Cours : Physique quantique et dualité onde-corpuscule

📌 1. Définitions & Cadre d’étude

Le passage de la physique classique à la physique quantique s’impose pour rendre compte des phénomènes à l’échelle microscopique, où les grandeurs corpusculaires et ondulatoires se rejoignent.

• Dualité onde-corpuscule : Tout objet physique possède simultanément des aspects corpusculaires (énergie $E$, impulsion $\vec{p}$) et ondulatoires (fréquence $\nu$, vecteur d’onde $\vec{k}$).
• Relations de de Broglie : Pour une particule libre de pulsation $\omega$ et de vecteur d’onde $\vec{k}$, associées à une onde de matière : $\begin{cases} E = \hbar \omega \\ \vec{p} = \hbar \vec{k} \end{cases}$ avec $\hbar = \frac{h}{2\pi}$ (constante de Planck réduite). La longueur d’onde associée est $\lambda = \frac{h}{\|\vec{p}\|}$.
• Vecteur d’état et espace de Hilbert : L’état d’un système quantique à un instant $t$ est décrit par un vecteur $|\psi(t)\rangle$ appartenant à un espace de Hilbert complexe $\mathcal{H}$ muni d’un produit scalaire.
• Fonction d’onde : Représentation dans la base des positions $\vec{r}$, notée $\psi(\vec{r}, t) = \langle \vec{r} | \psi(t) \rangle$. La probabilité de trouver la particule dans un volume $d\mathcal{V}$ autour de $\vec{r}$ à l’instant $t$ est donnée par : $\mathcal{P}(\vec{r}, t) d\mathcal{V} = |\psi(\vec{r}, t)|^2 d\mathcal{V}$ La condition de normalisation impose : $\int_{\mathbb{R}^3} |\psi(\vec{r}, t)|^3 d\mathcal{V} = 1$
• Observables et Opérateurs : Toute grandeur physique mesurable est représentée par un opérateur linéaire hermitien $\hat{A}$ agissant sur $\mathcal{H}$.

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📐 2. Théorèmes fondamentaux & Démonstrations clés

Postulat d’association des opérateurs (Quantification canonique)

Aux coordonnées cartésiennes de position $\hat{x}$ et d’impulsion $\hat{p}_x$, on associe les opérateurs agissant sur les fonctions d’onde $\psi(x)$ : $\hat{x} \psi(x) = x \psi(x), \quad \hat{p}_x \psi(x) = -i \hbar \frac{\partial}{\partial x} \psi(x)$

Démonstration : Relation de commutation canonique $[\hat{x}, \hat{p}_x]$

Objectif: Établir le commutateur fondamental de la mécanique quantique.*

Soit une fonction test $\psi(x)$ suffisamment régulières. Calculons l’action du commutateur $[\hat{x}, \hat{p}_x] = \hat{x}\hat{p}_x - \hat{p}_x\hat{x}$ sur $\psi(x)$ :

$[\hat{x}, \hat{p}_x] \psi(x) = \hat{x} \left( -i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial x} \right) - \left( -i \hbar \frac{\partial}{\partial x} (\hat{x} \psi) \right)$

En appliquant la règle de Leibniz pour la dérivation du produit : $-i \hbar x \frac{\partial \psi}{\partial x} + i \hbar \left( 1 \cdot \psi + x \frac{\partial \psi}{\partial x} \right) = -i \hbar x \frac{\partial \psi}{\partial x} + i \hbar \psi + i \hbar x \frac{\partial \psi}{\partial x}$

En simplifiant les termes opposés : $[\hat{x}, \hat{p}_x] \psi(x) = i \hbar \psi(x)$

Puisque cette relation est vraie pour toute fonction test $\psi(x)$, on en déduit l’égalité d’opérateurs : $\boxed{[\hat{x}, \hat{p}_x] = i \hbar \hat{id}}$

Équation de Schrödinger dépendante du temps

L’évolution temporelle du vecteur d’état $|\psi(t)\rangle$ est régie par l’équation fondamentale : $i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi(t)\rangle = \hat{H} |\psi(t)\rangle$ où $\hat{H}$ est l’opérateur hamiltonien du système, représentant l’énergie totale.

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💡 3. Méthodes de calcul & Algorithmes

Pour résoudre un problème de physique quantique en dimension 1 (coordonnée $x$), la méthode standard se décompose ainsi :

1. Établissement du Hamiltonien : Exprimer l’énergie classique du système $H(x, p) = \frac{p^2}{2m} + V(x)$, puis substituer les grandeurs par leurs opérateurs associés pour obtenir $\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x)\hat{id}$.
2. Recherche des états stationnaires : Poser $\psi(x, t) = \varphi(x) e^{-i \frac{E}{\hbar} t}$. L’équation de Schrödinger se ramène à une équation aux valeurs propres (équation de Schrödinger indépendante du temps) : $\hat{H} \varphi(x) = E \varphi(x) \iff -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \varphi}{dx^2} + V(x)\varphi(x) = E\varphi(x)$
3. Résolution mathématique :
   • Identifier les zones de l’espace selon le signe de $E - V(x)$.
   • Résoudre l’équation différentielle linéaire du second ordre.
4. Application des conditions aux limites :
   • Continuité de la fonction d’onde $\varphi(x)$ et de sa dérivée $\frac{d\varphi}{dx}$ (si le potentiel $V(x)$ ne présente pas de singularité infinie).
   • Condition de carré-intégrabilité (normalisation $\int |\varphi(x)|^2 dx = 1$).

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⚠️ 4. Pièges classiques aux Concours

• Oubli de la normalisation : Ne jamais oublier de normaliser la fonction d’onde initiale. Une probabilité totale doit impérativement valoir $1$.
• Confusion entre $\psi(x,t)$ et $\varphi(x)$ : L’équation de Schrödinger indépendante du temps ne s’applique que pour des états stationnaires (énergies bien définies). Pour une superposition d’états propres d’énergie, l’évolution temporelle générale est $\psi(x,t) = \sum_n c_n \varphi_n(x) e^{-i \frac{E_n}{\hbar} t}$.
• Mauvaise manipulation des unités en calcul littéral : Vérifier systématiquement l’homogénéité des expressions en utilisant $[ \hat{H} ] = \text{J}$, $[ \hbar ] = \text{J}\cdot\text{s}$, et $[ x ] = \text{m}$.
• Conditions aux limites sur la dérivée : Si le potentiel $V(x)$ contient un terme en $\delta$ de Dirac (puits ou barrière de Dirac), la fonction d’onde reste continue, mais sa dérivée présente une discontinuité qu’il faut calculer en intégrant l’équation de Schrödinger au voisinage du point de discontinuité.