Exercice 1 : Mouvement d une particule chargée dans un champ B uniforme

🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude

On considère une particule de masse $m$ et de charge électrique $q$ (avec $q > 0$), injectée dans une région de l’espace où règne un champ magnétique uniforme et stationnaire $\vec{B} = B_0 \vec{e}_z$, exprimé dans un référentiel galiléen muni du repère cartésien orthonormal direct $(O, \vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z)$.

On négligera l’action de la pesanteur devant la force magnétique. L’objectif de ce problème est d’analyser la cinématique et la dynamique de cette particule selon les conditions initiales, de mettre en évidence le phénomène de cyclotron, et de déterminer l’effet d’une force de frottement fluide de type $\vec{f} = -h \vec{v}$ (où $h > 0$ est une constante de frottement).

❓ Questions progressives

1. Rappel de la loi fondamentale de la dynamique : Exprimer la force de Lorentz $\vec{F}$ s’exerçant sur la particule de vitesse $\vec{v}$. Établir l’équation différentielle vectorielle régissant le mouvement de la particule dans le champ $\vec{B}$.
2. Analyse énergétique : En calculant la puissance de la force magnétique, déterminer la nature du mouvement de la particule quant à sa norme de vitesse et à son énergie cinétique.
3. Projection dans le plan $(Oxy)$ sans frottement : En posant $\omega_c = \frac{q B_0}{m}$ (pulsation cyclotron), écrire le système d’équations différentielles couplées pour les composantes $v_x(t)$ et $v_y(t)$ de la vitesse.
4. Résolution par nombre complexe : On introduit la vitesse complexe $V(t) = v_x(t) + i v_y(t)$.
   • a) Établir l’équation différentielle du premier ordre satisfaite par $V(t)$.
   • b) En déduire l’expression générale de $V(t)$ en fonction de la vitesse initiale complexe $V_0 = v_{x0} + i v_{y0}$ et de $\omega_c$.
   • c) Par intégration temporelle, déterminer les coordonnées de position $x(t)$ et $y(t)$ en supposant la particule initialement en $O$ avec une vitesse $\vec{v}_0 = v_{0} \vec{e}_x$. Préciser la nature géométrique de la trajectoire projetée.
5. Introduction d’un amortissement fluide : On suppose désormais que la particule subit également une force de frottement $\vec{f} = -h \vec{v}$.
   • a) Réécrire l’équation différentielle pour la vitesse complexe $V(t)$ en tenant compte de ce terme de frottement. On posera $\tau = \frac{m}{h}$.
   • b) Intégrer cette équation pour obtenir $V(t)$ avec la condition initiale $V(0) = V_0$.
   • c) Discuter qualitativement de l’allure de la trajectoire dans le plan $(Oxy)$.

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💡 Pistes & Indications méthodologiques

• Question 1 : Utilisez l’expression générale de la force de Lorentz $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \wedge \vec{B})$ en posant $\vec{E} = \vec{0}$. Appliquez ensuite le principe fondamental de la dynamique (PFD) dans un référentiel galiléen.
• Question 2 : Calculez le produit scalaire $\vec{F} \cdot \vec{v}$ et rappelez le théorème de l’énergie cinétique.
• Question 3 & 4 : Développez le produit vectoriel $\vec{v} \wedge \vec{B}$ en coordonnées cartésiennes. L’utilisation de la variable complexe $V(t) = v_x + i v_y$ permet de découpler les équations et de se ramener à une équation différentielle linéaire à coefficients constants très simple à résoudre.
• Question 5 : Linéarisez l’équation avec la même méthode des nombres complexes en ajoutant le terme d’amortissement linéaire $- \frac{1}{\tau} V(t)$.

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📋 Corrigé détaillé et vérification des résultats

1. Équation du mouvement

La particule de charge $q$ et de vitesse $\vec{v}$ dans le champ magnétique $\vec{B} = B_0 \vec{e}_z$ est soumise à la force de Lorentz : $\vec{F} = q (\vec{v} \wedge \vec{B})$

Dans le référentiel galiléen supposé, le PFD s’écrit : $m \frac{d\vec{v}}{dt} = q (\vec{v} \wedge \vec{B})$

Exprimons le produit vectoriel avec $\vec{v} = v_x \vec{e}_x + v_y \vec{e}_y + v_z \vec{e}_z$ et $\vec{B} = B_0 \vec{e}_z$ : $\vec{v} \wedge \vec{B} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ B_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_y B_0 \\ -v_x B_0 \\ 0 \end{pmatrix}$

L’équation vectorielle se projette selon les trois axes cartésiens :

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