Exercice 1 : Fonction de transfert et schémas-blocs

🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude

Les systèmes asservis continus et linéaires sont omniprésents dans l’industrie pour réguler des grandeurs physiques (vitesse, position, température). Ce problème s’intéresse à la modélisation et à l’analyse dynamique d’un système électromécanique asservi en position, tel qu’on le rencontre dans les axes d’usinage des machines-outils à commande numérique.

Le système étudié est constitué de :

1. D’un amplificateur de tension de gain $K_a$ ($\text{V}\cdot\text{V}^{-1}$).
2. D’un moteur à courant continu (MCC) à aimants permanents. La tension aux bornes de l’induit est $u(t)$, le courant d’induit est $i(t)$, et la vitesse de rotation de l’arbre est $\omega(t)$. On négligera l’inductance de l’induit devant sa résistance $R$. Le couple moteur est $C_m(t) = K_m i(t)$ et la f.é.m. est $e(t) = K_e \omega(t)$. Les constantes $K_m$ et $K_e sont égales à une même constante$K$ dans le système d’unités internationales.
3. D’un réducteur mécanique parfait de rapport de réduction $k_r = \frac{\theta_s(t)}{\theta_m(t)}$, où $\theta_m(t)$ est la position de l’arbre moteur et $\theta_s(t)$ la position de la charge en sortie.
4. D’une charge mécanique inertielle et visqueuse, caractérisée par un moment d’inertie ramené sur l’arbre moteur $J$ et un coefficient de frottement visqueux $f$. Le couple perturbateur extérieur est noté $C_p(t)$.

L’objectif est d’établir la fonction de transfert en boucle ouverte, puis en boucle fermée du système asservi en position, et d’étudier sa dynamique temporelle et fréquentielle.

---

❓ Questions progressives (incluant une analyse critique du modèle)

1. Modélisation du moteur et de la charge En écrivant les équations électriques et mécaniques du système dans le domaine temporel, déterminer les relations liant $U(p)$, $I(p)$, $\Omega(p)$ et $C_m(p)$ en notation de Laplace (conditions initiales nulles). En déduire la fonction de transfert $H_m(p) = \frac{\Omega(p)}{U(p)}$ sous réserve que le couple perturbateur $C_p(p)$ soit nul.

2. Schéma-blocs élémentaire Exprimer $H_m(p)$ sous la forme canonique d’un système du premier ordre (ou d’un second ordre selon l’inertie, en justifiant l’approximation) en faisant apparaître un gain statique $K_v$ et une constante de temps $\tau$.

3. Bouclage et fonction de transfert en boucle fermée (FTBF) On associe au moteur un capteur de position de fonction de transfert $H_c(p) = K_c$ ($\text{rad}^{-1}\cdot\text{V}$) et un comparateur. Le correcteur est un simple amplificateur de gain $K_c$. Tracer le schéma-blocs global du système asservi en position avec consigne $\Theta_{con}(p)$, sortie $\Theta_s(p)$ et perturbation $C_p(p)$. Déterminer l’expression de la fonction de transfert en boucle fermée $H_{BF}(p) = \frac{\Theta_s(p)}{\Theta_{con}(p)}$ lorsque $C_p(p) = 0$.

4. Analyse dynamique et performance Mettre $H_{BF}(p)$ sous la forme canonique d’un système du deuxième ordre : $H_{BF}(p) = \frac{K_{bf}}{\frac{p^2}{\omega_0^2} + \frac{2z}{\omega_0}p + 1}$ Identifier l’expression de la pulsation propre non amortie $\omega_0$ et du facteur d’amortissement $z$ en fonction des paramètres du système.

5. Analyse critique du modèle Le modèle linéaire invariant (SLI) utilisé néglige l’inductance $L$ de l’induit du moteur, les frottements secs et les jeux mécaniques dans le réducteur. Discuter brièvement de l’impact de l’oubli de l’inductance $L$ sur la validité du modèle à haute fréquence.

---

💡 Pistes & Indications méthodologiques

• Question 1 : Écrire la loi des mailles pour l’induit ($U = RI + E$) et le principe fondamental de la dynamique en rotation pour l’ensemble moteur + charge ($J \frac{d\omega}{dt} = C_m - f\omega - C_p$). Appliquer la transformation de Laplace avec des conditions initiales nulles.
• Question 2 : Mettre l’expression obtenue sous la forme $K / (1 + \tau p)$ en identifiant clairement $K$ et $\tau$.
• Question 3 : Rappeler la formule de Mason ou faire la réduction pas à pas du schéma-blocs. Attention à bien propager le réducteur $k_r$ entre la vitesse/position moteur et la position de sortie.
• Question 4 : Par identification polynomiale entre le dénominateur de la FTBF calculée et le polynôme caractéristique canonique $1 + \frac{2z}{\omega_0}p + \frac{p^2}{\omega_0^2}$.

---

📋 Corrigé détaillé pas à pas

1. Modélisation du moteur et de la charge

Les équations régissant le comportement du moteur à courant continu et de la charge sont :

• Loi électrique dans l’induit : $u(t) = R \cdot i(t) + e(t)$ Avec $e(t) = K \cdot \omega(t)$. En transformée de Laplace : $U(p) = R \cdot I(p) + K \cdot \Omega(p)$

• Équation mécanique (P.F.D. en rotation sur l’arbre) : $J \frac{d\omega(t)}{dt} = C_m(t) - f \cdot \omega(t) - c_p(t)$ Avec $C_m(t) = K \cdot i(t)$. En transformée de Laplace : $J p \Omega(p) = K \cdot I(p) - f \cdot \Omega(p) - C_p(p)$

En exprimant $I(p)$ à partir de l’équation électrique : $I(p) = \frac{U(p) - K \cdot \Omega(p)}{R}$

Que l’on réinjecte dans l’équation mécanique (en posant $C_p(p) = 0$) : $J p \Omega(p) = K \left( \frac{U(p) - K \cdot \Omega(p)}{R} \right) - f \cdot \Omega(p)$

$\left( (f + \frac{K^2}{R}) + J p \right) \Omega(p) = \frac{K}{R} U(p)$

On en déduit la fonction de transfert $H_m(p) = \frac{\Omega(p)}{U(p)}$ : $H_m(p) = \frac{\frac{K}{R(f + \frac{K^2}{R})}}{1 + \frac{J}{f + \frac{K^2}{R}} p} = \frac{K_m}{1 + \tau_m p}$

Avec :

• Le gain statique du moteur : $K_m = \frac{K}{R \cdot f + K^2}$ ($\text{rad}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{V}^{-1}$)
• La constante de temps électromécanique : $\tau_m = \frac{J \cdot R}{R \cdot f + K^2}$ ($\text{s}$)

2. Passage de la vitesse à la position

La vitesse de rotation de l’arbre moteur est $\omega_m(t) = \frac{d\theta_m(t)}{dt}$, soit en Laplace $\Omega_m(p) = p \Theta_m(p)$. La position de sortie est $\theta_s(t) = k_r \theta_m(t)$, soit $\Theta_s(p) = k_r \Theta_m(p)$. La fonction de transfert globale du bloc moteur-charge reliant la tension $U(p)$ à la position de sortie $\Theta_s(p)$ (sans perturbation) est donc : $H_{tot}(p) = \frac{\Theta_s(p)}{U(p)} = k_r \cdot \frac{1}{p} \cdot H_m(p) = \frac{k_r K_m}{p(1 + \tau_m p)}$ C’est un système de type 1 (présence d’un intégrateur pur $1/p$).

3. Bouclage et fonction de transfert en boucle fermée (FTBF)

Le système est asservi : la consigne $\Theta_{con}(p)$ est comparée à la mesure $\Theta_{mes}(p) = H_c(p)\Theta_s(p) = K_c \Theta_s(p)$. L’écart est $E(p) = \Theta_{con}(p) - K_c \Theta_s(p)$. Cet écart est amplifié par le correcteur $K_a$ pour donner la tension de commande : $U(p) = K_a E(p)$.

La fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO) est : $\text{FTBO}(p) = \frac{K_a k_r K_m K_c}{p(1 + \tau_m p)}$

La fonction de transfert en boucle fermée $H_{BF}(p) = \frac{\Theta_s(p)}{\Theta_{con}(p)}$ s’obtient par la formule de Black : $H_{BF}(p) = \frac{\frac{\text{FTBO}(p)}{K_c}}{1 + \text{FTBO}(p)} = \frac{\frac{K_a k_r K_m}{p(1 + \tau_m p)}}{1 + \frac{K_a k_r K_m K_c}{p(1 + \tau_m p)}} = \frac{K_a k_r K_m}{p(1 + \tau_m p) + K_a k_r K_m K_c}$

En développant le dénominateur : $H_{BF}(p) = \frac{K_a k_r K_m}{\tau_m p^2 + p + K_a k_r K_m K_c}$

4. Analyse dynamique et performance

Mettons $H_{BF}(p)$ sous la forme canonique d’un second ordre : $H_{BF}(p) = \frac{\frac{1}{K_c}}{\frac{\tau_m}{K_a k_r K_m K_c} p^2 + \frac{1}{K_a k_r K_m K_c} p + 1}$

Par identification avec la forme canonique $H(p) = \frac{K_{bf}}{\frac{p^2}{\omega_0^2} + \frac{2z}{\omega_0}p + 1}$ :

• Le gain statique en boucle fermée : $K_{bf} = \frac{1}{K_c}$
• La pulsation propre non amortie $\omega_0$ : $\frac{1}{\omega_0^2} = \frac{\tau_m}{K_a k_r K_m K_c} \implies \omega_0 = \sqrt{\frac{K_a k_r K_m K_c}{\tau_m}}$
• Le facteur d’amortissement $z$ : $\frac{2z}{\omega_0} = \frac{1}{K_a k_r K_m K_c} \implies z = \frac{1}{2 \sqrt{K_a k_r K_m K_c \tau_m}}$

5. Analyse critique du modèle

Hypothèse négligée : L’inductance de l’induit $L$ a été supposée nulle ($\tau_e = L/R \approx 0$). Conséquence physique : En réalité, l’équation électrique s’écrit $U(p) = (R + L p)I(p) + E(p)$. Introduire $L$ rajoute un pôle supplémentaire dans la fonction de transfert du moteur, transformant le modèle du premier ordre en un modèle du deuxième ordre. Impact à haute fréquence : À haute fréquence, l’impédance de l’inductance $L\omega$ devient non négligeable devant $R$. Le déphasage introduit par ce pôle supplémentaire réduit les marges de stabilité (marge de phase). Négliger $L$ conduit donc à surestimer la stabilité du système et à obtenir un système réel potentiellement plus oscillant, voire instable, que ne le prévoient les calculs théoriques ci-dessus si le gain $K_a$ est élevé.