Cours : Conversion électromécanique

Fiche de Cours : Conversion Électromécanique (PSI - SII)

La conversion électromécanique est au cœur des systèmes automatisés et de la chaîne d’énergie (actionneurs). En classe de PSI, l’étude se restreint généralement aux régimes quasi-stationnaires, aux systèmes magnétiques indéformables (entrefer constant ou variable de type reluctance) et aux machines à courants alternatifs ou continus par le biais de modèles macroscopiques.

1. Rapports énergétiques et bilans de puissance

A. Bilan global d’un convertisseur électromécanique

Un convertisseur électromécanique possède des ports électriques et un port mécanique. Soit $P_{\text{elec}}$ la puissance électrique entrante, $P_{\text{meca}}$ la puissance mécanique sortante, et $P_{\text{pertes}}$ les pertes (Joule, fer, mécaniques).

$\frac{dE_{\text{stock}}}{dt} = P_{\text{elec}} - P_{\text{meca}} - P_{\text{pertes}}$

En régime permanent (magnétique), l’énergie stockée $E_{\text{stock}}$ dans le champ magnétique est constante en moyenne sur une période, d’où le bilan en puissance moyenne :

$\langle P_{\text{elec}} \rangle = \langle P_{\text{meca}} \rangle + \langle P_{\text{pertes}} \rangle$

2. Machine à Courant Continu (MCC)

La MCC est le modèle de base pour comprendre la réversibilité et le contrôle de vitesse et de couple.

A. Équations de fonctionnement (Modèle linéaire)

Le rotor (induit) est alimenté par une tension $U$ via un balai/collecteur, et le stator (inducteur) crée un flux magnétique constant $\Phi$ (soit par aimants permanents, soit par un enroulement séparé).

Équation électrique (Induit) : $U = E + R \cdot I$ Avec :
- $U$ : tension aux bornes de l’induit (\text{V})
- $E$ : force contre-électromotrice (f.c.e.m.) (\text{V})
- $R$ : résistance de l’induit (\text{ohm})
- $I$ : courant d’induit (\text{A})
Relation électromécanique (f.c.e.m. et couple) : $E = K \cdot \Omega$ $C_{\text{em}} = K \cdot I$ Avec :
- $\Omega$ : vitesse de rotation du rotor (\text{rad.s}^{-1})
- $K$ : constante de la machine dépendant du flux et de la construction (\text{V.s.rad}^{-1} ou \text{N.m.A}^{-1})
- $C_{\text{em}}$ : couple électromécanique (\text{N.m})

Théorème (Conservation de la puissance électromagnétique) : En négligeant les pertes joules magnétiques internes, la puissance électrique convertie en puissance mécanique est : $P_{\text{em}} = E \cdot I = C_{\text{em}} \cdot \Omega$

B. Équation dynamique de l’ensemble (Moteur + Charge)

En appliquant le Théorème du Moment Cinétique (TMC) sur l’axe du rotor d’inertie $J$ :

$J \frac{d\Omega}{dt} = C_{\text{em}} - C_{\text{r}} - f \cdot \Omega$

Avec :

$C_{\text{r}}$ : couple résistant de la charge (\text{N.m})
$f$ : coefficient de frottement visqueux (\text{N.m.s.rad}^{-1})

3. Machine Synchrone (MS)

La machine synchrone est caractérisée par un rotor (inducteur) qui tourne à la vitesse de synchronisme, exactement à la même vitesse que le champ tournant créé par le stator (induit).

A. Caractéristiques cinématiques

La vitesse de rotation $\Omega$ du rotor est liée à la pulsation des tensions statoriques $\omega$ et au nombre de paires de pôles $p$ :

$\Omega = \frac{\omega}{p}$

B. Modèle équivalent par phase (Modèle de Behn-Eschenburg / Non saturé)

Pour une étude diphasée ou ramenée à une phase équivalente (système triphasé équilibré), on modélise l’induit par une f.e.m. $E$ en série avec une réactance synchrone $X$ (et une résistance $R$ souvent négligée devant $X$ ).

Équation électrique par phase : $\underline{V} = \underline{E} + (R + jX) \underline{I} \approx \underline{E} + jX \underline{I}$

4. Machine Asynchrone (MAS) - “Moteur Cagnard”

La machine asynchrone (ou à induction) ne possède pas d’alimentation électrique au rotor. Les courants rotoriques sont induits par les variations du champ magnétique tournant statorique.

A. Glissement

Le rotor tourne à une vitesse $\Omega$ légèrement inférieure à la vitesse de synchronisme $\Omega_s = \omega/p$ . On définit le glissement $g$ par :

$g = \frac{\Omega_s - \Omega}{\Omega_s}$

Au démarrage ( $g = 1$ , $\Omega = 0$ ).
En fonctionnement moteur nominal ( $0 < g < 0.05$ ).

B. Fréquence et courants rotoriques

La fréquence des courants induits au rotor n’est plus la fréquence réseau $f$ , mais la fréquence de glissement :

$f_r = g \cdot f$

5. Méthodes et Démarche de Résolution (Exercices de PSI)

Identifier les grandeurs d’entrée et de sortie : S’agit-il d’un fonctionnement en moteur (conversion $P_{\text{elec}} \to P_{\text{meca}}$ ) ou en génératrice/frein ( $P_{\text{meca}} \to P_{\text{elec}}$ ) ?
Établir le schéma équivalent : Écrire les lois des nœuds et des mailles (Kirchhoff) côté électrique.
Appliquer les bilans énergétiques : Isoler les pertes (Joule dans les enroulements $P_j = R I^2$ , pertes fer, pertes mécaniques) pour relier la puissance utile à la puissance absorbée.
Traduire le comportement dynamique : Utiliser systématiquement le TMC (principe fondamental de la dynamique en rotation) pour relier le couple moteur, le couple résistant et l’accélération.

6. Pièges à Éviter / Erreurs Fréquentes

Attention aux unités : Ne pas confondre vitesse de rotation en tours par minute ( $N$ en tr/min) et vitesse angulaire en radians par seconde ( $\Omega = \frac{2\pi N}{60}$ ).
Glissement de la MAS : Ne jamais appliquer $\Omega = \Omega_s$ pour une machine asynchrone en charge ! Si $g = 0$ , le couple électromagnétique est nul ( $C_{\text{em}} = 0$ ).
Oubli des pertes : Dans un bilan de puissance, ne pas sommer bêtement $P_{\text{abs}}$ et $P_{\text{util}}$ sans comptabiliser les pertes Joule ( $RI^2$ ) et les pertes collectives.
Sens des grandeurs (Conventions) :
- Convention récepteur pour un moteur ( $\underline{V} \cdot \underline{I} > 0$ en moyenne).
- Convention générateur pour une dynamo/alternateur.