-Ampère (Effet magnétique des courants et des variations de E⃗\vec{E}E)”
  • Forme locale : ∇⃗∧B⃗=μ0j⃗+μ0ε0∂E⃗∂t\vec{\nabla} \wedge \vec{B} = \mu_0 \vec{j} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} (Le terme μ0ε0∂E⃗∂t\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} est le courant de déplacement de Maxwell).
  • Forme intégrale : Pour un contour Γ\Gamma s’appuyant sur SS : ∮ΓB⃗⋅dl⃗=μ0(Itresseˊ+∬Sε0∂E⃗∂t⋅n⃗ dS)\oint_{\Gamma} \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \left( I_{\text{tressé}} + \iint_S \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \cdot \vec{n} \, dS \right)

3. Conservation de la Charge et Cohérence du Modèle

Section titled “3. Conservation de la Charge et Cohérence du Modèle”

Théorème (Équation de continuité) : La charge électrique se conserve localement : ∇⃗⋅j⃗+∂ρ∂t=0\vec{\nabla} \cdot \vec{j} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0

Démonstration (Rigueur exigée en concourt) :
Appliquons la divergence à l’équation de Maxwell-Ampère : ∇⃗⋅(∇⃗∧B⃗)=μ0∇⃗⋅j⃗+μ0ε0∂∂t(∇⃗⋅E⃗)\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \wedge \vec{B}) = \mu_0 \vec{\nabla} \cdot \vec{j} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t}(\vec{\nabla} \cdot \vec{E}) Or, mathématiquement, la divergence d’un rotationnel est toujours nulle : ∇⃗⋅(∇⃗∧B⃗)=0\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \wedge \vec{B}) = 0.
De plus, d’après Maxwell-Gauss, ∇⃗⋅E⃗=ρε0\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}. Donc : 0=μ0∇⃗⋅j⃗+μ0ε0∂∂t(ρε0)  ⟹  ∇⃗⋅j⃗+∂ρ∂t=00 = \mu_0 \vec{\nabla} \cdot \vec{j} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\rho}{\varepsilon_0}\right) \implies \vec{\nabla} \cdot \vec{j} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0 Remarque historique : C’est l’ajout du terme de courant de déplacement par Maxwell qui a permis de rendre l’équation d’Ampère compatible avec la conservation de la charge.

4. Équations de Propagation (Dans le Vide)

Section titled “4. Équations de Propagation (Dans le Vide)”

Dans le vide, les sources sont nulles : ρ=0\rho = 0 et j⃗=0⃗\vec{j} = \vec{0}.

Théorème (Équations de d’Alembert) : Dans le vide, E⃗\vec{E} et \{B} vérifient les équations de propagation d’onde : ΔE⃗−μ0ε0∂2E⃗∂t2=0⃗\Delta \vec{E} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0} ΔB⃗−μ0ε0∂2B⃗∂t2=0⃗\Delta \vec{B} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} = \vec{0} Avec la célérité des ondes électromagnétiques : c=1μ0ε0c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}.

Démonstration (pour E⃗\vec{E}) :

  1. On calcule le rotationnel du rotationnel de E⃗\vec{E} : ∇⃗∧(∇⃗∧E⃗)=∇⃗(∇⃗⋅E⃗)−ΔE⃗\vec{\nabla} \wedge (\vec{\nabla} \wedge \vec{E}) = \vec{\nabla}(\vec{\nabla} \cdot \vec{E}) - \Delta \vec{E}.
  2. D’après Maxwell-Gauss (vide), ∇⃗⋅E⃗=0\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 0, donc ∇⃗∧(∇⃗∧E⃗)=−ΔE⃗\vec{\nabla} \wedge (\vec{\nabla} \wedge \vec{E}) = -\Delta \vec{E}.
  3. D’autre part, en utilisant Maxwell-Faraday : ∇⃗∧(∇⃗∧E⃗)=∇⃗∧(−∂B⃗∂t)=−∂∂t(∇⃗∧B⃗)\vec{\nabla} \wedge (\vec{\nabla} \wedge \vec{E}) = \vec{\nabla} \wedge \left(-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\right) = -\frac{\partial}{\partial t}(\vec{\nabla} \wedge \vec{B})
  4. En injectant Maxwell-Ampère (dans le vide, j⃗=0⃗\vec{j} = \vec{0}) : ∇⃗∧B⃗=μ0ε0∂E⃗∂t  ⟹  −∂∂t(∇⃗∧B⃗)=−μ0ε0∂2E⃗∂t2\vec{\nabla} \wedge \vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \implies -\frac{\partial}{\partial t}(\vec{\nabla} \wedge \vec{B}) = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}
  5. Par identification : −ΔE⃗=−μ0ε0∂2E⃗∂t2  ⟹  ΔE⃗−μ0ε0∂2E⃗∂t2=0⃗-\Delta \vec{E} = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} \implies \Delta \vec{E} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0}.

5. Méthodes et Savoir-Faire

Section titled “5. Méthodes et Savoir-Faire”
  • Exploiter les invariances et symétries : Avant d’appliquer les équations locales, utilisez les symétries de la distribution de charges/courants pour simplifier les dépendances spatiales des champs (E⃗\vec{E} et B⃗\vec{B}).
  • Passage Local ↔\leftrightarrow Intégral :
    • Pour calculer un champ global à partir de sources hautement symétriques →\rightarrow Forme intégrale (Théorème de Gauss / Ampère généralisé).
    • Pour résoudre des problèmes de propagation ou en présence de milieux continus →\rightarrow Forme locale.
  • Conditions de passage (Raccordement) : À l’interface entre deux milieux (ou en présence d’une nappe de courant/charge surfacique), utilisez les relations de passage déduites des formes intégrales de Maxwell :
    • Discontinuité de la composante normale de E⃗\vec{E} liée à σ\sigma (densité surfacique de charge).
    • Continuité de la composante normale de B⃗\vec{B}.
    • Discontinuité de la composante tangentielle de B⃗\vec{B} liée à j⃗s\vec{j}_s (densité surfacique de courant).

6. Pièges et Erreurs Classiques à Éviter

Section titled “6. Pièges et Erreurs Classiques à Éviter”
  1. Oublier le courant de déplacement : En régime variable, ∇⃗∧B⃗≠μ0j⃗\vec{\nabla} \wedge \vec{B} \neq \mu_0 \vec{j}. Le terme μ0ε0∂E⃗∂t\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} est indispensable, même s’il n’y a pas de matière (j⃗=0⃗\vec{j} = \vec{0}).
  2. Confusion sur les dérivées temporelles dans Stokes : Pour Maxwell-Faraday sous forme intégrale, la surface SS doit être fixe dans le référentiel d’étude pour pouvoir permuter dérivation temporelle et intégrale (ddt∬S⋯=∬S∂∂t…\frac{d}{dt} \iint_S \dots = \iint_S \frac{\partial}{\partial t} \dots). Si le contour est mobile, il faut utiliser le formalisme de l’ARQS et du flux coupé (loi de Faraday-Lenz).
  3. Mauvaise orientation du contour Γ\Gamma : Lors de l’application du théorème de Stokes ou de la forme intégrale de Maxwell-Ampère/Faraday, le sens de parcours du contour Γ\Gamma et l’orientation de la normale \vec_n à la surface SS doivent impérativement respecter la règle du bonhomme d’Ampère (ou de la main droite).