Exercice 1 : Correcteurs PI, PD, PID

🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude

On s’intéresse à l’asservissement en position d’un axe vertical d’un robot manipulateur industriel, utilisé dans le cadre d’une chaîne de production automatisée. Le schéma bloc du système asservi est donné par une boucle de retour unité ( $H(p) = 1$ ).

L’actionneur et la charge mécanique sont modélisés par une fonction de transfert du premier ordre avec un temps de réponse caractéristique : $G(p) = \frac{K}{\tau p + 1}$ où :

$K = 2\, \text{V}^{-1}\cdot\text{rad}$ (gain statique du procédé).
$\tau = 0{,}1\, \text{s}$ (constante de temps).

L’objectif de l’étude est de comparer les performances du système en boucle fermée selon le type de correcteur $C(p)$ utilisé : proportionnel simple (P), proportionnel-intégrateur (PI), proportionnel-dérivé (PD) ou PID. Le cahier des charges impose une erreur statique nulle pour une entrée en échelon, et une amélioration de la rapidité et de la stabilité par rapport au correcteur P.

❓ Questions progressives

Étude du système non corrigé (Correcteur P)
- On choisit un correcteur purement proportionnel : $C(p) = K_p$ .
- Exprimer la fonction de transfert en boucle fermée $F_{\text{BF}}(p)$ du système.
- Déterminer l’erreur statique $\varepsilon_s$ pour une consigne en échelon d’amplitude $E_0$ .
- Quelle valeur minimale de $K_p$ faut-il choisir pour garantir une erreur statique inférieure à $5\%$ ? Quel est l’inconvénient majeur d’une augmentation excessive de $K_p$ sur un système réel ?
Apport d’un correcteur Proportionnel-Intégrateur (PI)
- Afin d’annuler l’erreur statique sans pour autant augmenter excessivement le gain proportionnel, on adopte un correcteur PI de la forme : $C(p) = K_p \left(1 + \frac{1}{T_i p}\right)$ .
- Exprimer la fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO) du système corrigé. Quel est l’ordre du système en boucle ouverte ? Quelle est sa nouvelle classe ? En déduire l’impact sur l’erreur statique pour une entrée en échelon.
- On choisit d’annuler le pôle dominant du procédé en posant $T_i = \tau$ . Exprimer alors la fonction de transfert en boucle fermée $F_{\text{BF, PI}}(p)$ .
- Déterminer l’expression du temps de réponse à $5\%$ de ce système en fonction de $K_p$ , $K$ et $\tau$ . Conclure sur l’intérêt de ce réglage (technique de compensation de pôle).
Apport d’un correcteur Proportionnel-Dérivé (PD)
- Pour améliorer la rapidité et l’amortissement du système, on utilise maintenant un correcteur PD sous la forme : $C(p) = K_p (1 + T_d p)$ , où $T_d$ est le temps d’action dérivée.
- Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée $F_{\text{BF, PD}}(p)$ et l’exprimer sous la forme canonique d’un système du second ordre : $F_{\text{BF}}(p) = \frac{K_{\text{BF}}}{\frac{p^2}{\omega_n^2} + \frac{2z}{\omega_n}p + 1}$
- Exprimer la pulsation propre $\omega_n$ et le coefficient d’amortissement $z$ en fonction de $K$ , $\tau$ , $K_p$ et $T_d$ .
- Montrer que le terme dérivé permet d’agir directement sur l’amortissement $z$ sans modifier l’ordre du système en boucle fermée.
Synthèse d’un correcteur PID complet
- On souhaite cumuler les avantages des deux actions précédentes en utilisant un correcteur PID idéal : $C(p) = K_p \left(1 + \frac{1}{T_i p} + T_d p\right)$
- Écrire la fonction de transfert en boucle ouverte. Préciser la classe du système et la valeur de l’erreur statique pour un échelon.
- Proposer une stratégie de réglage (paramétrage) pour simplifier l’analyse de la boucle fermée, en s’inspirant des questions précédentes.

💡 Pistes & Indications méthodologiques

Rappel de cours indispensable : L’erreur statique se calcule via le théorème de la valeur finale (pour une entrée échelon) ou directement en fonction de la classe du système $FTBO(p) = \frac{N(p)}{p^\alpha D(p)}$ .
Compensation de pôle : Lorsque le numérateur d’un correcteur contient un terme qui s’annule avec un pôle de la chaîne directe (le procédé), cela simplifie l’expression mathématique mais nécessite une attention particulière sur la robustesse en pratique (modélisation exacte).
Identification canonique : Identifiez toujours par identification terme à terme les coefficients du dénominateur du second ordre avec $\frac{1}{\omega_n^2}p^2 + \frac{2z}{\omega_n}p + 1$ .

📋 Corrigé détaillé pas à pas

1. Étude du système non corrigé (Correcteur P)

La FTBO est : $\text{FTBO}(p) = C(p)G(p)H(p) = \frac{K_p K}{\tau p + 1}$ .
La fonction de transfert en boucle fermée est : $F_{\text{BF}}(p) = \frac{\text{FTBO}(p)}{1 + \text{FTBO}(p)} = \frac{\frac{K_p K}{\tau p + 1}}{1 + \frac{K_p K}{\tau p + 1}} = \frac{K_p K}{\tau p + 1 + K_p K} = \frac{\frac{K_p K}{1 + K_p K}}{\frac{\tau}{1 + K_p K}p + 1}$
Erreur statique pour un échelon d’amplitude $E_0$ : $\varepsilon(p) = \frac{E_0}{p} \left(1 - F_{\text{BF}}(p)\right) \implies \varepsilon_s = \lim_{p\to 0} p \cdot \varepsilon(p) = E_0 \left(1 - \frac{K_p K}{1 + K_p K}\right) = \frac{E_0}{1 + K_p K}$
Condition sur $K_p$ : $\frac{\varepsilon_s}{E_0} = \frac{1}{1 + 2K_p} \le 0{,}05 \implies 1 + 2K_p \ge 20 \implies K_p \ge \frac{19}{2} = 9{,}5\, \text{V}\cdot\text{rad}^{-1}$ Inconvénient : Augmenter $K_p$ améliore la précision, mais amplifie le bruit de mesure et risque de saturer la commande (actionneurs réels limités en tension/courant) ou de provoquer des instabilités en présence de retards non modélisés.

2. Apport d’un correcteur Proportionnel-Intégrateur (PI)

$\text{FTBO}(p) = K_p \left(1 + \frac{1}{T_i p}\right) \frac{K}{\tau p + 1} = \frac{K_p K (T_i p + 1)}{T_i p (\tau p + 1)}$ .
Le système en boucle ouverte est d’ordre $2$ et de classe 1 (présence d’un intégrateur pur $p$ au dénominateur).
L’erreur statique pour un échelon est donc nulle ( $\varepsilon_s = 0$ ).
Si on choisit $T_i = \tau$ , le terme $(T_i p + 1)$ au numérateur de la FTBO simplifie le pôle $(\tau p + 1)$ du procédé. La fonction de transfert en boucle ouverte devient : $\text{FTBO}_{\text{simplifiée}}(p) = \frac{K_p K}{\tau p}$
La fonction de transfert en boucle fermée devient alors un système du premier ordre : $F_{\text{BF, PI}}(p) = \frac{\frac{K_p K}{\tau p}}{1 + \frac{K_p K}{\tau p}} = \frac{1}{\frac{\tau}{K_p K}p + 1}$
Le temps de réponse à $5\%$ d’un premier ordre est $t_{r5\%} = 3\tau_{\text{BF}} = \frac{3\tau}{K_p K}$ . Conclusion: Ce réglage permet d’annuler l’erreur statique tout en conservant un comportement de système du premier ordre (pas de dépassement), avec une rapidité ajustable par le gain $K_p$ .

3. Apport d’un correcteur Proportionnel-Dérivé (PD)

$\text{FTBO}(p) = \frac{K_p K (1 + T_d p)}{\tau p + 1}$ .
La fonction de transfert en boucle fermée est : $F_{\text{BF, PD}}(p) = \frac{K_p K (1 + T_d p)}{\tau p + 1 + K_p K (1 + T_d p)} = \frac{K_p K (1 + T_d p)}{(1 + K_p K) + (\tau + K_p K T_d)p}$ Mettons-la sous forme canonique du second ordre en divisant par $(1 + K_p K)$ : $F_{\text{BF, PD}}(p) = \frac{K_{\text{BF}}}{\frac{\tau}{1 + K_p K}p^2 \text{ (erreur d'écriture, c'est un 1er ordre ? Oups, attention !}}$ Rectification rigoureuse : Le correcteur PD en série avec un premier ordre donne un numérateur en $p$ de degré 1, et un dénominateur en $p$ de degré 1… Attends, $1 + \text{FTBO}$ a un dénominateur en $(\tau p + 1)$ , donc le dénominateur de $F_{\text{BF}}$ est $(\tau + K_p K T_d)p + (1 + K_p K)$ , qui reste un premier ordre ! Note d’examinateur : Pour obtenir un second ordre avec un correcteur PD, il faut que le procédé initial soit lui-même au moins du second ordre, ou que l’on considère un système avec un capteur dynamique. Avec un procédé du 1er ordre, le PD n’augmente pas l’ordre mais modifie la constante de temps : $\tau_{\text{BF}} = \frac{\tau + K_p K T_d}{1 + K_p K}$ . Le terme dérivé $T_d$ permet de réduire cette constante de temps et donc d’accélérer le système, au détriment d’une sensibilité accrue aux bruits de haute fréquence.

4. Synthèse d’un correcteur PID complet

$\text{FTBO}(p) = K_p \left(1 + \frac{1}{T_i p} + T_d p\right) \frac{K}{\tau p + 1} = \frac{K_p K (T_d T_i p^2 + T_i p + 1)}{T_i p (\tau p + 1)}$ .
Classe : Le système est de classe 1 (grâce à l’action intégratrice $\frac{1}{T_i p}$ ), garantissant une erreur statique nulle en régime permanent pour une consigne en échelon.
Stratégie de réglage : Par compensation, si l’on choisit le régulateur de manière à ce que l’un des zéros du PID compense le pôle du procédé ( $\tau = T_i$ ou placement de pôles par identification polynomiale), on s’affranchit de la dynamique lente du procédé pour imposer des performances dynamiques propres (amortissement $z$ et pulsation $\omega_n$ souhaités via le choix conjugué de $K_p$ , $T_i$ et $T_d$ ).