Optimisation au concours : Mathématiques MP/MP*

🎯 Objectif du module & Exigences des Jurys

En tant que concepteur de sujets et président de jury de concours (Mines-Ponts, Centrale-Supélec, X-ENS), je constate chaque année les mêmes failles dans les copies des candidats de la filière MP. Une excellente note ne s’obtient pas seulement par le résultat, mais par la rigueur absolue de la rédaction, la maîtrise des hypothèses de théorèmes et la structuration logique.

Ce guide a pour but de vous former aux standards d’exigence des corrections. Chaque question type est décortiquée selon les attentes précises du barème officiel.

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📌 Question Type 1 : Étude de la continuité et dérivation d’une intégrale à paramètre sur un intervalle quelconque

💡 Méthode canonique & Étapes de rédaction

Pour une fonction $F(x) = \int_I f(x, t) \text{d}t$ où $I$ n’est pas nécessairement un segment :

1. Continuité (Théorème de continuité des intégrales à paramètre - Domination locale) :

   • Pour tout $x \in A$, la fonction $t \mapsto f(x, t)$ est continue (ou mesurable/continue par morceaux) sur $I$.
   • Pour tout $t \in I$, la fonction $x \mapsto f(x, t)$ est continue sur $A$.
   • Hypothèse de domination : Il existe une fonction $\varphi : I \to \mathbb{R}_+$ intégrable sur $I$ (indépendante de $x$) telle que pour tout $x \in A$ et tout $t \in I$, $|f(x, t)| \le \varphi(t)$.
   • Conclusion : $F$ est continue sur $A$. (Pour un intervalle quelconque, penser à la domination sur tout compact).

2. Dérivation (Théorème de Leibniz - Continuité + Domination de la dérivée) :

   • $t \mapsto f(x, t)$ est intégrable sur $I$ pour tout $x$.
   • Pour tout $t \in I$, $x \mapsto f(x, t)$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $A$.
   • La dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial x}$ est continue sur $A \times I$.
   • Domination de la dérivée : Il existe $\psi : I \to \mathbb{R}_+$ intégrable sur $I$ telle que pour tout $x \in A$ et tout $t \in I$, $\left|\frac{\partial f}{\partial x}(x, t)\right| \le \psi(t)$.
   • Conclusion : $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $A$ et $F'(x) = \int_I \frac{\partial f}{\partial x}(x, t) \text{d}t$.

📋 Exemple de sujet & Rédaction modèle type Concours

Sujet: ** Soit $F(x) = \int_0^{+\infty} e^{-xt} \frac{\sin(t)}{t} \text{d}t$ pour $x > 0$. Montrer que $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]0, +\infty[$.

Rédaction modèle type /20 :

Posons, pour $(x, t) \in ]0, +\infty[ \times ]0, +\infty[$, $f(x, t) = e^{-xt} \frac{\sin(t)}{t}$ (et $f(x, 0) = 1$ par prolongement par continuité).

1. Intégrabilité : Pour tout $x > 0$, la fonction $t \mapsto f(x, t)$ est continue et $\left|f(x, t)\right| \le e^{-xt}$ au voisinage de $+\infty$ (car $|\sin(t)| \le 1$ et $\frac{1}{t}$ est borné ou par négligeabilité). De plus, $t \mapsto e^{-xt}$ est intégrable sur $]0, +\infty[$ puisque $x > 0$. Ainsi, $F(x)$ est bien définie pour tout $x > 0$.
2. Dérivabilité par rapport à $x$ : Pour tout $t \in [0, +\infty[$, la fonction $x \mapsto f(x, t)$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]0, +\infty[$ et $\frac{\partial f}{\partial x}(x, t) = -e^{-xt} \sin(t)$.
3. Continuité de la dérivée partielle : La fonction $(x, t) \mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x, t)$ est continue sur $]0, +\infty[ \times [0, +\infty[$.
4. Domination locale : Soit $[a, b]$ un intervalle compact inclus dans $]0, +\infty[$ (avec $a > 0$). Pour tout $x \in [a, b]$ et tout $t \ge 0$ : $\left|\frac{\partial f}{\partial x}(x, t)\right| = e^{-xt}|\sin(t)| \le e^{-at}$ La fonction $\psi : t \mapsto e^{-at}$ est indépendante de $x$, continue par morceaux et intégrable sur $[0, +\infty[$ car $a > 0$.

Par le théorème de dérivation des intégrales à paramètre (version domination locale), $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur tout compact de $]0, +\infty[$, donc sur $]0, +\infty[$, et pour tout $x > 0$ : $F'(x) = \int_0^{+\infty} -e^{-xt} \sin(t) \text{d}t$

⚠️ Les pièges majeurs soulignés dans les rapports de jury

• Oublier de préciser que la domination doit valoir pour tout $x$ de l’intervalle considéré.
• Appliquer un théorème global sur un intervalle ouvert sans passer par les compacts (domination locale).
• Ne pas vérifier l’intégrabilité de la fonction de base avant de chercher à dériver.

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📌 Question Type 2 : Diagonalisation orthogonale d’une matrice symétrique réelle et étude de forme quadratique

💡 Méthode canonique & Étapes de rédaction

1. Nature de la matrice : Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $A = ^tA$. D’après le théorème spectral, $A$ est diagonalisable dans une base orthonormée (BON) de $\mathbb{R}^n$.
2. Recherche des valeurs propres : Calculer le polynôme caractéristique $\chi_A(\lambda) = \det(\lambda I_n - A)$, factoriser et déterminer les sous-espaces propres $E_\lambda(A)$.
3. Orthogonalnalisation (si dimensions $> 1$) : Appliquer le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt sur chaque base de sous-espace propre si nécessaire, ou utiliser le fait que les sous-espaces propres d’une matrice symétrique sont naturellement orthogonaux entre eux pour des valeurs propres distinctes.
4. Forme quadratique : Si $q(X) = ^tXAX$, la réduction s’écrit $q(X) = \sum_{i=1}^n \lambda_i Y_i^2$ dans la BON de diagonalisation, où $Y = P^{-1}X = ^tPX$ (avec $P$ orthogonale, donc $^tPP = I_n$).

📋 Exemple de sujet & Rédaction modèle type Concours

Sujet: ** Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$. Diagonaliser $A$ dans une base orthonormée et donner l’expression de la forme quadratique associée dans cette base.

Rédaction modèle type /20 :

La matrice $A$ est symétrique réelle ($A = ^tA$). D’après le théorème spectral, $A$ est diagonalisable dans une base orthonormée de $\mathbb{R}^3$.

1. Polynôme caractéristique : $\chi_A(\lambda) = \det(\lambda I_3 - A) = (\lambda - 1)^2 (\lambda - 4)$ Les valeurs propres de $A$ sont $\lambda_1 = 1$ (de multiplicité $2$) et $\lambda_2 = 4$ (simple).
2. Sous-espaces propres :
   • Pour $\lambda_2 = 4$ : $E_4(A) = \ker(4I_3 - A)$. En résolvant le système, on trouve un vecteur générateur unitaire : $e_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
   • Pour $\lambda_1 = 1$ : $E_1(A) = \ker(I_3 - A)$, qui est le plan d’équation $x + y + z = 0$. On choisit une base de ce plan, par exemple $u_1 = (1, -1, 0)$ et $u_2 = (1, 0, -1)$, qui ne sont pas orthogonaux. Appliquons Gram-Schmidt : $v_1 = u_1 = (1, -1, 0)$. $v_2 = u_2 - \frac{\langle u_2, v_1 \rangle}{\|v_1\|^2}v_1 = (1, 0, -1) - \frac{1}{2}(1, -1, 0) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -1\right)$. En normalisant $v_1$ et $v_2$, on obtient : $e_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad e_3 = \frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$
3. Conclusion spectrale : La famille $\mathcal{B} = (e_1, e_2, e_3)$ forme une base orthonormée de $\mathbb{R}^3$ constituée de vecteurs propres de $A$. Si $P$ est la matrice de passage de la base canonique à $\mathcal{B}$, $P$ est orthogonale et $^tPAP = \text{diag}(4, 1, 1)$.
4. Forme quadratique : Dans les nouvelles coordonnées $Y = ^tPX = \begin{pmatrix} Y_1 \\ Y_2 \\ Y_3 \end{pmatrix}$, la forme quadratique s’écrit : $q(X) = ^tXAX = 4Y_1^2 + Y_2^2 + Y_3^2$

⚠️ Les pièges majeurs soulignés dans les rapports de jury

• Oublier de vérifier l’orthogonalité des vecteurs propres issus d’un même sous-espace propre multiple (le th. spectral garantit l’orthogonalité pour des VPs distinctes, mais pour un sous-espace de dimension $\ge 2$, il faut orthogonaliser explicitement).
• Ne pas préciser que la matrice de passage $P$ est orthogonale ($^tPP = I_n$), ce qui simplifie grandement les calculs d’inversion.

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📌 Question Type 3 : Calcul du rayon de convergence et de la somme d’une série entière via équation différentielle

💡 Méthode canonique & Étapes de rédaction

1. Rayon de convergence ($R$) : Utiliser la règle de d’Alembert ($\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}$), le critère de Cauchy, ou comparer avec une série connue si le coefficient $a_n$ est complexe.
2. Propriétés de la somme : Notons $S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$. Par le théorème de Abel, la somme est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $]-R, R[$.
3. Mise en équation : Dériver terme à terme (ou multiplier par $x$, $x^2$, etc.) pour faire apparaître une relation de récurrence sur les coefficients $a_n$, ce qui se traduit par une équation différentielle linéaire vérifiée par $S(x)$ sur $]-R, R[$.
4. Résolution de l’ED : Résoudre l’ED sur $]-R, R[$ en tenant compte des conditions initiales (souvent $S(0) = a_0$ et $S'(0) = a_1$).

📋 Exemple de sujet & Rédaction modèle type Concours

Sujet: ** Déterminer le rayon de convergence et exprimer sous forme de fonction usuelle la somme de la série entière $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n(n+1)}$.

Rédaction modèle type /20 :

1. Rayon de convergence : Posons $a_n = \frac{1}{n(n+1)}$ pour $n \ge 1$. $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{n(n+1)}{(n+1)(n+2)} = \frac{n}{n+2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1$ D’après la règle de d’Alembert, le rayon de convergence de la série entière est $R = 1$.
2. Régularité et manipulation de la somme : Soit $S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n(n+1)}$ pour $x \in ]-1, 1[$. Pour tout $x \in ]-1, 1[\setminus\{0\}$, écrivons $S(x)$ en faisant apparaître une décomposition en éléments simples : $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ Ainsi : $S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n} - \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n+1}$ Alternative par équation différentielle (exigée si la décomposition directe n’est pas évidente) : Considérons $f(x) = x S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$. Dérivons deux fois sur $]-1, 1[$ : $f'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n} \implies f''(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} x^{n-1} = \sum_{k=0}^{+\infty} x^k = \frac{1}{1-x}$
3. Résolution : Par intégrations successives avec $f(0) = 0$ et $f'(0) = 0$ : $f'(x) = \int_0^x \frac{\text{d}t}{1-t} = -\ln(1-x)$ $f(x) = \int_0^x -\ln(1-t)\text{d}t = (1-x)\ln(1-x) + x$ (en effectuant une intégration par parties).
4. Expression finale : Pour $x \in ]-1, 1[\setminus\{0\}$ : $S(x) = \frac{f(x)}{x} = \frac{(1-x)\ln(1-x)}{x} + 1$ Et pour $x = 0$, $S(0) = 0$, ce qui prolonge continûment la formule (car $\frac{(1-x)\ln(1-x)}{x} \xrightarrow[x \to 0]{} 0$).

⚠️ Les pièges majeurs soulignés dans les rapports de jury

• Oublier de traiter le cas $x = 0$ lors de la division par $x$ pour retrouver $S(x)$.
• Ne pas vérifier les conditions initiales ($S(0)$ et $S'(0)$) lors de la résolution de l’équation différentielle, ce qui conduit à une constante d’intégration erronée.
• Confondre le domaine d’étude de l’ED et le rayon de convergence.