Cours : Géométrie euclidienne

📌 1. Définitions & Cadre d’étude

Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel.

A. Produit scalaire

On appelle produit scalaire sur $E$ une application, notée $(\cdot \mid \cdot)$ ou $\langle \cdot, \cdot \rangle$, qui à tout couple de vecteurs $(x, y)_E^2$ associe un nombre réel $(x \mid y)$, vérifiant les axiomes suivants :

1. Bilinéarité :
   • Pour tout $y \in E$, l’application $x \mapsto (x \mid y)$ est linéaire.
   • Pour tout $x \in E$, l’application $y \mapsto (x \mid y)$ est linéaire.
2. Symétrie : Pour tous $(x, y)_E^2$, $(x \mid y) = (y \mid x)$.
3. Positivité : Pour tout $x \in E$, $(x \mid x) \ge 0$.
4. Caractère défini : Pour tout $x \in E$, $(x \mid x) = 0 \iff x = 0_E$.

Un espace vectoriel muni d’un produit scalaire est appelé espace préhilbertien réel. S’il est de dimension finie, on l’appelle espace euclidien.

B. Norme euclidienne et orthogonalité

• Norme associée : Pour tout $x \in E$, $\|x\| = \sqrt{(x \mid x)}$.
• Orthogonalité : Deux vecteurs $x$ et $y$ de $E$ sont dits orthogonaux, et on note $x \perp y$, si et seulement si $(x \mid y) = 0$.
• Supplémentaire orthogonal : Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. On définit son orthogonal par : $F^\perp = \{x \in E \mid \forall y \in F, \, (x \mid y) = 0\}$

C. Le groupe orthogonal

Soit $(E, (\cdot \mid \cdot))$ un espace euclidien. Un endomorphisme $u \in \mathcal{L}(E)$ est dit orthogonal s’il conserve le produit scalaire, c’est-à-dire : $\forall (x, y) \in E^2, \, (u(x) \mid u(y)) = (x \mid y)$ L’ensemble des endomorphismes orthogonaux de $E$ forme un groupe pour la composition, noté $\mathcal{O}(E)$ (groupe orthogonal).

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📐 2. Théorèmes fondamentaux & Démonstrations clés

A. Inégalité de Cauchy-Schwarz et Inégalité triangulaire

Théorème (Inégalité de Cauchy-Schwarz)

Pour tous vecteurs $x$ et $y$ d’un espace préhilbertien $E$ : $|(x \mid y)| \le \|x\| \|y\|$ Cas d’égalité : Il y a égalité si et seulement si la famille $(x, y)$ est liée.

Démonstration :

Si $y = 0_E$, l’inégalité est triviale ($0 \le 0$) et le cas d’égalité est immédiat. Supposons donc $y \neq 0_E$. Pour tout réel $\lambda \in \mathbb{R}$, posons : $P(\lambda) = \|x + \lambda y\|^2 = (x + \lambda y \mid x + \lambda y)$ Par bilinéarité et symétrie du produit scalaire : $P(\lambda) = (x \mid x) + 2\lambda (x \mid y) + \lambda^2 (y \mid y) = \|x\|^2 + 2(x \mid y)\lambda + \|y\|^2 \lambda^2$ Puisque $P(\lambda)$ est un trinôme du second degré en $\lambda$ à coefficients réels ($\|y\|^2 > 0$) et que $P(\lambda) = \|x + \lambda y\|^2 \ge 0$ pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$, son discriminant réduit $\Delta'$ doit être négatif ou nul : $\Delta' = (x \mid y)^2 - \|x\|^2 \|y\|^2 \le 0$ D’où $(x \mid y)^2 \le \|x\|^2 \|y\|^2$. En passant à la racine carrée, on obtient $|(x \mid y)| \le \|x\| \|y\|$.

S’il y a égalité, $\Delta' = 0$, donc le trinôme $P$ admet une racine réelle $\lambda_0$ telle que $P(\lambda_0) = 0$, soit $\|x + \lambda_0 y\|^2 = 0$, ce qui implique $x + \lambda_0 y = 0_E$ (par définition de la norme). La famille est donc liée. Réciproquement, si la famille est liée, le calcul direct montre qu’il y a égalité. $\blacksquare$

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Théorème (Inégalité triangulaire)

Pour tous vecteurs $x$ et $y$ de $E$ : $\|x + y\| \le \|x\| + \|y\|$

Démonstration :

Élevons la norme au carré en utilisant le produit scalaire : $\|x + y\|^2 = (x + y \mid x + y) = \|x\|^2 + 2(x \mid y) + \|y\|^2$ D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz, $(x \mid y) \le |(x \mid y)| \le \|x\| \|y\|$. Ainsi : $\|x + y\|^2 \le \|x\|^2 + 2\|x\| \|y\| + \|y\|^2 = (\|x\| + \|y\|)^2$ Puisque les deux membres sont positifs, en prenant la racine carrée, on conclut : $\|x + y\| \le \|x\| + \|y\| \quad \blacksquare$

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B. Théorème de Pythagore

Soient $x$ et $y$ deux vecteurs orthogonaux d’un espace préhilbertien $E$. Alors : $\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$

Démonstration :

$\|x + y\|^2 = (x + y \mid x + y) = (x \mid x) + 2(x \mid y) + (y \mid y)$ Comme $x \perp y$, on a $(x \mid y) = 0$. Il vient immédiatement : $\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 \quad \blacksquare$

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C. Théorème de la base orthonormée (Gram-Schmidt)

Tout espace euclidien $E$ de dimension finie admet au moins une base orthonormée (BON).

Démonstration (par récurrence sur la dimension $n$) :

Soit $(e_1, \dots, e_n)$ une base quelconque de $E$. On construit une base orthogonale $(v_1, \dots, v_n)$ par récurrence :

• $v_1 = e_1$
• Pour $k \ge 2$, on pose $v_k = e_k - \sum_{i=1}^{k-1} \frac{(e_k \mid v_i)}{\|v_i\|^2} v_i$ On vérifie par récurrence que pour tout $k$, la famille $(v_1, \dots, v_k)$ est orthogonale et engendre le même sous-espace que $(e_1, \dots, e_k)$. Enfin, on normalise chaque vecteur en posant $u_k = \frac{v_k}{\|v_k\|}$ pour obtenir une BON. $\blacksquare$

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💡 3. Méthodes classiques de résolution

1. Calculs de distances et projections orthogonales : Pour calculer la distance d’un vecteur $x$ à un sous-espace vectoriel $F$, on détermine la projection orthogonale $p_F(x)$ de $x$ sur $F$ à l’aide d’une BON $(u_1, \dots, u_k)$ de $F$ : $p_F(x) = \sum_{i=1}^k (x \mid u_i) u_i$ La distance recherchée est alors $d(x, F) = \|x - p_F(x)\|$.

2. Caractérisations des endomorphismes orthogonaux en dimension finie : Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ et $M$ sa matrice dans une BON. Les assertions suivantes sont équivalentes :

   • $u \in \mathcal{O}(E)$ ($u$ est orthogonal).
   • $u$ conserve la norme : $\forall x \in E, \, \|u(x)\| = \|x\|$.
   • La matrice $M$ vérifie $^tMM = I_n$ (ou $MM^t = I_n$).
   • Les colonnes (resp. lignes) de $M$ forment une base orthonormée de $\mathbb{R}^n$ muni du produit scalaire canonique.

3. Réduction des endomorphismes autoadjoints (symétriques) : Si $u = u^*$ ($u$ est symétrique), alors $u$ est diagonalisable dans une base orthonormée. Pour le démontrer ou l’exploiter :

   • Les sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont deux à deux orthogonaux.
   • On procède par récurrence sur la dimension en considérant l’orthogonal d’un vecteur propre.

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⚠️ 4. Pièges classiques aux Concours

• Confondre espace préhilbertien et espace euclidien : En dimension infinie (espaces préhilbertiens), un sous-espace vectoriel fermé n’admet pas toujours un supplémentaire orthogonal (le théorème du supplémentaire orthogonal $E = F \oplus F^\perp$ exige que $F$ soit de dimension finie ou fermé de codimension finie).
• Oubli de la dimension finie : L’équivalence entre “isométrie bijective” et “endomorphisme orthogonal” est vraie en dimension finie, mais fausse en dimension infinie (exemple de l’opérateur de décalage unilatéral/shift qui est isométrique mais non surjectif).
• Mauvaise utilisation du procédé de Gram-Schmidt : Appliquer le procédé de normalisation prématurément sur les vecteurs $v_k$ avant d’avoir terminé l’orthogonalisation alourdit considérablement les calculs numériques et conduit fréquemment à des erreurs de calculs littéraux.
• Caractère orthogonal vs symétrique : Ne pas confondre matrice orthogonale ($^tM = M^{-1}$) et matrice symétrique ($^tM = M$). Une matrice orthogonale n’est pas nécessairement diagonalisable dans $\mathbb{R}$ (ses valeurs propres sont de module $1$, par exemple les rotations du plan).