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CPGE Futur

Exercice 1 : Bilans thermiques

Concours CPGE (PTSI) — Physique-Chimie

Section titled “Concours CPGE (PTSI) — Physique-Chimie”

Thermodynamique et Électrocinétique : Bilans thermiques

Section titled “Thermodynamique et Électrocinétique : Bilans thermiques”

L’épreuve est constituée d’un problème guidé évaluant la capacité à coupler des notions d’électrocinétique (effet Joule) et de thermodynamique (premier principe, transferts thermiques par conduction et convection) dans un dispositif industriel modélisé.

Présentation du système

Section titled “Présentation du système”

On s’intéresse à un composant électronique cylindrique de longueur LL et de rayon R1R_1, parcouru par un courant électrique continu d’intensité II. Ce composant dissipe de la puissance par effet Joule de manière homogène dans tout son volume.

Pour éviter la surchauffe, ce composant est inséré dans une gaine cylindrique protectrice coaxiale, de rayon interne R1R_1 et de rayon externe R2R_2, de longueur LL. L’ensemble est placé dans l’air ambiant à la température T0T_0.

Données et notations :

  • Rayons : R1=5,0 mmR_1 = 5,0\text{ mm} ; R2=1,5 cmR_2 = 1,5\text{ cm} ; Longueur L=10 cmL = 10\text{ cm} (on néglige les effets de bords).
  • Résistance électrique du composant : r=2,5 Ωr = 2,5\,\Omega.
  • Intensité du courant : I=2,0 AI = 2,0\text{ A}.
  • Conductivité thermique de la gaine : λ=0,20 W⋅m−1⋅K−1\lambda = 0,20\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.
  • Coefficient de transfert thermique convectif entre la surface externe de la gaine et l’air ambiant : h=15 W⋅m−2⋅K−1h = 15\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1}.
  • Température ambiante : T0=20 ∘C=293,15 KT_0 = 20\text{ }^{\circ}\text{C} = 293,15\text{ K}.

Partie I : Modélisation électrique et thermique préliminaire

Section titled “Partie I : Modélisation électrique et thermique préliminaire”

1. Exprimer et calculer la puissance thermique PthP_{\text{th}} totale dissipée par le composant par effet Joule. Correction: ** La puissance dissipée par effet Joule dans un conducteur de résistance rr parcouru par un courant II s’exprime par : Pth=rI2P_{\text{th}} = r I^2 A.N. : Pth=2,5×(2,0)2=10 WP_{\text{th}} = 2,5 \times (2,0)^2 = 10\text{ W}.

2. En régime permanent, quel est le bilan de la puissance thermique générée au sein du composant et celle traversant la gaine ? Justifier brièvement à l’aide du premier principe de la thermodynamique appliqué au composant. Correction: ** Le système thermodynamique considéré est le composant (volume délimité par r≤R1r \le R_1). En régime permanent, son énergie interne UU est constante (dUdt=0\frac{\text{d}U}{\text{d}t} = 0). Le premier principe s’écrit : ΔU=W+Q  ⟹  0=0+Pth−Φconduction(R1)\Delta U = W + Q \implies 0 = 0 + P_{\text{th}} - \Phi_{\text{conduction}}(R_1) La puissance thermique générée PthP_{\text{th}} doit donc intégralement être évacuée par conduction à travers la surface de contact du composant : Φconduction(R1)=Pth=10 W\Phi_{\text{conduction}}(R_1) = P_{\text{th}} = 10\text{ W}.

Partie II : Étude thermique de la gaine protectrice

Section titled “Partie II : Étude thermique de la gaine protectrice”

On se place en régime permanent. La température T(r)T(r) dans la gaine (R1≤r≤R2R_1 \le r \le R_2) ne dépend que de la distance radiale rr à l’axe du cylindre.

3. À partir d’une analyse des symétries et invariances du système, justifier la forme de la température T(r)T(r). Correction: ** Le système présente une invariance par translation selon l’axe zz et par rotation autour de l’axe zz (θ\theta). La température ne dépend donc que de la coordonnée radiale rr : T=T(r)T = T(r).

4. Établir l’expression de la densité surfacique de flux thermique ϕ⃗(r)\vec{\phi}(r) par conduction à travers la gaine, en utilisant la loi de Fourier. En déduire l’expression de la puissance thermique traversant un cylindre de rayon rr et de longueur LL. Correction: ** La loi de Fourier s’écrit : ϕ⃗=−λ grad T=−λdTdre⃗r\vec{\phi} = -\lambda \text{ grad } T = -\lambda \frac{\text{d}T}{\text{d}r} \vec{e}_r La puissance thermique traversant une surface cylindrique de rayon rr et de longueur LL est le flux du vecteur ϕ⃗\vec{\phi} à travers cette surface : Φ(r)=∬ϕ⃗⋅dS⃗=(−λdTdr)×(2πrL)\Phi(r) = \iint \vec{\phi} \cdot \text{d}\vec{S} = (-\lambda \frac{\text{d}T}{\text{d}r}) \times (2\pi r L) En régime permanent et en l’absence de source thermique au sein de la gaine (R1<r<R2R_1 < r < R_2), ce flux thermique se conserve : Φ(r)=Pth\Phi(r) = P_{\text{th}}.

5. En déduire l’équation différentielle régissant T(r)T(r) dans la gaine. Correction: ** À partir de l’expression précédente de Φ(r)=Pth\Phi(r) = P_{\text{th}} : −2πrLλdTdr=Pth-2\pi r L \lambda \frac{\text{d}T}{\text{d}r} = P_{\text{th}} Soit l’équation différentielle : dTdr=−Pth2πλL1r\frac{\text{d}T}{\text{d}r} = -\frac{P_{\text{th}}}{2\pi \lambda L} \frac{1}{r}

6. Par intégration de cette équation, exprimer la température T(r)T(r) dans la gaine en fonction de rr, R1R_1, λ\lambda, LL, PthP_{\text{th}} et de la température à l’interface T1=T(R1)T_1 = T(R_1). Correction: ** On intègre entre R1R_1 et rr : ∫T(R1)T(r)dT=−Pth2πλL∫R1rdr′r′\int_{T(R_1)}^{T(r)} \text{d}T = -\frac{P_{\text{th}}}{2\pi \lambda L} \int_{R_1}^{r} \frac{\text{d}r'}{r'} T(r)−T(R1)=−Pth2πλLln⁡(rR1)T(r) - T(R_1) = -\frac{P_{\text{th}}}{2\pi \lambda L} \ln\left(\frac{r}{R_1}\right) Soit : T(r)=T(R1)−Pth2πλLln⁡(rR1)T(r) = T(R_1) - \frac{P_{\text{th}}}{2\pi \lambda L} \ln\left(\frac{r}{R_1}\right)

Partie III : Conditions aux limites et résistance thermique équivalente

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7. À la surface externe de la gaine (r=R2r = R_2), les transferts thermiques avec l’air ambiant sont modélisés par la loi de Newton de la convection : Φ(R2)=hS2(T(R2)−T0)\Phi(R_2) = h S_2 (T(R_2) - T_0) où S2=2πR2LS_2 = 2\pi R_2 L est la surface externe de la gaine. Exprimer T(R1)T(R_1) en fonction de T0T_0, PthP_{\text{th}}, R1R_1, R2R_2, λ\lambda, hh et LL. Correction: ** Évaluons l’expression de la température de la gaine en r=R2r = R_2 : T(R2)=T(R1)−Pth2πλLln⁡(R2R1)T(R_2) = T(R_1) - \frac{P_{\text{th}}}{2\pi \lambda L} \ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right) Par ailleurs, d’après la loi de Newton et la conservation du flux : Φ(R2)=Pth=h(2πR2L)(T(R2)−T0)  ⟹  T(R2)=T0+Pth2πR2Lh\Phi(R_2) = P_{\text{th}} = h (2\pi R_2 L) (T(R_2) - T_0) \implies T(R_2) = T_0 + \frac{P_{\text{th}}}{2\pi R_2 L h} En combinant ces deux relations pour isoler T(R1)T(R_1) : T(R1)=T0+Pth2πL(1λln⁡(R2R1)+1hR2)T(R_1) = T_0 + \frac{P_{\text{th}}}{2\pi L} \left( \frac{1}{\lambda}\ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right) + \frac{1}{h R_2} \right)

8. Par analogie avec l’électrocinétique (loi d’Ohm thermique TA−TB=RthΦT_A - T_B = R_{\text{th}} \Phi), identifier la résistance thermique totale Rth, totR_{\text{th, tot}} entre l’intérieur du composant et l’air ambiant. Décomposer cette résistance en une résistance thermique de conduction Rth, condR_{\text{th, cond}} et une résistance thermique de convection Rth, convR_{\text{th, conv}}. Correction: ** D’après l’expression précédente, on peut écrire : T(R1)−T0=Pth×[ln⁡(R2/R1)2πλL+12πR2Lh]T(R_1) - T_0 = P_{\text{th}} \times \left[ \frac{\ln(R_2/R_1)}{2\pi \lambda L} + \frac{1}{2\pi R_2 L h} \right] Par identification avec la loi d’Ohm thermique ΔT=Rth, totPth\Delta T = R_{\text{th, tot}} P_{\text{th}} :

  • Résistance thermique de conduction (cylindrique) : Rth, cond=ln⁡(R2/R1)2πλLR_{\text{th, cond}} = \frac{\ln(R_2/R_1)}{2\pi \lambda L}
  • Résistance thermique de convection : Rth, conv=12πR2LhR_{\text{th, conv}} = \frac{1}{2\pi R_2 L h}
  • Résistance thermique totale : Rth, tot=Rth, cond+Rth, convR_{\text{th, tot}} = R_{\text{th, cond}} + R_{\text{th, conv}}

9. Calculer numériquement Rth, condR_{\text{th, cond}}, Rth, convR_{\text{th, conv}}, Rth, totR_{\text{th, tot}} ainsi que la température maximale atteinte par le composant T(R1)T(R_1). Correction: **

  • Application numérique pour Rth, condR_{\text{th, cond}} : Rth, cond=ln⁡(1,5⋅10−2/5,0⋅10−3)2π×0,20×0,10=ln⁡(3)0,04π≈1,09860,1257≈8,74 K⋅W−1R_{\text{th, cond}} = \frac{\ln(1,5 \cdot 10^{-2} / 5,0 \cdot 10^{-3})}{2 \pi \times 0,20 \times 0,10} = \frac{\ln(3)}{0,04\pi} \approx \frac{1,0986}{0,1257} \approx 8,74\text{ K}\cdot\text{W}^{-1}
  • Application numérique pour Rth, convR_{\text{th, conv}} : Rth, conv=12π×1,5⋅10−2×0,10×15=10,030π×15=10,45π≈0,71 K⋅W−1R_{\text{th, conv}} = \frac{1}{2\pi \times 1,5 \cdot 10^{-2} \times 0,10 \times 15} = \frac{1}{0,030\pi \times 15} = \frac{1}{0,45\pi} \approx 0,71\text{ K}\cdot\text{W}^{-1}
  • Résistance totale : Rth, tot=8,74+0,71=9,45 K⋅W−1R_{\text{th, tot}} = 8,74 + 0,71 = 9,45\text{ K}\cdot\text{W}^{-1}
  • Température T(R1)T(R_1) : T(R1)=20+10×9,45=20+94,5=114,5 ∘CT(R_1) = 20 + 10 \times 9,45 = 20 + 94,5 = 114,5\text{ }^{\circ}\text{C} (soit 387,65 K387,65\text{ K}).

Partie IV : Analyse critique des résultats

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10.

  • Discuter la pertinence des hypothèses (régime permanent, absence de pertes par rayonnement thermique).
  • Le composant supporte une température maximale de service de 100 ∘C100\text{ }^{\circ}\text{C}. Le dispositif actuel est-il valide ? Proposer deux modifications techniques simples pour abaisser la température du composant sans modifier la puissance électrique dissipée. Correction: **
  • Analyse critique des hypothèses :
    • Régime permanent : Hypothèse valable si l’appareil fonctionne depuis un laps de temps suffisant devant le temps caractéristique de diffusion thermique τ∼R2Dth\tau \sim \frac{R^2}{D_{\text{th}}}.
    • Négligence du rayonnement : À 114,5 ∘C114,5\text{ }^{\circ}\text{C} (387,65 K387,65\text{ K}), les transferts thermiques par rayonnement (loi de Stefan-Boltzmann) commencent à devenir non nuls, mais restent généralement secondaires face à la convection forcée ou naturelle dans ce type d’ordre de grandeur. Toutefois, cela aurait pour effet réel de minorer légèrement la température calculée.
  • Validation du dispositif : La température calculée T(R1)=114,5 ∘CT(R_1) = 114,5\text{ }^{\circ}\text{C} dépasse la limite maximale admissible de 100 ∘C100\text{ }^{\circ}\text{C}. Le dispositif actuel n’est pas valide (risque de destruction ou de dégradation du composant).
  • Pistes d’amélioration :
    1. Agir sur la convection : Augmenter le coefficient hh en installant un ventilateur (convection forcée) ou en ajoutant des ailettes de refroidissement pour augmenter la surface d’échange S2S_2.
    2. Agir sur la conduction : Utiliser un matériau de gaine ayant une conductivité thermique λ\lambda plus élevée (par exemple, un polymère chargé ou une céramique adaptée au lieu d’un plastique isolant classique).