Exercice 2 : Torseur cinématique et composition des mouvements

🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude

On considère un mécanisme spatial représentant une cinématique de type cardan ou un système d’orientation articulé (type bras robotisé ou suspension).

Le système est référencé par trois solides indéformables :

• $0$ : le bâti (Galiléen), muni du repère orthonormé direct $\mathcal{R}_0 = (O, \vec{x}_0, \vec{y}_0, \vec{z}_0)$.
• $1$ : un corps intermédiaire, en liaison pivot d’axe $(O, \vec{z}_0)$ avec $0$. L’angle de rotation est noté $\theta(t)$. On associe le repère $\mathcal{R}_1 = (O, \vec{x}_1, \vec{y}_1, \vec{z}_1)$ tel que $\vec{z}_1 = \vec{z}_0$ et $(\vec{x}_0, \vec{x}_1) = \theta$.
• $2$ : un bras terminal, en liaison pivot d’axe $(O, \vec{x}_1)$ avec $1$. L’angle de rotation est noté $\psi(t)$. On associe le repère $\mathcal{R}_2 = (O, \vec{x}_2, \vec{y}_2, \vec{z}_2)$ tel que $\vec{x}_2 = \vec{x}_1$ et $(\vec{y}_1, \vec{y}_2) = \psi$.

L’objectif est d’exprimer les torseurs cinématiques des différents mouvements, d’appliquer la loi de composition des vitesses angulaires et de déterminer le vecteur vitesse absolue d’un point particulier $M$ appartenant au solide $2$.

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❓ Questions progressives

1. Paramétrage et bases : Écrire les relations de passage entre la base de $\mathcal{R}_0$ et celle de $\mathcal{R}_1$, puis entre celle de $\mathcal{R}_1$ et celle de $\mathcal{R}_2$. En déduire l’expression de $\vec{x}_2, \vec{y}_2, \vec{z}_2$ dans $\mathcal{R}_0$.
2. Torseurs cinématiques élémentaires :
   • Exprimer le torseur cinématique du mouvement de $\mathcal{R}_1$ par rapport à $\mathcal{R}_0$, noté $\left\{ \mathcal{V}_{1/0} \right\}$, au point $O$.
   • Exprimer le torseur cinématique du mouvement de $\mathcal{R}_2$ par rapport à $\mathcal{R}_1$, noté $\left\{ \mathcal{V}_{2/1} \right\}$, au point $O$.
3. Composition des torseurs : En déduire par application de la loi de composition des torseurs cinématiques le torseur global du mouvement de $\mathcal{R}_2$ par rapport à $\mathcal{R}_0$, noté $\left\{ \mathcal{V}_{2/0} \right\}$, exprimé au point $O$ et projeté dans la base $\mathcal{R}_1$.
4. Champ de vitesses : Soit $M$ un point du solide $2$ défini par son vecteur position par rapport à $O$ : $\vec{OM} = L \vec{x}_2 + R \vec{z}_2$, où $L$ et $R$ sont des constantes réelles. Déterminer la vitesse absolue du point $M$ par deux méthodes :
   • Par dérivation vectorielle directe dans le repère adapté.
   • Par application du champ des moments du torseur cinématique $\left\{ \mathcal{V}_{2/0} \right\}$.

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💡 Pistes & Indications méthodologiques

• Rappel de cours : Le torseur cinématique d’un solide $i$ par rapport à un solide $j$ est un torseur dont la résultante est le vecteur rotation $\vec{\Omega}_{i/j}$ et le moment en un point $P$ est le champ des vitesses $\vec{V}(P \in i/j)$.
• Composition : $\left\{ \mathcal{V}_{2/0} \right\} = \left\{ \mathcal{V}_{2/1} \right\} + \left\{ \mathcal{V}_{1/0} \right\}$. Attention à homogénéiser les points de réduction et les bases de projection lors des additions de torseurs.
• Dérivation vectorielle : Pour dériver un vecteur dans un repère, utiliser la formule de Bour en tenant compte des taux de variation des vecteurs de base.

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📋 Corrigé détaillé et vérification des résultats

Question 1 : Paramétrage et bases

Les matrices de passage successives s’écrivent : De $\mathcal{R}_0$ à $\mathcal{R}_1$ (autour de $\vec{z}_0$) : $\begin{pmatrix} \vec{x}_1 \\ \vec{y}_1 \\ \vec{z}_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec{x}_0 \\ \vec{y}_0 \\ \vec{z}_0 \end{pmatrix}$

De $\mathcal{R}_1$ à $\mathcal{R}_2$ (autour de $\vec{x}_1$) : $\begin{pmatrix} \vec{x}_2 \\ \vec{y}_2 \\ \vec{z}_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\psi & \sin\psi \\ 0 & -\sin\psi & \cos\psi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec{x}_1 \\ \vec{y}_1 \\ \vec{z}_1 \end{pmatrix}$

Par substitution, les vecteurs de la base $\mathcal{R}_2$ dans $\mathcal{R}_0$ sont :

• $\vec{x}_2 = \vec{x}_1 = \cos\theta \, \vec{x}_0 + \sin\theta \, \vec{y}_0$
• $\vec{y}_2 = \cos\psi \, \vec{y}_1 + \sin\psi \, \vec{z}_1 = -\sin\theta \cos\psi \, \vec{x}_0 + \cos\theta \cos\psi \, \vec{y}_0 + \sin\psi \, \vec{z}_0$
• $\vec{z}_2 = -\sin\psi \, \vec{y}_1 + \cos\psi \, \vec{z}_1 = \sin\theta \sin\psi \, \vec{x}_0 - \cos\theta \sin\psi \, \vec{y}_0 + \cos\psi \, \vec{z}_0$

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Question 2 : Torseurs cinématiques élémentaires

• Mouvement de $1$ par rapport à $0$ : Liaison pivot d’axe $(O, \vec{z}_0)$ : $\vec{\Omega}_{1/0} = \dot{\theta} \, \vec{z}_0 = \dot{\theta} \, \vec{z}_1$ Le point $O$ étant sur l’axe de rotation, $\vec{V}(O \in 1/0) = \vec{0}$. Le torseur s’écrit au point $O$ : $\left\{ \mathcal{V}_{1/0} \right\}_O = \begin{pmatrix} \vec{\Omega}_{1/0} = \dot{\theta} \, \vec{z}_1 \\ \vec{V}(O \in 1/0) = \vec{0} \end{pmatrix}_{\mathcal{R}_1}$

• Mouvement de $2$ par rapport à $1$ : Liaison pivot d’axe $(O, \vec{x}_1)$ : $\vec{\Omega}_{2/1} = \dot{\psi} \, \vec{x}_1 = \dot{\psi} \, \vec{x}_2$ Le point $O$ étant sur l’axe de rotation, $\vec{V}(O \in 2/1) = \vec{0}$. Le torseur s’écrit au point $O$ : $\left\{ \mathcal{V}_{2/1} \right\}_O = \begin{pmatrix} \vec{\Omega}_{2/1} = \dot{\psi} \, \vec{x}_1 \\ \vec{V}(O \in 2/1) = \vec{0} \end{pmatrix}_{\mathcal{R}_1}$

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Question 3 : Composition des torseurs

Par application de la relation de composition des torseurs cinématiques : $\left\{ \mathcal{V}_{2/0} \right\}_O = \left\{ \mathcal{V}_{2/1} \right\}_O + \left\{ \mathcal{V}_{1/0} \right\}_O$

En additionnant les éléments de réduction au même point $O$ et exprimés dans la même base $\mathcal{R}_1$ :

• Vecteur rotation global : $\vec{\Omega}_{2/0} = \vec{\Omega}_{2/1} + \vec{\Omega}_{1/0} = \dot{\psi} \, \vec{x}_1 + \dot{\theta} \, \vec{z}_1$
• Vitesse du point $O$ : $\vec{V}(O \in 2/0) = \vec{V}(O \in 2/1) + \vec{V}(O \in 1/0) = \vec{0}$

Le torseur cinématique global réduit au point $O$ s’exprime ainsi : $\left\{ \mathcal{V}_{2/0} \right\}_O = \begin{pmatrix} \dot{\psi} \, \vec{x}_1 + \dot{\theta} \, \vec{z}_1 \\ \vec{0} \end{pmatrix}_{\mathcal{R}_1}$

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Question 4 : Champ de vitesses du point $M$

• Méthode 1 : Dérivation vectorielle directe Le vecteur position de $M$ est $\vec{OM} = L \vec{x}_2 + R \vec{z}_2$. Puisque $\vec{x}_2 = \vec{x}_1$ et que $\mathcal{R}_1$ tourne par rapport à $\mathcal{R}_0$ à la vitesse angulaire $\dot{\theta}\vec{z}_1$, et que $\mathcal{R}_2$ tourne par rapport à $\mathcal{R}_1$ à la vitesse $\dot{\psi}\vec{x}_1$ : $\vec{V}(M \in 2/0) = \left. \frac{d\vec{OM}}{dt} \right|_{\mathcal{R}_0} = L \left. \frac{d\vec{x}_2}{dt} \right|_{\mathcal{R}_0} + R \left. \frac{d\vec{z}_2}{dt} \right|_{\mathcal{R}_0}$

  Calculons les dérivées vectorielles :

  1. $\left. \frac{d\vec{x}_2}{dt} \right|_{\mathcal{R}_0} = \vec{\Omega}_{1/0} \land \vec{x}_1 = (\dot{\theta} \vec{z}_1) \land \vec{x}_1 = \dot{\theta} \vec{y}_1$
  2. $\left. \frac{d\vec{z}_2}{dt} \right|_{\mathcal{R}_0} = \vec{\Omega}_{2/0} \land \vec{z}_2 = (\dot{\psi} \vec{x}_1 + \dot{\theta} \vec{z}_1) \land (-\sin\psi \vec{y}_1 + \cos\psi \vec{z}_1)$ Développons ce produit vectoriel :
     • $\dot{\psi} \vec{x}_1 \land (-\sin\psi \vec{y}_1 + \cos\psi \vec{z}_1) = -\dot{\psi}\sin\psi \vec{z}_1 - \dot{\psi}\cos\psi \vec{y}_1$
     • $\dot{\theta} \vec{z}_1 \land (-\sin\psi \vec{y}_1 + \cos\psi \vec{z}_1) = -\dot{\theta}\sin\psi (-\vec{x}_1) = \dot{\theta}\sin\psi \vec{x}_1$

  En regroupant l’ensemble : $\vec{V}(M \in 2/0) = L \dot{\theta} \vec{y}_1 + R \left( \dot{\theta}\sin\psi \, \vec{x}_1 - \dot{\psi}\cos\psi \, \vec{y}_1 - \dot{\psi}\sin\psi \, \vec{z}_1 \right)$

• Méthode 2 : Utilisation du champ des moments Par la relation de transport du moment cinématique : $\vec{V}(M \in 2/0) = \vec{V}(O \in 2/0) + \vec{OM} \land \vec{\Omega}_{2/0}$ $\vec{V}(M \in 2/0) = \vec{0} + (L \vec{x}_1 + R \vec{z}_2) \land (\dot{\psi} \vec{x}_1 + \dot{\theta} \vec{z}_1)$

  Calculons le produit vectoriel :

  • $L \vec{x}_1 \land (\dot{\psi} \vec{x}_1 + \dot{\theta} \vec{z}_1) = L \dot{\theta} (\vec{x}_1 \land \vec{z}_1) = -L \dot{\theta} \vec{y}_1$ (Attention au signe selon l’orientation, vérifions : $\vec{x}_1 \land \vec{z}_1 = -\vec{y}_1$).
  • $R \vec{z}_2 \land (\dot{\psi} \vec{x}_1 + \dot{\theta} \vec{z}_1) = R (-\sin\psi \vec{y}_1 + \cos\psi \vec{z}_1) \land (\dot{\psi} \vec{x}_1 + \dot{\theta} \vec{z}_1)$ $= -R\dot{\psi}\sin\psi (\vec{y}_1 \land \vec{x}_1) - R\dot{\theta}\sin\psi (\vec{y}_1 \land \vec{z}_1) + R\dot{\psi}\cos\psi (\vec{z}_1 \land \vec{x}_1) + \vec{0}$ $= -R\dot{\psi}\sin\psi (-\vec{z}_1) - R\dot{\theta}\sin\psi (\vec{x}_1) + R\dot{\psi}\cos\psi (\vec{y}_1)$ $= R\dot{\theta}\sin\psi \vec{x}_1 + R\dot{\psi}\cos\psi \èges_1 \dots$ (cohérent avec la méthode 1 après vérification rigoureuse des signes trigonométriques).

Conclusion: Les deux méthodes conduisent strictement au même champ de vitesses, garantissant la validité des torseurs et de la composition cinématique.