Cours : Analyse, Géométrie 3D et Probabilités PT

FICHE DE COURS : Analyse, Géométrie 3D et Probabilités (CPGE - PT)

1. Analyse : Séries de fonctions et Séries entières

1.1. Convergence des séries de fonctions

Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions définies sur un partie $A \subset \mathbb{R}$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.

• Convergence simple : La série $\sum f_n$ converge simplement sur $A$ vers une fonction $S$ si pour tout $x \in A$, la suite numérique $\left(\sum_{k=0}^n f_k(x)\right)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $S(x)$.
• Convergence uniforme : La série $\sum f_n$ converge uniformément sur $A$ vers $S$ si la suite des fonctions sommes partielles $(S_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $S_n(x) = \sum_{k=0}^n f_k(x)$ converge uniformément vers $S$ sur $A$, c’est-à-dire : $\lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in A} |S_n(x) - S(x)| = 0$
• Théorème de continuité : Si $\sum f_n$ converge uniformément sur $A$ vers $S$ et si chaque $f_n$ est continue en $x_0 \in A$, alors $S$ est continue en $x_0$.
• Théorème d’intégration sur un segment : Si $A = [a, b]$, si les fonctions $f_n$ sont continues et si $\sum f_n$ converge uniformément sur $[a, b]$ vers $S$, alors : $\int_a^b \left( \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(t) \right) dt = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_a^b f_n(t) dt$

1.2. Séries entières

Une série entière est une série de fonctions de la forme $\sum a_n x^n$ (ou $\sum a_n z^n$ dans le cas complexe), où $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite de nombres réels ou complexes.

• Lemme d’Abel : Si la suite $(a_n r_0^n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bornée pour un certain $r_0 > 0$, alors pour tout $x$ tel que $|x| < r_0$, la série $\sum a_n x^n$ converge absolument.
• Rayon de convergence : Il existe un unique $R \in [0, +\infty]$ appelé rayon de convergence tel que :
  • La série converge absolument pour tout $x$ tel que $|x| < R$.
  • La série diverge grossièrement pour tout $x$ tel que $|x| > R$.
• Calcul du rayon : On utilise souvent la règle de d’Alembert (si $\lim \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ existe) : $\frac{1}{R} = \lim_{n \to +\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$
• Propriétés de la somme : Soit $S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ de rayon de convergence $R > 0$.
  • $S$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur ]$-R, R[$.
  • Les dérivées s’obtiennent par dérivation terme à terme : $S'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n x^{n-1}$, avec le même rayon de convergence $R$.
  • Les coefficients s’expriment via les dérivées successives : $a_n = \frac{S^{(n)}(0)}{n!}$.

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2. Géométrie 3D

Dans l’espace euclidien orienté $\mathcal{E}_3$ rapporté à un repère orthonormal direct $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on étudie les objets géométriques fondamentaux.

2.1. Plans et droites

• Plan : Un plan $\mathcal{P}$ est défini par un point $A(x_0, y_0, z_0)$ et un vecteur normal $\vec{n}(A, B, C)$. Son équation cartésienne est de la forme : $Ax + By + Cz + D = 0$
• Droite : Une droite $\mathcal{D}$ passant par $A(x_0, y_0, z_0)$ et dirigée par $\vec{u}(\alpha, \beta, \gamma)$ a pour représentation paramétrique : $\begin{cases} x = x_0 + \alpha t \\ y = y_0 + \beta t \\ z = z_0 + \gamma t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$

2.2. Distances et projections

• Distance d’un point $M_0(x_0, y_0, z_0)$ à un plan $\mathcal{P} : Ax + By + Cz + D = 0$ : $d(M_0, \mathcal{P}) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
• Produit vectoriel : Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de $\mathcal{R}^3$. Le produit vectoriel $\vec{u} \wedge \vec{v}$ est orthogonal à $\vec{u}$ et $\vec{v}$, de norme $\|\vec{u}\| \|\vec{v}\| |\sin(\theta)|$, et $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{u} \wedge \vec{v})$ forme une base directe.

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3. Probabilités PT

3.1. Variables aléatoires à densité

Soit $X$ une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, P)$.

• Définition : $X$ est à densité s’il existe une fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ positive, continue (sauf éventuellement en un nombre fini de points), telle que pour tout intervalle $[a, b]$ : $P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(t) dt$ La fonction $f$ est appelée densité de probabilité de $X$. On a nécessairement $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) dt = 1$.
• Fonction de répartition : $F_X(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f(t) dt$. $F_X$ est de classe $\mathcal{C}^1$ (sauf aux points de discontinuité de $f$) et $F_X'(x) = f(x)$ là où $f$ est continue.

3.2. Espérance et Variance

• Espérance : Si l’intégrale converge absolument ($\int_{-\infty}^{+\infty} |t| f(t) dt < +\infty$), l’espérance de $X$ est : $E[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} t f(t) dt$
• Théorème de transfert : Si $g$ est une fonction continue (ou continue par morceaux) telle que $g(X)$ admet une espérance : $E[g(X)] = \int_{-\infty}^{+\infty} g(t) f(t) dt$
• Variance : Si $X$ admet un moment d’ordre 2, sa variance est : $V(X) = E[(X - E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2$ L’écart-type est $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.

3.3. Lois usuelles continues

1. Loi uniforme sur $[a, b]$ ($\mathcal{U}([a, b])$) : $f(t) = \frac{1}{b-a} \mathbb{1}_{[a, b]}(t)$ $E[X] = \frac{a+b}{2}, \quad V(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$

2. Loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$ ($\mathcal{E}(\lambda)$) : $f(t) = \lambda e^{-\lambda t} \mathbb{1}_{[0, +\infty[}(t)$ $E[X] = \frac{1}{\lambda}, \quad V(X) = \frac{1}{\lambda^2}$

3. Loi normale (ou de Gauss) d’espérance $\mu$ et de variance $\sigma^2$ ($\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$) : $f(t) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp\left( -\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2} \right)$ $E[X] = \mu, \quad V(X) = \sigma^2$ Cas particulier : Si $\mu = 0$ et $\sigma = 1$, la loi est centrée réduite ($\mathcal{N}(0,1)$), notée usuellement $\varphi(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}$. Si $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$, alors $Y = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)$.