Cours : Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini

Niveau: ** MPSI (Première année)
Matière : Mathématiques

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1. Cadre probabiliste : Espaces probabilisés finis

A. Vocabulaire des événements

Soit $\Omega$ un ensemble non vide, appelé univers. Ses éléments $\omega$ sont appelés des issues ou des événements élémentaires.

• Un événement est une partie de $\Omega$ (c’est-à-dire un élément de $\mathcal{P}(\Omega)$).
• L’événement certain est $\Omega$, l’événement impossible est $\emptyset$.
• Deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles (ou disjoints) si $A \cap B = \emptyset$.
• Le système $(A_i)_{i \in I}$ est un système complet d’événements si les $A_i$ sont deux à deux incompatibles et de union égale à $\Omega$ : $\forall (i, j) \in I^2, \; i \neq j \implies A_i \cap A_j = \emptyset \quad \text{et} \quad \bigcup_{i \in I} A_i = \Omega$

B. Espace probabilisé

Dans tout ce chapitre, l’univers $\Omega$ est supposé fini.

Définition (Probabilité) :
Une application $\mathbb{P} : \mathcal{P}(\Omega) \to [0, 1]$ est une probabilité sur $\Omega$ si :

1. $\mathbb{P}(\Omega) = 1$.
2. Pour toute famille finie d’événements $(A_i)_{1 \le i \le n}$ deux à deux incompatibles : $\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right) = \sum_{i=1}^n \mathbb{P}(A_i)$

Proposition (Propriétés fondamentales) :
Soit $\mathbb{P}$ une probabilité sur $(\Omega, \mathcal{P}(\Omega))$.

• $\mathbb{P}(\emptyset) = 0$.
• Pour tout événement $A$, $\mathbb{P}(A^c) = 1 - \mathbb{P}(A)$.
• Si $A \subset B$, alors $\mathbb{P}(A) \le \mathbb{P}(B)$ et $\mathbb{P}(B \setminus A) = \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A)$.
• (Formule du crible de Poincaré pour deux événements) : $\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)$

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2. Équiprobabilité

Définition :
On dit qu’il y a équiprobabilité sur $\Omega$ si tous les événements élémentaires ont la même probabilité. Si $\Omega = \{\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n\}$, alors : $\forall i \in \{1, \dots, n\}, \; \mathbb{P}(\{\omega_i\}) = \frac{1}{n}$

Proposition :
Dans le cas d’une situation d’équiprobabilité, pour tout événement $A$ : $\mathbb{P}(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)} = \frac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre de cas possibles}}$

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3. Probabilités conditionnelles et indépendance

A. Probabilités conditionnelles

Soit $B$ un événement tel que $\mathbb{P}(B) > 0$.

Définition :
La probabilité conditionnelle sachant $B$ est l’application $\mathbb{P}(\cdot \mid B) : \mathcal{P}(\Omega) \to [0, 1]$ définie par : $\forall A \in \mathcal{P}(\Omega), \; \mathbb{P}(A \mid B) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)}$

Théorème (Formule des probabilités composées) :
Si $A_1, A_2, \dots, A_n$ sont des événements tels que $\mathbb{P}(A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_{n-1}) > 0$, alors : $\mathbb{P}(A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n) = \mathbb{P}(A_1) \mathbb{P}(A_2 \mid A_1) \mathbb{P}(A_3 \mid A_1 \cap A_2) \dots \mathbb{P}(A_n \mid A_1 \cap \dots \cap A_{n-1})$

B. Formules fondamentales

Théorème (Formule des probabilités totales) :
Soit $(A_i)_{i \in I}$ un système complet d’événements de $\Omega$ tel que, pour tout $i$, $\mathbb{P}(A_i) > 0$. Alors, pour tout événement $B$ : $\mathbb{P}(B) = \sum_{i \in I} \mathbb{P}(B \mid A_i)\mathbb{P}(A_i)$

Théorème (Formule de Bayes) :
Soit $(A_i)_{i \in I}$ un système complet d’événements de $\Omega$ constitués d’événements de probabilités non nulles. Soit $B$ un événement tel que $\mathbb{P}(B) > 0$. Alors, pour tout $j \in I$ : $\mathbb{P}(A_j \mid B) = \frac{\mathbb{P}(B \mid A_j)\mathbb{P}(A_j)}{\sum_{i \in I} \mathbb{P}(B \mid A_i)\mathbb{P}(A_i)}$

C. Indépendance d’événements

Définition :

• Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si : $\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)$
• Une famille finie d’événements $(A_i)_{i \in I}$ est dite indépendante si, pour toute sous-famille finie d’indices distincts $(i_1, i_2, \dots, i_k)$, on a : $\mathbb{P}(A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap \dots \cap A_{i_k}) = \prod_{j=1}^k \mathbb{P}(A_{i_j})$

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4. Variables aléatoires finies

A. Généralités

Définition :
Une variable aléatoire (v.a.) $X$ sur $(\Omega, \mathbb{P})$ est une application de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$.
L’ensemble des valeurs prises par $X$ est noté $X(\Omega) = \{x_1, x_2, \dots, x_m\}$ (qui est fini).

• L’événement « $X = x$ » est noté $\{X = x\} = \{\omega \in \Omega \mid X(\omega) = x\} = X^{-1}(\{x\})$.
• La loi de probabilité de $X$ est déterminée par la donnée des $\mathbb{P}(X = x_i)$ pour tout $x_i \in X(\Omega)$.

B. Espérance et Variance

Définition (Espérance) :
L’espérance d’une variable aléatoire $X$ (notée $\mathbb{E}(X)$) est définie par : $\mathbb{E}(X) = \sum_{x \in X(\Omega)} x \cdot \mathbb{P}(X = x) = \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)\mathbb{P}(\{\omega\})$

Théorème (Linéarité de l’espérance) :
L’espérance est un opérateur linéaire. Pour toutes variables aléatoires $X$ et $Y$ sur $(\Omega, \mathbb{P})$ et tous réels $\alpha, \beta$ : $\mathbb{E}(\alpha X + \beta Y) = \alpha \mathbb{E}(X) + \beta \mathbb{E}(Y)$

Définition (Variance et Écart-type) :

• La variance de $X$, notée $\mathbb{V}(X)$, est définie (si elle existe, ce qui est toujours le cas sur un univers fini) par : $\mathbb{V}(X) = \mathbb{E}\left((X - \mathbb{E}(X))^2\right)$
• L’écart-type est $\sigma(X) = \sqrt{\mathbb{V}(X)}$.

Proposition (Formule de König-Huygens) :
$\mathbb{V}(X) = \mathbb{E}(X^2) - (\mathbb{E}(X))^2$

Proposition :
Pour tous réels $a$ et $b$ : $\mathbb{V}(aX + b) = a^2 \mathbb{V}(X)$

C. Indépendance de variables aléatoires

Définition :
Deux variables aléatoires $X$ et $Y$ sont dites indépendantes si : $\forall (x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega), \; \mathbb{P}((X = x) \cap (Y = y)) = \mathbb{P}(X = x) \times \mathbb{P}(Y = y)$

Théorème :
Si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes, alors : $\mathbb{E}(XY) = \mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)$ Attention : la réciproque est fausse.

Corollaire :
Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors : $\mathbb{V}(X + Y) = \mathbb{V}(X) + \mathbb{V}(Y)$

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5. Lois usuelles

A. Loi de Bernoulli $\mathcal{mathcal{B}}(p)$

Modélise une expérience à deux issues (succès/échec) avec $\mathbb{P}(\text{succès}) = p$ ($p \in [0, 1]$).

• $X(\Omega) = \{0, 1\}$
• $\mathbb{P}(X = 1) = p$ et $\mathbb{P}(X = 0) = 1-p$
• $\mathbb{E}(X) = p$
• $\mathbb{V}(X) = p(1-p)$

B. Loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$

Modélise le nombre de succès lors de la répétition de $n$ expériences de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$.

• $X(\Omega) = \{0, 1, \dots, n\}$
• $\forall k \in \{0, 1, \dots, n\}, \; \mathbb{P}(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$
• $\mathbb{E}(X) = np$
• $\mathbb{V}(X) = np(1-p)$
  (Remarque : Une v.a. de loi $\mathcal{B}(n, p)$ s’écrit comme la somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre $p$).

C. Loi uniforme sur $\{1, \dots, n\}$

Modélise le choix équiprobable parmi $n$ entiers.

• $X(\Omega) = \{1, 2, \dots, n\}$
• $\forall k \in \{1, \dots, n\}, \; \mathbb{P}(X = k) = \frac{1}{n}$
• $\mathbb{E}(X) = \frac{n+1}{2}$
• $\mathbb{V}(X) = \frac{n^2 - 1}{12}$