Cours : Physique des ondes

Physique des ondes — Fiche de cours (CPGE BCPST2)

I. Introduction et formalismes généraux

1. Définitions fondamentales

Perturbation : Modification locale et temporelle d’une grandeur physique par rapport à son état d’équilibre.
Onde : Propagation d’une perturbation dans un milieu matériel ou dans le vide, s’accompagnant d’un transfert d’énergie sans transport de matière.
Onde progressive à une dimension ( $1D$ ) : Grandeur physique $s(x,t)$ (ex: élongation, pression, champ électromagnétique) satisfaisant l’équation de propagation.

2. Équation d’onde (ou équation de d’Alembert)

Dans un milieu homogène, isotrope et non dispersif, toute grandeur $s(x,t)$ associée à une onde plane progressive se propageant à la célérité $c$ vérifie l’équation aux dérivées partielles (EDP) linéaire homogène :

$\frac{\partial^2 s}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 s}{\partial t^2} = 0$

Démonstration (Cas de la corde vibrante idéale) : Considérons une corde élastique tendue de masse linéique $\mu$ soumise à une tension horizontale $T$ . Pour un petit déplacement $s(x,t)$ transverse, la relation fondamentale de la dynamique appliquée à un petit élément de corde $dx$ entre $x$ et $x+dx$ donne, selon l’axe vertical : $T \left[ \left.\frac{\partial s}{\partial x}\right|_{x+dx} - \left.\frac{\partial s}{\partial x}\right|_x \right] = (\mu dx) \frac{\partial^2 s}{\partial t^2}$ En effectuant un développement limité à l’ordre 1 : $T \frac{\partial^2 s}{\partial x^2} dx = \mu dx \frac{\partial^2 s}{\partial t^2} \implies \frac{\partial^2 s}{\partial x^2} - \frac{\mu}{T}\frac{\partial^2 s}{\partial t^2} = 0$ On identifie la célérité $c = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ (exprimée en $\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ ).

3. Solution générale de d’Alembert

La solution générale de l’équation de d’Alembert en $1D$ s’écrit sous la forme : $s(x,t) = f(x - ct) + g(x + ct)$

$f(x - ct)$ représente une onde progressive se propageant dans le sens des $x$ croissants.
$g(x + ct)$ représente une onde progressive se propageant dans le sens des $x$ décroissants.

II. Ondes harmoniques (ou monochromatiques)

1. Définitions et notations complexes

Une onde harmonique est une perturbation sinusoïdale de pulsation $\omega$ (en $\text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$ ) et de période temporelle $T = \frac{2\pi}{\omega}$ (en $\text{s}$ ).

Périodicité spatiale (Longueur d’onde $\lambda$ ) : $\lambda = c T = \frac{2\pi c}{\omega}$ (en $\text{m}$ ).
Vecteur d’onde $k$ : $k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\omega}{c}$ (en $\text{rad}\cdot\text{m}^{-1}$ ).

La notation complexe associée à une onde plane progressive harmonique (OPPH) se propageant selon les $x$ croissants est : $\underline{s}(x,t) = \underline{S}_0 \exp\left(j(\omega t - kx)\right)$ où $\underline{S}_0 = S_0 e^{j\varphi}$ est l’amplitude complexe de l’onde. La grandeur physique réelle est obtenue par : $s(x,t) = \text{Re}\left(\underline{s}(x,t)\right)$

2. Relation de dispersion

La relation de dispersion est une relation liant la pulsation $\omega$ (ou la fréquence $f$ ) au vecteur d’onde $k$ (ou à la longueur d’onde $\lambda$ ).

Milieu non dispersif : $\omega = c \cdot k$ (la célérité de phase $v_\varphi = \frac{\omega}{k} = c$ est indépendante de $\omega$ ).
Milieu dispersif : $\omega = \omega(k)$ (la vitesse de phase $v_\varphi$ dépend de $\omega$ ).

III. Phénomènes ondulatoires fondamentaux

1. Interférences

Principe de superposition : Si deux ondes $\underline{s}_1$ et $\underline{s}_2$ se superposent en un point $M$ , l’onde résultante est $\underline{s} = \underline{s}_1 + \underline{s}_2$ .
Interférences constructives : L’intensité est maximale, $\Delta \Phi = 2k\pi$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ).
Interférences destructives : L’intensité est minimale (voire nulle si les amplitudes sont égales), $\Delta \Phi = (2k+1)\pi$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ).

2. Diffraction

Phénomène par lequel une onde est modifiée lorsqu’elle rencontre un obstable ou une ouverture de dimension comparable à sa longueur d’onde $\lambda$ . Il n’y a pas modification de la fréquence.

Exemple (Ouverture de largeur $a$ ) : Demi-angle de diffraction $\theta \approx \frac{\lambda}{a}$ .

3. Ondes stationnaires

Résultent de la superposition de deux ondes progressives de même amplitude et de même fréquence se propageant en sens contraires. $\underline{s}(x,t) = 2 S_0 \sin(kx) \sin(\omega t + \varphi')$

Nœuds de vibration : Points où l’amplitude est constamment nulle ( $\sin(kx) = 0 \implies x = n \frac{\lambda}{2}$ ).
Ventres de vibration : Points où l’amplitude est maximale ( $\sin(kx) = \pm 1$ ).

IV. Application en biologie et géosciences (Contexte BCPST)

Acoustique / Ondes sonores dans les fluides : Les ondes acoustiques sont des ondes longitudinales de surpression $\delta P(x,t)$ . La célérité du son dans un fluide est donnée par $c = \frac{1}{\sqrt{\chi_s \rho_0}}$ (avec $\chi_s$ la compressibilité isentropique et $\rho_0$ la masse volumique au repos).
Ondes sismiques (Géologie) : Propagation d’ondes élastiques dans la Terre.
- Ondes P (Primaires) : Ondes de compression (longitudinales), les plus rapides.
- Ondes S (Secondaires) : Ondes de cisaillement (transverses), ne se propagent pas dans les fluides.

V. Méthodes et Savoir-faire

Vérifier qu’une fonction est solution de l’équation d’onde :
- Calculer les dérivées partielles secondes $\frac{\partial^2 s}{\partial x^2}$ et $\frac{\partial^2 s}{\partial t^2}$ .
- Remplacer dans l’équation de d’Alembert et vérifier l’égalité à zéro.
Passer du réel au complexe et inversement :
- Toujours effectuer les calculs (atténuation, superposition, impédance) en notation complexe, puis extraire la partie réelle à la fin pour l’interprétation physique.

VI. Pièges à éviter (Attention !)

Attention aux dimensions : Dans l’expression $\cos(\omega t - kx)$ , l’argument du cosinus doit impérativement être sans dimension. Vérifiez que $[\omega] = T^{-1}$ , $[t] = T$ , $[k] = L^{-1}$ , $[x] = L$ .
Confondre vitesse de phase et vitesse de groupe : En BCPST, bien retenir que la célérité $c$ dans l’équation de d’Alembert est la vitesse de phase $v_\varphi = \frac{\omega}{k}$ . Dans un milieu dispersif, l’énergie se propage à la vitesse de groupe $v_g = \frac{d\omega}{dk}$ , ce qui n’est pas $c$ .
Oubli de la nature du milieu : Une onde électromagnétique se propage dans le vide à $c \approx 3 \cdot 10^8 \, \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ , mais sa vitesse diminue dans un milieu diélectrique d’indice optique $n > 1$ ( $v = \frac{c}{n}$ ).