Cours : Analyse réelle et intégration

Fiche de Cours : Analyse Réelle et Intégration

Filière : CPGE - PTSI
Matière : Mathématiques

---

1. Topologie de la droite réelle

Définitions fondamentales

Soit $A \subset \mathbb{R}$.

• Majorant, minorant : $M \in \mathbb{R}$ est un majorant de $A$ si $\forall x \in A, x \le M$. $A$ est dit majoré s’il existe un tel $M$.
• Borne supérieure : Si $A$ est non vide et majoré, sa borne supérieure (notée $\sup A$) est le plus petit des majorants de $A$. $\sup A = s \iff \begin{cases} \forall x \in A, x \le s \\ \forall \epsilon > 0, \exists x \in A, x > s - \epsilon \end{cases}$
• Propriété de la borne supérieure : Toute partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$ admet une borne supérieure dans $\mathbb{R}$ (axiome de la borne supérieure).

Intervalles et Voisinages

• Intervalles : Les seuls sous-ensembles convexes de $\mathbb{R}$ sont les intervalles.
• Voisinage : Un sous-ensemble $V \subset \mathbb{R}$ est un voisinage d’un point $x_0 \in \mathbb{R}$ s’il existe $\alpha > \0$ tel que $]x_0-\alpha, x_0+\alpha[ \subset V$.

---

2. Limites et Continuité

Limite d’une fonction en un point

Soit $f : I \to \mathbb{R}$ et $x_0 \in \bar{I}$. Définition (avec les $\epsilon$) : $\lim_{x \to x_0} f(x) = L \iff \forall \epsilon > 0, \exists \alpha > 0, \forall x \in I, (0 < |x-x_0| < \alpha \implies |f(x)-L| < \epsilon)$

Théorèmes fondamentaux sur les fonctions continues

• Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) : Si $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ est continue, alors pour tout $y$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe $c \in [a,b]$ tel que $f(c) = y$.
• Corollaire (Fonctions strictement monotones) : Si $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ est continue et strictement monotone, elle réalise une bijection de $[a,b]$ sur $f([a,b])$.
• Théorème des bornes atteintes (Weierstrass) : Toute fonction continue sur un segment $[a,b]$ est bornée et atteint ses bornes. Autrement dit, $\exists (c,d) \in [a,b]^2, f(c) = \inf_{[a,b]} f$ et $f(d) = \sup_{[a,b]} f$.

---

3. Dérivabilité et Théorèmes de Rolle et des Accroissements Finis

Dérivée et classe $\mathcal{C}^k$

• Une fonction $f : I \to \mathbb{R}$ est dérivable en $x_0 \in I$ si $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ existe et est finie.
• $\mathcal{C}^0(I, \mathbb{R})$ : fonctions continues.
• $\mathcal{C}^k(I, \mathbb{R})$ : fonctions $k$ fois continûment dérivables sur $I$.

Théorèmes centraux de l’analyse

• Théorème de Rolle : Soit $f \in \mathcal{C}^0([a,b], \mathbb{R})$ dérivable sur $തീa,b[$. Si $f(a) = f(b)$, alors il existe $c \in ]a,b[$ tel que $f'(c) = 0$.
• Accroissements Finis (TAF) : Soit $f \in \mathcal{C}^0([a,b], \mathbb{R})$ dérivable sur $തീa,b[$. Il existe $c \in ]a,b[$ tel que : $f(b) - f(a) = f'(c)(b-a)$
• Inégalité des Accroissements Finis (IAF) : Si $\forall x \in ]a,b[, |f'(x)| \le K$, alors : $|f(b) - f(a)| \le K |b-a|$

---

4. Calcul Intégral

Intégrale d’une fonction continue

Pour $f \in \mathcal{C}^0([a,b], \mathbb{R})$, on définit l’intégrale $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ via les sommes de Riemann ou l’intégrale de Darboux.

Primitives et Théorème Fondamental de l’Analyse

• Définition : Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F' = f$.
• Théorème Fondamental : Si $f \in \mathcal{C}^0([a,b], \mathbb{R})$ et si $x_0 \in [a,b]$, la fonction $F$ définie par : $F(x) = \int_{x_0}^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est l’unique primitive de $f$ sur $[a,b$] qui s’annule en $x_0$. De plus, $F \in \mathcal{C}^1([a,b], \mathbb{R})$.

Techniques de calcul d’intégrales

• Relation de Chasles : $\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$
• Linéarité et Positivité (ainsi que Croissance de l’intégrale).
• Intégration par parties (IPP) : Si $u, v \in \mathcal{C}^1([a,b], \mathbb{R})$ : $\int_a^b u(t)v'(t)\,\mathrm{d}t = [u(t)v(t)]_a^b - \int_a^b u'(t)v(t)\,\mathrm{d}t$
• Changement de variable : Soit $\phi : [\alpha, \beta] \to [a,b]$ de classe $\mathcal{C}^1$ bijective. Alors : $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = \int_\alpha^\beta f(\phi(u))\phi'(u)\,\mathrm{d}u$

---

5. Démonstrations Clés Exigibles en PTSI

Démonstration : Théorème de Rolle

1. Cas général : Si $f$ est constante, sa dérivée est nulle partout, le résultat est trivial.
2. Cas non constant : Puisque $f$ est continue sur le segment $[a,b]$, d’après le théorème de Weierstrass, $f$ atteint son maximum $M$ et son minimum $m$ sur $[a,b]$.
3. Puisque $f$ n’est pas constante, $m \neq M$. Comme $f(a) = f(b)$, l’une au moins de ces deux bornes est atteinte en un point $c$ strictement à l’intérieur de l’intervalle, c’est-à-dire $c \in ]a,b[$.
4. Supposons par exemple que $f(c) = M$ (avec $c \in ]a,b[)$. Étudions le taux de variation en $c$ :
   • Pour $h > 0$ tel que $c+h \in [a,b]$ : $\frac{f(c+h) - f(c)}{h} \le 0$ (car $f(c)$ est un maximum). En passant à la limite $h \to 0^+$, on obtient $f'_+(c) \le 0$.
   • Pour $h < 0$ tel que $c+h \in [a,b]$ : $\frac{f(c+h) - f(c)}{h} \ge 0$. En passant à la limite $h \to 0^-$, on obtient $f'_-(c) \ge 0$.
5. $f$ étant dérivable en $c$, on a $f'_+(c) = f'_-(c) = f'(c)$, d’où $f'(c) = 0$. $\blacksquare$