Cours : Électrocinétique et régimes transitoires

📌 1. Définitions & Cadre d’étude

L’électrocinétique des régimes transitoires étudie l’évolution temporelle des grandeurs électriques (tensions et intensités) au sein d’un circuit linéaire invariant lors d’une modification structurelle (fermeture d’interrupteur, échelon de tension).

Cadre de l’ARQS (Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires)

L’étude est menée dans le cadre de l’ARQS, qui suppose que le temps de propagation des signaux électromagnétiques à travers le circuit est négligeable devant la plus petite période caractéristique ou devant le temps caractéristique d’évolution du système. Mathématiquement, si $L$ est la dimension caractéristique du circuit et $c$ la vitesse de la lumière dans le vide : $\tau_{\text{prop}} = \frac{L}{c} \ll \tau_{\text{systeme}}$ Cette approximation permet de conserver l’instant $t$ identique en tout point du circuit et de valider l’application de la loi des nœuds sous sa forme instantanée : $\sum_{\text{k}} i_k(t) = 0$

Modélisation des dipôles passifs linéaires

Les relations constitutives des dipôles idéaux en convention récepteur sont les suivantes :

• Résistance $R$ ($\text{en }\Omega$) : $u(t) = R \, i(t)$
• Condensateur $C$ ($\text{en }\text{F}$) : $i(t) = C \, \frac{\text{d}u}{\text{d}t}$
• Bobine idéale $L$ ($\text{en }\text{H}$) : $u(t) = L \, \frac{\text{d}i}{\text{d}t}$

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📐 2. Théorèmes fondamentaux & Démonstrations clés

Établissement des équations différentielles (Circuits du $1^{\text{er}}$ et $2^{\text{nd}}$ ordre)

Circuit RC série en régime libre (Décharge d’un condensateur)

Considérons un condensateur initialement chargé sous une tension $E$, branché à $t = 0$ aux bornes d’une résistance $R$.

1. Loi des mailles : $u_R(t) + u_C(t) = 0$
2. Relations caractéristiques : $R \, i(t) + u_C(t) = 0 \quad \text{avec} \quad i(t) = C \, \frac{\text{d}u_C}{\text{d}t}$
3. Équation différentielle régissant $u_C(t)$ : $\frac{\text{d}u_C}{\text{d}t} + \frac{1}{\tau} u_C(t) = 0$ où $\tau = R \, C$ est le temps caractéristique du système ($\text{en }\text{s}$).

Solution générale et conditions initiales

La résolution de cette équation différentielle linéaire homogène du premier ordre conduit à : $u_C(t) = A \, e^{-\frac{t}{\tau}}$ La condition initiale portant sur la continuité de la tension aux bornes du condensateur impose $u_C(0^+) = u_C(0^-) = E$. Ainsi, $A = E$, d’où : $u_C(t) = E \, e^{-\frac{t}{\tau}} \, \mathcal{U}(t)$ où $\mathcal{U}(t)$ désigne la fonction de Heaviside.

Circuit RLC série soumis à un échelon de tension

Considérons une source idéale de tension constante $E$ alimentant en série un résistor $R$, une bobine d’inductance $L$ et de résistance négligeable, et un condensateur $C$.

1. Loi des mailles : $u_R(t) + u_L(t) + u_C(t) = E$
2. Substitution des relations constitutives : $R \, i(t) + L \, \frac{\text{d}i}{\text{d}t} + u_C(t) = E$
3. En exprimant l’intensité $i(t) = C \frac{\text{d}u_C}{\text{d}t}$, on obtient l’équation différentielle du second ordre en $u_C(t)$ : $\frac{\text{d}^2 u_C}{\text{d}t^2} + \frac{R}{L} \frac{\text{d}u_C}{\text{d}t} + \frac{1}{LC} u_C(t) = \frac{E}{LC}$

Mise sous forme canonique et régimes d’amortissement

On introduit traditionnellement la pulsation propre non amortie $\omega_0$ ($\text{en }\text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$) et le facteur de qualité $Q$ (sans dimension) ou le coefficient d’amortissement $\xi$ : $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}, \quad Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}, \quad \xi = \frac{1}{2Q} = \frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}$

L’équation canonique devient : $\frac{\text{d}^2 u_C}{\text{d}t^2} + \frac{\omega_0}{Q} \frac{\text{d}u_C}{\text{d}t} + \omega_0^2 \, u_C(t) = \omega_0^2 \, E$

Le polynôme caractéristique associé est : $r^2 + \frac{\omega_0}{Q} r + \omega_0^2 = 0 \quad \text{avec} \quad \Delta = \omega_0^2 \left( \frac{1}{Q^2} - 4 \right)$

Trois régimes distincts émergent selon la valeur du facteur de qualité $Q$ :

1. Régime apériodique ($Q < \frac{1}{2}$ ou $\Delta > 0$) : Le système est fortement amorti. Les racines sont réelles et distinctes. Le retour à l’équilibre est plus lent qu’en régime critique.
2. Régime critique ($Q = \frac{1}{2}$ ou $\Delta = 0$) : Racine double $r = -\omega_0$. Le retour à l’équilibre est le plus rapide possible sans dépassement de la valeur finale.
3. Régime pseudo-périodique ($Q > \frac{1}{2}$ ou $\Delta < 0$) : Le système oscille à une pulsation pseudo-propre $\omega = \omega_0 \sqrt{1 - \frac{1}{4Q^2}}$. La solution générale s’écrit sous la forme : $u_C(t) = E + e^{-\frac{\omega_0}{2Q} t} \left( A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t) \right)$

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💡 3. Méthodes de calcul & Algorithmes

Méthode systématique de résolution d’un régime transitoire

1. Bilan des conditions initiales ($t = 0^-$ et $t = 0^+$) :
   • Identifier les variables d’état : la tension aux bornes du condensateur $u_C(t)$ et l’intensité traversant la bobine $i_L(t)$.
   • Appliquer le principe de continuité : $u_C(0^+) = u_C(0^-) \quad \text{et} \quad i_L(0^+) = i_L(0^-)$
2. Établissement de l’équation différentielle :
   • Utiliser les lois de Kirchhoff (mailles, nœuds) et éliminer les grandeurs intermédiaires pour obtenir une équation portant uniquement sur la variable d’intérêt ou la variable d’état.
3. Recherche de la solution :
   • Forme générale : $\text{Solution} = \text{Solution homogène} + \text{Solution particulière}$.
   • Déterminer les constantes d’intégration à l’aide des conditions initiales sur la variable et, si nécessaire, sur sa dérivée première (obtenue via les lois de la physique à $t=0^+$).
4. Analyse physique :
   • Vérifier l’homogénéité des expressions littérales.
   • Analyser le comportement asymptotique ($t \to +\infty$).

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⚠️ 4. Pièges classiques aux Concours

1. Discontinuité brutale des variables non d’état : Attention, la tension aux bornes d’une résistance ($u_R = R i$) ou l’intensité traversant un condensateur ($i_C = C \frac{\text{d}u_C}{\text{d}t}$) ne sont pas continues lors d’une commutation. Seules les variables d’état ($u_C$ et $i_L$) le sont, sous réserve de la non-infinité des sources.
2. Erreur de convention : Ne jamais mélanger la convention générateur et la convention récepteur lors de l’écriture des équations constitutives, sous peine d’inverser le signe des dérivées.
3. Négliger la résistance interne des sources réelles : Dans les problèmes de concours, une source de tension réelle possède une résistance interne $r$ en série. L’oublier fausse l’ordre du circuit ou la valeur du facteur d’amortissement $Q$.
4. Conditions initiales incorrectes : Calculer $i_L(0^+)$ en oubliant que la bobine se comporte comme un interrupteur ouvert (en régime permanent continu établi pour $t < 0$) ou comme une source de courant instantanée à $t = 0^+$.