Cours : Séries entières

Cours de Mathématiques : Séries Entières

Filière : MP/PC (Option PC) — Niveau : Deuxième année
Professeur: ** CPGE - PC

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1. Introduction et Convergence des Séries Entières

1.1 Définitions fondamentales

Une série entière est une série de fonctions de la variable réelle (ou complexe) $z$, de la forme : $\sum_{n \ge 0} a_n z^n$ où $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite de nombres réels ou complexes (les coefficients de la série).

1.2 Le Théorème fondamental (Abel)

Théorème (Abel) : Si la suite $(a_n z_0^n)_n$ est bornée pour un certain $z_0 \in \mathbb{K} \setminus \{0\}$, alors pour tout $z \in \mathbb{K}$ tel que $|z| < |z_0|$, la série entière $\sum a_n z^n$ converge absolument.

Démonstration (Esquisse) : Il existe $M > 0$ tel que pour tout $n$, $|a_n z_0^n| \le M$. Pour $|z| < |z_0|$, on écrit : $|a_n z^n| = |a_n z_0^n| \left| \frac{z}{z_0} \right|^n \le M \left( \frac{|z|}{|z_0|} \right)^n$ Comme $\frac{|z|}{|z_0|} < 1$, le majorant est le terme général d’une série géométrique convergente. Par comparaison, la série $\sum |a_n z^n|$ converge. $\blacksquare$

1.3 Rayon de convergence

Définition-Théorème : Il existe un unique réel $R \in [0, +\infty]$, appelé rayon de convergence de la série entière, tel que :

1. Si $|z| < R$, la série $\sum a_n z^n$ converge absolument.
2. Si $|z| > R$, la série diverge grossièrement (le terme général ne tend pas vers 0).
3. Si $R = 0$, la série ne converge que pour $z = 0$.
4. Si $R = +\infty$, la série converge absolument pour tout $z \in \mathbb{K}$.

L’intervalle (ou le disque) de convergence est $[-R, R]$ (ouvert, fermé ou semi-ouvert selon la nature de la convergence aux bornes).

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2. Propriétés de la somme d’une série entière

Soit $R > 0$ le rayon de convergence de $\sum a_n z^n$. On définit la fonction somme $S$ sur l’intervalle ouvert $]-R, R[$ (dans le cas réel) par : $S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$

2.1 Continuité

Théorème : La fonction $S$ est continue sur $]-R, R[$. Preuve: * Résulte de la convergence normale sur tout compact $[-K, K]$ avec $0 < K < R$.

2.2 Intégration terme à terme

Théorème : La fonction $S$ est continue, donc intégrable sur tout segment $[a, b] \subset ]-R, R[$. De plus, on peut intégrer terme à terme : $\int_{a}^{b} \left( \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n \right) dx = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \int_{a}^{b} x^n dx = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1}$

2.3 Dérivation terme à terme

Théorème :

1. La série dérivée $\sum n a_n x^{n-1}$ a le même rayon de convergence $R$ que la série initiale.
2. La fonction $S$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $]-R, R[$.
3. Sa dérivée s’obtient par dérivation terme à terme : $\forall x \in ]-R, R[, \quad S'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n x^{n-1}$

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3. Développements en Série Entière usuels (DSE)

À connaître absolument par cœur pour les concours :

Fonction	DSE	Rayon de convergence $R$	Domaine de validité
$\frac{1}{1-x}$	$\sum_{n=0}^{+\infty} x^n$	$1$	$]-1, 1[$
$\frac{1}{1+x}$	$\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^n$	$1$	$]-1, 1[$
$\ln(1+x)$	$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n$	$1$	$]-1, 1]$
$\arctan(x)$	$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}$	$1$	$[-1, 1]$
$e^x$	$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!}$	$+\infty$	$\mathbb{R}$
$\cos(x)$	$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}$	$+\infty$	$\mathbb{R}$
$\sin(x)$	$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}$	$+\infty$	$\mathbb{R}$
$(1+x)^\alpha$	$\sum_{n=0}^{+\infty} \binom{\alpha}{n} x^n$	$1$	$]-1, 1[$

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4. Méthodes de calculs et de recherche de DSE

4.1 Recherche du Rayon de Convergence

1. Règle de d’Alembert (lorsque $a_n$ ne s’annule pas) : Si $\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \xrightarrow{n \to +\infty} L$, alors $R = \frac{1}{L}$ (avec la convention $1/0 = +\infty$ et $1/\infty = 0$).
2. Comparaison ou minoration directe : Utile si $a_n$ contient des factorielles ou des expressions polynomiales complexes.
3. Lemme de abel sur les coefficients : Si $(a_n r^n)$ est bornée, alors $R \ge |r|$.

4.2 Obtenir le DSE d’une fonction

• Méthode 1 : Par manipulation algébrique (Substitution, Produit) Utiliser les DSE usuels en remplaçant $x$ par une expression $q(x)$ (si $|q(x)| < R$).
• Méthode 2 : Par équation différentielle
  1. Supposer que $f$ admet un DSE $f(x) = \sum a_n x^n$ de rayon $R > 0$.
  2. Injecter ce DSE dans l’équation différentielle vérifiée par $f$.
  3. Décaler les indices pour obtenir une seule somme $\sum (...) x^n = 0$.
  4. Par unicités des coefficients d’une série entière, en déduire une relation de récurrence sur $(a_n)$.
  5. Résoudre la récurrence, puis déterminer $R$.
• Méthode 3 : Par intégration/dérivation Si $f'(x)$ ou $f(x)/(1+x)$ possède un DSE facile à trouver, l’intégrer ou le dériver terme à terme.

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5. Pièges à éviter en colles et écrits ⚠️

1. Confondre convergence simple et convergence normale/absolue : Sur le bord de l’intervalle de convergence ($x = R$ ou $x = -R$), la série entière peut converger (souvent par le critère des séries alternées ou Abel), mais il n’y a plus nécessairement convergence normale. La continuité sur le bord $[ -R, R ]$ nécessite un théorème spécifique (Abel angulaire/radial).
2. Oublier le domaine de validité : Écrire $\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^{2n}$ est valable uniquement pour $x \in ]-1, 1[$. Ne l’utilisez pas naïvement pour des intégrales sur $\mathbb{R}$ entier sans découpage !
3. Erreur de décalage d’indices (Indice muet) : Lorsque l’on dérive une série $\sum_{n=0} a_n x^n$, la somme commence à $n=1$ car le terme constant $a_0$ disparaît : $\sum_{n=1} n a_n x^{n-1}$. Ne commencez pas bêtement à $n=0$.
4. Calcul hâtif du rayon : Si la règle de d’Alembert échoue (oscillations, coefficients nuls par intermittence), il faut utiliser la définition ou des majorations, et non conclure hâtivement que $R=0$ ou $R=1$.