Cours : Dynamique 3D et Énergétique des solides
Dynamique 3D et Énergétique des solides
Section titled “Dynamique 3D et Énergétique des solides”Filière : PSI (Classes Préparatoires aux Grandes Écoles)
Matière : Sciences Industrielles de l’Ingénieur (SII) — Deuxième année
1. Outils mathématiques et cinématiques fondamentaux
Section titled “1. Outils mathématiques et cinématiques fondamentaux”1.1. Opérateur d’inertie (Matrice d’inertie)
Section titled “1.1. Opérateur d’inertie (Matrice d’inertie)”Soit un solide indéformable. Pour tout point et tout repère , la matrice d’inertie du solide au point est définie par :
A_P & -F_P & -E_P \\ -F_P & B_P & -D_P \\ -E_P & -D_P & C_P \end{pmatrix}_{\mathcal{R}}$$ Les éléments diagonaux sont les **moments d'inertie** : $$A_P = \int_{\mathcal{S}} (y^2 + z^2) dm, \quad B_P = \int_{\mathcal{S}} (x^2 + z^2) dm, \quad C_P = \int_{\mathcal{S}} (x^2 + y^2) dm$$ Les éléments extra-diagonaux sont les **produits d'inertie** : $$D_P = \int_{\mathcal{S}} yz \, dm, \quad E_P = \int_{\mathcal{S}} xz \, dm, \quad F_P = \int_{\mathcal{S}} xy \, dm$$ *(Unités : $\text{kg}\cdot\text{m}^2$)* ### 1.2. Théorème de Huygens-Koenig (Transport de la matrice d'inertie) Soit $G$ le centre de gravité du solide $\mathcal{S}$ de masse $M$. La matrice d'inertie en un point quelconque $P$ s'exprime en fonction de celle en $G$ par la relation : $$\mathbf{I}_P(\mathcal{S}) = \mathbf{I}_G(\mathcal{S}) + M \begin{pmatrix} Y^2 + Z^2 & -XY & -XZ \\ -XY & X^2 + Z^2 & -YZ \\ -XZ & -YZ & X^2 + Y^2 \end{pmatrix}$$ où $\vec{GP} = X\vec{x} + Y\vec{y} + Z\vec{z}$. --- ## 2. Cinétique des solides ### 2.1. Quantité de mouvement (ou résultante cinétique) La résultante cinétique $\vec{R}_c(\mathcal{S}/\mathcal{R}_0)$ du solide $\mathcal{S}$ en mouvement dans le repère galiléen $\mathcal{R}_0$ est : $$\vec{R}_c(\mathcal{S}/\mathcal{R}_0) = \int_{\mathcal{S}} \vec{V}(M/\mathcal{R}_0) dm = M \vec{V}(G/\mathcal{R}_0)$$ ### 2.2. Moment cinétique Le moment cinétique au point $P$ du solide $\mathcal{S}$ en mouvement dans $\mathcal{R}_0$ est défini par : $$\vec{σ}_P(\mathcal{S}/\mathcal{R}_0) = \int_{\mathcal{S}} \vec{PM} \land \vec{V}(M/\mathcal{R}_0) dm$$ * **Propriété de transport :** $$\vec{σ}_P(\mathcal{S}/\mathcal{R}_0) = \vec{σ}_G(\mathcal{S}/\mathcal{R}_0) + \vec{PG} \land \vec{R}_c(\mathcal{S}/\mathcal{R}_0)$$ * **Expression matricielle en $G$ (ou en un point fixe $O$) :** Si $\vec{\Omega}(\mathcal{S}/\mathcal{R}_0) = p\vec{x} + q\vec{y} + r\vec{z}$, alors : $$\vec{σ}_G(\mathcal{S}/\mathcal{R}_0) = \mathbf{I}_G(\mathcal{S}) \cdot \vec{\Omega}(\mathcal{S}/\mathcal{R}_0)$$ --- ## 3. Dynamique générale (Principes Fondamentaux) ### 3.1. Torseur cinétique et torseur dynamique * **Torseur cinétique :** $\mathcal{C}_P(\mathcal{S}/\mathcal{R}_0) = \left\{ \begin{array}{c} \vec{R}_c(\mathcal{S}/\mathcal{R}_0) \\ \vec{σ}_P(\mathcal{S}/\mathcal{R}_0) \end{array} \right\}_P$ * **Torseur dynamique :** $\mathcal{D}_P(\mathcal{S}/\mathcal{R}_0) = \left\{ \begin{array}{c} \vec{R}_d(\mathcal{S}/\mathcal{R}_0) \\ \vec{δ}_P(\mathcal{S}/\mathcal{R}_0) \end{array} \right\}_P = \frac{d}{dt}\left[ \mathcal{C}_P(\mathcal{S}/\mathcal{R}_0) \right]_{\mathcal{R}_0}$ La résultante dynamique vaut : $$\vec{R}_d(\mathcal{S}/\mathcal{R}_0) = \frac{d\vec{R}_c}{dt}\Big|_{\mathcal{R}_0} = M \vec{γ}(G/\mathcal{R}_0)$$ Le moment dynamique au point $P$ vaut : $$\vec{δ}_P(\mathcal{S}/\mathcal{R}_0) = \frac{d\vec{σ}_P}{dt}\Big|_{\mathcal{R}_0} + \vec{V}(P/\mathcal{R}_0) \land \vec{R}_c(\mathcal{S}/\mathcal{R}_0)$$ ### 3.2. Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) Dans un repère galiléen $\mathcal{R}_0$, le PFD appliqué à un solide $\mathcal{S}$ s'exprime sous forme de l'égalité de torseurs : $$\mathcal{D}_(\mathcal{S}/\mathcal{R}_0) = \mathcal{T}_{\text{ext}\to\mathcal{S}}$$ Soit sous forme vectorielle (avec $P$ fixe dans $\mathcal{R}_0$ ou $P = G$) : $$\begin{cases} \vec{R}_d(\mathcal{S}/\mathcal{R}_0) = \vec{F}_{\text{ext}} \\ \vec{δ}_P(\mathcal{S}/\mathcal{R}_0) = \vec{\mathcal{M}}_P(\text{ext}\to\mathcal{S}) \end{cases}$$ --- ## 4. Énergétique des solides ### 4.1. Énergie cinétique L'énergie cinétique galiléenne de $\mathcal{S}$ se calcule via le théorème de König : $$E_c(\mathcal{S}/\mathcal{R}_0) = \frac{1}{2} M V(G/\mathcal{R}_0)^2 + \frac{1}{2} \vec{\Omega}(\mathcal{S}/\mathcal{R}_0) \cdot \vec{σ}_G(\mathcal{S}/\mathcal{R}_0)$$ En écriture indicielle (si $G$ est centre d'inertie principal d'inertie) : $$E_c(\mathcal{S}/\mathcal{R}_0) = \frac{1}{2} M V(G/\mathcal{R}_0)^2 + \frac{1}{2} \left( A p^2 + B q^2 + C r^2 \right)$$ ### 4.2. Puissance des efforts extérieurs et intérieurs * **Puissance extérieure :** $\mathcal{P}(\text{ext}\to\mathcal{S}) = \{ \mathcal{T}_{\text{ext}\to\mathcal{S}} \} \otimes \{ \mathcal{V}(\mathcal{S}/\mathcal{R}_0) \} = \vec{R}(\text{ext}\to\mathcal{S}) \cdot \vec{V}(P/\mathcal{R}_0) + \vec{\mathcal{M}}_P(\text{ext}\to\mathcal{S}) \cdot \vec{\Omega}(\mathcal{S}/\mathcal{R}_0)$ * **Puissance intérieure :** Pour un système fermé indéformable, $\mathcal{P}(\text{int}) = 0$ (les liaisons parfaites ne dissipent ni ne créent de puissance). ### 4.3. Théorème de l'Énergie Cinetique (TEC) Pour un solide $\mathcal{S}$ en mouvement dans un repère galiléen $\mathcal{R}_0$ : $$\frac{d E_c(\mathcal{S}/\mathcal{R}_0)}{dt} = \mathcal{P}(\text{ext}\to\mathcal{S}) + \mathcal{P}_{\text{nc}}(\mathcal{S})$$ où $\mathcal{P}_{\text{nc}}$ représente la puissance des forces non conservatives si le système est ouvert ou si l'on isole des sous-systèmes. Si le système est conservatif (forces découlant d'un potentiel $E_p$), alors $\mathcal{P}(\text{ext}) = -\frac{dE_p}{dt}$, ce qui conduit à : $$\frac{d}{dt}\left( E_c + E_p \right) = 0 \implies E_c + E_p = \text{Corte}$$ --- ## 5. Méthode et conseils pour les concours (PSI) 1. **Choix de la méthode :** * Dès qu'on cherche une **accélération** ou une **liaison avec frottement**, privilégier le **PFD**. * Dès qu'on cherche une **loi de mouvement** scalarisée (système à un seul degré de liberté), privilégier le **TEC** (évite de projeter les torseurs et d'éliminer les efforts de liaison). 2. **Utilisation judicieuse des points de projection :** * Pour le PFD en rotation, projeter au point $G$ ou sur un axe fixe permet d'annuler des termes de transport complexes. * Toujours rechercher les **symétries du solide** pour simplifier la matrice d'inertie (si $Gxy$ est plan de symétrie, $D=E=0$).