📌 1. Définitions & Cadre d'étude

📌 1. Définitions & Cadre d’étude

Le cadre d’étude de l’électromagnétisme macroscopique repose sur l’hypothèse de l’Continuum spatial et temporel. Les champs fondamentaux sont le champ électrique $\vec{E}(M, t)$ (exprimé en $\text{V}\cdot\text{m}^{-1}$) et le champ magnétique $\vec{B}(M, t)$ (exprimé en $\text{T}$).

Les sources de ces champs sont la densité volumique de charge $\rho(M, t)$ (en $\text{C}\cdot\text{m}^{-3}$) et la densité volumique de courant $\vec{j}(M, t)$ (en $\text{A}\cdot\text{m}^{-2}$).

Les équations de Maxwell, postulats fondamentaux de l’électromagnétisme, s’écrivent sous forme locale :

1. Équation de Maxwell-Gauss (MG) : $\text{div}(\vec{E}) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$
2. Équation de Maxwell-Thomson (MT) : $\text{div}(\vec{B}) = 0$
3. Équation de Maxwell-Faraday (MF) : $\vec{\text{rot}}(\vec{E}) = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$
4. Équation de Maxwell-Ampère (MA) : $\vec{\text{rot}}(\vec{B}) = \mu_0 \vec{j} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$

Où $\varepsilon_0$ désigne la permittivité diélectrique du vide (en $\text{F}\cdot\text{m}^{-1}$) et $\mu_0$ la perméabilité magnétique du vide (en $\text{H}\cdot\text{m}^{-1}$), reliées à la vitesse de la lumière dans le vide $c$ par la relation : $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$

📐 2. Théorèmes fondamentaux & Démonstrations clés

Démonstration : Établissement de l’équation d’onde dans le vide

Dans le vide (milieu diélectrique parfait), les sources sont nulles : $\rho = 0$ et $\vec{j} = \vec{0}$. Les équations de Maxwell deviennent :

1. $\text{div}(\vec{E}) = 0$
2. $\text{div}(\vec{B}) = 0$
3. $\vec{\text{rot}}(\vec{E}) = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$
4. $\vec{\text{rot}}(\vec{B}) = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ Objectif: ** Obtenir l’équation de propagation pour le champ $\vec{E}$.

Étape 1 : Appliquer l’opérateur rotationnel à l’équation de Maxwell-Faraday : $\vec{\text{rot}}\left(\vec{\text{rot}}(\vec{E})\right) = \vec{\text{rot}}\left(-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\right)$

Étape 2 : Utiliser l’identité vectorielle valable pour tout champ de vecteur $\vec{V}$ de classe $\mathcal{C}^2$ : $\vec{\text{rot}}\left(\vec{\text{rot}}(\vec{V})\right) = \vec{\text{grad}}\left(\text{div}(\vec{V})\right) - \Delta \vec{V}$

Étape 3 : Appliquer cette identité à $\vec{E}$ en tenant compte de $\text{div}(\vec{E}) = 0$ (Maxwell-Gauss dans le vide) : $\vec{\text{rot}}\left(\vec{\text{rot}}(\vec{E})\right) = \vec{0} - \Delta \vec{E} = -\Delta \vec{E}$

Étape 4 : Permuter les dérivations spatiale et temporelle dans le membre de droite de l’équation de Maxwell-Faraday injectée : $\vec{\text{rot}}\left(-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\right) = -\frac{\partial}{\partial t}\left(\vec{\text{rot}}(\vec{B})\right)$

Étape 5 : Utiliser l’équation de Maxwell-Ampère dans le vide pour remplacer $\vec{\text{rot}}(\vec{B})$ : $-\frac{\partial}{\partial t}\left(\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right) = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}$ Conclusion: * En égalant les deux expressions du rotationnel du rotationnel, on obtient l’équation de d’Alembert (ou équation d’onde) pour le champ électrique : $\Delta \vec{E} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0} \quad \text{soit} \quad \Delta \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0}$

Une démarche rigoureusement identique (en partant du rotationnel de Maxwell-Ampère) conduit à la même équation pour le champ magnétique $\vec{B}$ : $\Delta \vec{B} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} = \vec{0}$

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💡 3. Méthodes de calcul & Algorithmes

Étude d’une Onde Electromagnétique Plane Progressive Sinusoïdale (OEMPPS)

Une OEMPPS se propageant selon la direction $\vec{u}_z$ s’écrit sous forme complexe (notation phasorielle) : $\underline{\vec{E}}(z, t) = \underline{\vec{E}}_0 \exp\left(j(\omega t - k z)\right)$ où $\underline{\vec{E}}_0$ est un vecteur amplitude complexe orthogonal à $\vec{u}_z$ (transversalité), $\omega$ la pulsation (en $\text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$) et $k$ le vecteur d’onde lié à la vitesse de phase $v_\phi$ par $k = \frac{\omega}{v_\phi}$.

Algorithme de résolution pour relier $\vec{E}$ et $\vec{B}$ :

1. Utiliser Maxwell-Faraday sous forme locale : $\vec{\text{rot}}(\vec{E}) = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$
2. Traduire en notation complexe (pour une dépendance en $\exp(j(\omega t - kz))$) : $\vec{\text{grad}}(-kz) \wedge \underline{\vec{E}} = -j\omega \underline{\vec{B}} \quad \implies \quad -j k \vec{u}_z \wedge \underline{\vec{E}} = -j\omega \underline{\vec{B}}$
3. Isoler le champ magnétique complexe : $\underline{\vec{B}} = \frac{k}{\omega} \vec{u}_z \wedge \underline{\vec{E}} = \frac{1}{c} \vec{u}_z \wedge \underline{\vec{E}}$
4. En déduire la structure du champ : Le trièdre $(\vec{E}, \vec{B}, \vec{u}_z)$ forme un repère orthogonal direct (structure dite “plane”). L’amplitude vérifie $B = \frac{E}{c}$.

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⚠️ 4. Pièges classiques aux Concours

1. Oubli du courant de déplacement : En régime variable, le terme de courant de déplacement $\varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ dans Maxwell-Ampère est fondamental. Sans lui, aucune propagation d’onde n’est mathématiquement possible (pas d’équation d’onde).
2. Confusion entre opérateur nabla et multiplication : Le produit vectoriel $\vec{\text{rot}}(\vec{V})$ ne se traite pas avec les règles algébriques usuelles d’un produit vectoriel classique sans précaution (bien appliquer $\vec{\text{grad}}(\text{div}) - \Delta$).
3. Conditions de transversalité : Pour une onde plane, les champs $\vec{E}$ et $\vec{B}$ sont strictement orthogonaux à la direction de propagation $\vec{u}_z$ dans le vide. Ne jamais l’oublier lors de la projection des équations.
4. Homogénéité des équations : Vérifier systématiquement l’homogénéité des expressions littérales (par exemple, un terme en $\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2}$ est homogène à l’inverse d’une vitesse au carré $\frac{1}{v^2}$, soit $\text{s}^2\cdot\text{m}^{-2}$).