Exercice 1 : Puits de potentiel

Concours Blanc - Filière MPI

Physique-Chimie : Physique quantique et Électromagnétisme

Problème guidé : Étude d’un puits de potentiel quantique fini et applications

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Préambule et notations

L’objectif de ce problème est l’étude du comportement d’une particule quantique de masse $m$ soumise à un potentiel unidimensionnel en cuvette, dit puits de potentiel fini. Ce modèle trouve des applications directes en physique des semiconducteurs (hétérostructures, boîtes quantiques) et en physique moléculaire.

On se place dans le cadre de la mécanique quantique non relativiste. L’état stationnaire de la particule est décrit par sa fonction d’onde $\psi(x)$, solution de l’équation de Schrödinger indépendante du temps : $\left( -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} + V(x) \right) \psi(x) = E \psi(x)$ où $E$ est l’énergie de la particule et $\hbarəs$ la constante de Planck réduite.

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Partie I : Modélisation et mise en équation

On considère le profil de potentiel énergétique défini par :

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