Cours : Espaces vectoriels de dimension finie

📌 1. Définitions & Cadre d’étude

Soit $\mathbb{K}$ un corps commutatif (généralement $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$). Soit $(E, +, \cdot)$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel.

A. Espace vectoriel de dimension finie

• Définition : On dit que $E$ est de dimension finie s’il existe une famille finie de vecteurs de $E$ qui est génératrice de $E$. C’est-à-dire qu’il existe un entier $n \in \mathbb{N}$ et des vecteurs $(e_1, \dots, e_n) \in E^n$ tels que $E = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_n)$.
• Si $E$ n’est pas de dimension finie, on dit qu’il est de dimension infinie.

B. Familles libres, génératrices et bases

• Famille libre : Soit $(x_1, \dots, x_p) \in E^p$. Cette famille est dite libre (ou linéairement indépendante) si pour tout $(l_1, \dots, l_p) \in \mathbb{K}^p$ : $\sum_{i=1}^{p} l_i x_i = 0_E \implies \forall i \in \llbracket 1, p \rrbracket, \; l_i = 0_{\mathbb{K}}$
• Famille génératrice : Soit $(x_1, \dots, x_p) \in E^p$. Cette famille est dite génératrice de $E$ si tout vecteur de $E$ peut s’écrire comme combinaison linéaire des $(x_i)_{1 \le i \le p}$.
• Base : Une famille $(e_1, \dots, e_n)$ de $E$ est une base de $E$ si elle est à la fois libre et génératrice.

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📐 2. Théorèmes fondamentaux & Démonstrations clés

A. Théorème de la base incomplète (Admis)

• Énoncé : Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie. Toute famille libre de $E$ peut être complétée par des vecteurs de $E$ pour former une base de $E$. De plus, toutes les bases d’un même espace vectoriel de dimension finie ont le même cardinal, appelé la dimension de $E$ et noté $\dim(E)$.

B. Théorème fondamental de la dimension (Caractérisation des bases)

• Théorème : Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel tel que $\dim(E) = n \in \mathbb{N}$. Soit $(v_1, \dots, v_n)$ une famille de $n$ vecteurs de $E$. Les assertions suivantes sont équivalentes :
  1. $(v_1, \dots, v_n)$ est une base de $E$.
  2. $(v_1, \dots, v_n)$ est une famille libre.
  3. $(v_1, \dots, v_n)$ est une famille génératrice de $E$.

Démonstration (Implication 2 $\implies$ 1) : Supposons la famille $\mathcal{F} = (v_1, \dots, v_n)$ libre. Par le théorème de la base incomplète, $\mathcal{F}$ peut être complétée en une base $\mathcal{B} = (v_1, \dots, v_n, w_1, \dots, w_k)$ de $E$, avec $k \in \mathbb{N}$. Par définition de la dimension, le cardinal de $\mathcal{B}$ est égal à $\dim(E)$, soit $n + k = n$. Par conséquent, $k = 0$. La famille $\mathcal{F}$ est donc de cardinal $n$ et génératrice (puisque $\mathcal{B}$ l’est), c’est une base de $E$. $\blacksquare$

C. Dimension d’un sous-espace vectoriel et formule de Grassmann

• Proposition : Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Alors $F$ est de dimension finie et : $\dim(F) \le \dim(E)$ De plus, $\dim(F) = \dim(E) \iff F = E$.
• Théorème de Grassmann : Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ de dimensions finies. Alors : $\dim(F + G) = \dim(F) + \dim(G) - \dim(F \cap G)$

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💡 3. Méthodes de calcul & Algorithmes

A. Détermination de la dimension d’un sous-espace vectoriel

Pour déterminer la dimension d’un sous-espace vectoriel $F$ donné par un système d’équations ou par une famille génératrice :

1. Méthode génératrice : Extraire une base d’une famille génératrice en échelonnant les vecteurs (souvent représentés sous forme de lignes d’une matrice $A \in \mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{K})$).
2. Méthode par équations : Résoudre le système homogène définissant $F$. Le nombre de paramètres libres dans la solution générale correspond à la dimension de $F$.

B. Pratique du pivot de Gauss pour le rang

Soit $A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$. Le rang de $A$, noté $\operatorname{rg}(A)$, est la dimension du sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})$ engendré par les colonnes de $A$ (ou par les lignes).

• Algorithme : Utiliser les opérations élémentaires sur les lignes (ou les colonnes) qui préservent le rang pour amener la matrice $A$ sous forme échelonnée. Le nombre de lignes non nulles de la matrice échelonnée est égal au rang de $A$.

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⚠️ 4. Pièges classiques & Erreurs à éviter

1. Confusion entre dimension finie et infinie : Appliquer des résultats valables uniquement en dimension finie (comme l’égalité $\text{liberté} \iff \text{génératrice}$ pour un cardinal donné) à des espaces de dimension infinie (par exemple l’espace des polynômes $\mathbb{K}[X]$ ou l’espace des suites).
2. Oubli des hypothèses de dimension finie : Utiliser le théorème de la base incomplète ou la formule de Grassmann sans avoir préalablement établi que les espaces vectoriels considérés sont de dimension finie.
3. Erreur de manipulation sur les dimensions : Écrire $\dim(F \cup G) = \dim(F) + \dim(G)$. C’est faussement général ; la réunion de deux sous-espaces vectoriels n’est pas un sous-espace vectoriel en général (sauf si l’un est inclus dans l’autre). C’est la somme $F + G$ qu’il faut considérer via la formule de Grassmann.
4. Mauvaise caractérisation d’un isomorphisme : Soit $f \in \mathcal{L}(E, F)$ avec $\dim(E) = \dim(F) = n$. Pour démontrer que $f$ est un isomorphisme, il suffit de montrer que $f$ est injective OU surjective. Ne cherchez pas à vérifier les deux conditions simultanément, c’est une perte de temps rédactionnelle et logique.