Cours : Réduction des endomorphismes

📌 1. Définitions & Cadre d’étude

Soit $K$ un corps commutatif (typiquement $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$), $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie $n \in \mathbb{N}^*$, et $u \in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme de $E$.

Valeurs propres, vecteurs propres, espaces propres

• Définition (Valeur propre) : Un scalaire $\lambda \in K$ est dit valeur propre de $u$ s’il existe un vecteur non nul $x \in E$, appelé vecteur propre associé, tel que : $u(x) = \lambda x$ L’ensemble des valeurs propres de $u$ est noté $\operatorname{Sp}(u)$ (le spectre de $u$).
• Définition (Espace propre) : Pour toute valeur propre $\lambda \in \operatorname{Sp}(u)$, l’ensemble $E_\lambda(u) = \ker(u - \lambda \operatorname{id}_E)$ est un sous-espace vectoriel de $E$, non réduit à $\{0\}$, appelé espace propre associé à $\lambda$.

Polynôme caractéristique

• Définition : Soit $M \in \mathcal{M}_n(K)$. Le polynôme caractéristique de $M$ est le polynôme unitaire défini par : $\chi_M(X) = \det(X I_n - M) \in K[X]$ Sa dimension (son degré) est $n$, et son coefficient dominant est $1$.
• Propriété : Pour tout endomorphisme $u$ de $E$, le choix d’une base de $E$ et la représentation par une matrice $M$ permettent de définir le polynôme caractéristique de $u$ par $\chi_u(X) = \chi_M(X)$, qui est indépendant de la base choisie.
• Lien avec les valeurs propres : Les valeurs propres de $u$ (dans $K$) sont exactement les racines de son polynôme caractéristique $\chi_u(X)$ dans $K$.

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📐 2. Théorèmes fondamentaux & Démonstrations clés

Théorème 1 : Somme directe des sous-espaces propres

Énoncé : Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ et soient $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_p$ des valeurs propres distinctes de $u$. Alors la somme des espaces propres associés est directe : $E_{\lambda_1}(u) + E_{\lambda_2}(u) + \dots + E_{\lambda_p}(u) = \bigoplus_{i=1}^p E_{\lambda_i}(u)$

Démonstration : Par récurrence sur le nombre $p$ de valeurs propres.

• Initialisation ($p=1$) : Triviale.
• Hérédité : Supposons la propriété vraie pour $p-1$ sous-espaces. Soit $x_1 + x_2 + \dots + x_p = 0$ avec $x_i \in E_{\lambda_i}(u)$ pour tout $i \in \{1, \dots, p\}$. Appliquons l’endomorphisme $u$ à cette relation : $\sum_{i=1}^p u(x_i) = \sum_{i=1}^p \lambda_i x_i = 0 \quad (\text{car } u(x_i) = \lambda_i x_i)$ Multiplions la relation initiale par $\lambda_p$ : $\sum_{i=1}^p \lambda_p x_i = 0$ Par soustraction des deux relations : $\sum_{i=1}^{p-1} (\lambda_i - \lambda_p) x_i = 0$ Par hypothèse de récurrence, les sous-espaces $E_{\lambda_1}, \dots, E_{\lambda_{p-1}}$ sont en somme directe, donc pour tout $i \in \{1, \dots, p-1\}$, $(\lambda_i - \lambda_p) x_i = 0$. Puisque $\lambda_i \neq \lambda_p$ pour $i \neq p$, on en déduit que $x_i = 0$ pour tout $i \in \{1, \dots, p-1\}$. La relation initiale se réduit alors à $x_p = 0$. La somme est donc bien directe. $\blacksquare$

Théorème 2 : Caractérisation de ladiagonalisabilité

Énoncé : Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ et $M \in \mathcal{M}_n(K)$.

1. Pour toute valeur propre $\lambda$ de $u$, on a $1 \leqslant \dim(E_\lambda(u)) \leqslant m_\lambda$, où $m_\lambda$ désigne l’ordre de multiplicité de $\lambda$ comme racine de $\chi_u(X)$.
2. L’endomorphisme $u$ est diagonalisable si et seulement si :
   • $\chi_u(X)$ est scindé sur $K$ : $\chi_u(X) = \prod_{i=1}^p (X - \lambda_i)^{m_i}$
   • Pour tout $i \in \{1, \dots, p\}$, $\dim(E_{\lambda_i}(u)) = m_i$.
3. Une condition équivalente est : $\sum_{\lambda \in \operatorname{Sp}(u)} \dim(E_\lambda(u)) = n$

Théorème de Cayley-Hamilton

Énoncé : Tout endomorphisme $u$ annule son propre polynôme caractéristique : $\chi_u(u) = 0_{\mathcal{L}(E)}$ De même, pour toute matrice $M \in \mathcal{M}_n(K)$, $\chi_M(M) = 0_n$.

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💡 3. Méthodes classiques de résolution

Méthode pour diagonaliser un endomorphisme ou une matrice

1. Calculer le polynôme caractéristique $\chi_u(X) = \det(X I_n - M)$.
2. Déterminer les valeurs propres en cherchant les racines de $\chi_u(X)$ dans $K$.
3. Vérifier si le polynôme est scindé sur $K$. Si ce n’est pas le cas (et que $K = \mathbb{R}$ alors qu’il y a des racines complexes), l’endomorphisme n’est pas diagonalisable sur $K$.
4. Pour chaque valeur propre $\lambda$ :
   • Résoudre le système linéaire homogène $(M - \lambda I_n)X = 0$ pour déterminer une base de l’espace propre $E_\lambda(u)$.
   • Calculer la dimension $\dim(E_\lambda(u))$.
5. Conclure :
   • Si $\sum \dim(E_\lambda(u)) = n$ (ou si $\dim(E_\lambda) = m_\lambda$ pour chaque valeur propre), $u$ est diagonalisable. On exhibe alors une base de vecteurs propres $\mathcal{B}$. La matrice de passage $P$ permet d’obtenir $P^{-1}MP = D$ (matrice diagonale).
   • Sinon, $u$ n’est pas diagonalisable.

Recherche d’une base de Jordan / Réduction de Dunford (Cas général)

• Décomposition de Dunford : Si $\chi_u(X)$ est scindé sur $K$, il existe un unique couple $(D, N) \in \mathcal{L}(E)^2$ tel que :
  • $u = D + N$
  • $D$ est diagonalisable
  • $N$ est nilpotent
  • $D$ et $N$ commutent ($DN = ND$).

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⚠️ 4. Pièges classiques aux Concours

1. Confondre scindé et diagonalisable : Un polynôme peut être scindé sans que l’endomorphisme ne soit diagonalisable (exemple : $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$). La condition $\chi_u$ scindé est nécessaire mais non suffisante.
2. Oublier de préciser le corps de base : Une matrice réelle peut posséder des valeurs propres complexes. Sur $K = \mathbb{R}$, elle n’est pas diagonalisable, alors qu’elle peut l’être sur $K = \mathbb{C}$. Il faut impérativement préciser le corps $K$ dans lequel on se place.
3. Erreur de multiplicité : Affirmer qu’une matrice de taille $n$ ayant $n$ valeurs propres distinctes est diagonalisable sans vérifier si ces valeurs propres appartiennent bien au corps $K$ considéré.
4. Mauvaise utilisation de Cayley-Hamilton : Le polynôme caractéristique annule la matrice, mais ce n’est pas nécessairement le polynôme minimal. Utiliser $\chi_u(u) = 0$ pour calculer des inverses ou des puissances est correct, mais parfois sous-optimal par rapport au polynôme minimal $\pi_u$.