Exercice 1 : Michelson et fentes d Young

Problème guidé : Étude comparée et couplée d’interféromètres (Michelson et Fentes d’Young)

Ce problème aborde un grand classique des concours de la filière MP : l’analyse comparative des systèmes interférentiels à division d’onde et à division d’amplitude, ainsi que la notion de cohérence spatiale et temporelle.

---

Préambule et notations

On considère une source lumineuse laser émettant une radiation monochromatique de longueur d’onde $\lambda_0$ dans le vide. On pose $\sigma_0 = \frac{1}{\lambda_0}$ le nombre d’onde associé. Les milieux traversés sont assimilés au vide ($n = 1$).

L’exercice se compose de deux parties indépendantes dans leur montage initial, mais reliées par l’étude de la visibilité des franges.

---

Partie I : Le dispositif des fentes d’Young

On dispose deux fentes fines $F_1$ et $F_2$ distantes de $a = 1.0\text{ mm}$, éclairées par une source ponctuelle $S$ monochromatique de longueur d’onde $\lambda_0 = 600\text{ nm}$. Un écran d’observation $E$ est placé à une distance $D = 1.5\text{ m}$ des fentes.

Question 1

Établir l’expression de la différence de marche $\delta(x)$ en un point $M$ de l’écran repéré par sa coordonnée cartésienne $x$ (axe parallèle à la direction $(F_1F_2)$, origine $O$ sur l’axe optique). On se placera dans l’approximation des fentes minces et des conditions de Gauss ($x \ll D$ et $a \ll D$).

Corrigé guidé :

1. Exprimer les chemins optiques : Soit $S$ sur l’axe optique. Le chemin optique du trajet $S \to F_1 \to M$ est $L_1 = SF_1 + F_1M$. De même, $L_2 = SF_2 + F_2M$.
2. Différence de marche : $\delta = (SF_2 + F_2M) - (SF_1 + F_1M)$. Puisque $S$ est sur l’axe équidistant de $F_1$ et $F_2$, on a $SF_1 = SF_2$. Il vient : $\delta = F_2M - F_1M$
3. Calcul géométrique : Dans le plan $(Ox)$, soit $F_1\left(0, -\frac{a}{2}\right)$, $F_2\left(0, +\frac{a}{2}\right)$ et $M(D, x)$. $F_1M^2 = D^2 + \left(x + \frac{a}{2}\right)^2 \quad \text{et} \quad F_2M^2 = D^2 + \left(x - \frac{a}{2}\right)^2$
4. Approximation (Gauss) : Factoriser par $D^2$ et utiliser le développement limité $(1+\epsilon)^{\alpha} \approx 1 + \alpha\epsilon$ pour $\epsilon \ll 1$.

Résultat :

$F_2M - F_1M \approx \frac{ax}{D}$ Soit $\delta(x) = \frac{ax}{D}$.

---

Question 2

En déduire l’expression de l’éclairement $I(x)$ sur l’écran. Calculer l’interfrange $i$. Faire l’application numérique.

Corrigé guidé :

1. L’éclairement pour deux ondes d’intensités égales $I_0$ s’écrit : $I(x) = 2I_0 \left(1 + \cos\left(\frac{2\pi \delta(x)}{\lambda_0}\right)\right) = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\pi a x}{\lambda_0 D}\right)$
2. L’interfrange $i$ correspond à la distance entre deux maxima d’éclairement consécutifs, soit $\frac{2\pi a i}{\lambda_0 D} = \pi$, ce qui donne : $i = \frac{\lambda_0 D}{a}$
3. Application numérique : $i = \frac{600 \times 10^{-9} \times 1.5}{1.0 \times 10^{-3}} = 9.0 \times 10^{-4}\text{ m} = 0.90\text{ mm}$

---

Partie II : L’interféromètre de Michelson en air

On utilise maintenant un interféromètre de Michelson réglé au contact optique, puis on déplace l’un des miroirs ($M_1$) d’une distance $e$. La source est la même que précédemment ($\lambda_0 = 600\text{ nm}$).

Question 3

Rappeler brièvement le principe de la localisation des franges avec une source étendu (utilisée ici) et préciser la nature des franges obtenues au voisinage du contact optique (miroirs rigoureusement perpendiculaires).

Corrigé guidé :

1. Localisation : Le Michelson équivaut à un système de deux sources (ou de deux miroirs fictifs $M_1'$ et $M_2$). Les interfranges sont localisées à l’infini pour une source à l’infini (ou sur le miroir $M_1'$ et son image si la source est étendue).
2. Nature des franges : Au contact optique ($e = 0$), la différence de marche est nulle partout, l’éclairement est uniforme (teinte plate d’ordre zéro, champ entièrement noir ou blanc selon le déphasage à la réflexion). Lorsque $e$ croît légèrement, on observe des franges d’égale inclinaison (anneaux circulaires) si le miroir $M_1$ et l’image $M_2'$ sont rigoureusement parallèles.

---

Question 4

On modifie le réglage du Michelson pour observer des franges d’égale épaisseur (ou franges de wedge / coin d’air) en inclinant légèrement le miroir $M_2$ d’un angle $\alpha$. La différence de marche s’écrit alors $\delta(x) = 2(e + \alpha x)$, où $x$ est la coordonnée transversale sur le miroir. Exprimer l’interfrange $i'$ de ces nouvelles franges de Michelson en fonction de $\lambda_0$ et $\alpha$.

Corrigé guidé :

1. La condition d’interfrange est donnée par un décalage de $\lambda_0$ de la différence de marche : $\delta(x+i') - \delta(x) = \lambda_0 \implies 2\alpha i' = \lambda_0$
2. On en déduit : $i' = \frac{\lambda_0}{2\alpha}$

---

Partie III : Couplage et analyse critique

Question 5

On souhaite simuler le dispositif des fentes d’Young à l’aide du Michelson réglé en coin d’air. Déterminer la valeur de l’angle d’inclinaison $\alpha$ du miroir du Michelson pour que l’interfrange $i'$ du Michelson soit rigoureusement égal à l’interfrange $i$ des fentes d’Young calculé à la Partie I.

Corrigé guidé :

1. Poser l’égalité des interfranges : $i' = i$.
2. $\frac{\lambda_0}{2\alpha} = \frac{\lambda_0 D}{a} \implies \alpha = \frac{a}{2D}$.
3. Application numérique : $\alpha = \frac{1.0 \times 10^{-3}}{2 \times 1.5} \approx 3.33 \times 10^{-4}\text{ rad} \ (\approx 0.019^\circ)$

---

Question 6 (Analyse critique)

Bien que les interfranges soient identiques, discutez brièvement des différences fondamentales entre ces deux montages concernant :

1. La nature de la division (amplitude vs onde).
2. La condition de cohérence temporelle (largeur de la source, spectre).

Corrigé guidé :

1. Nature de la division :
   • Fentes d’Young : Division d’onde. Une même fronton d’onde est séparé géométriquement par les deux fentes.
   • Michelson : Division d’amplitude. L’onde incidente est séparée en deux (réflexion et transmission) par la lame séparatrice. Chaque onde parcourt l’ensemble du champ.
2. Cohérence temporelle et spatiale :
   • Le Michelson en configuration “coin d’air” avec une source étendue permet d’observer des franges localisées. Cependant, si la source n’est pas strictement monochromatique (largeur spectrale $\Delta\lambda$), les brouillages de franges apparaissent rapidement lorsque l’ordre d’interférence $p = \frac{\delta}{\lambda_0}$ devient grand (limite de cohérence temporelle $\Delta t \approx \frac{\lambda_0^2}{c \Delta\lambda}$).
   • Les fentes d’Young nécessitent une excellente cohérence spatiale (d’où la nécessité d’une fente source amont pour éclairer $F_1$ et $F_2$ en phase), sous peine de voir le contraste des franges s’annuler par translation des systèmes de franges non cohérents entre eux.

---

Bilan du candidat (Méthode)

À retenir pour les concours :

• Savoir toujours relier la différence de marche $\delta$ à la géométrie du dispositif via un développement limité (approximation paraxiale).
• Ne pas confondre la nature des franges (anneaux d’égale inclinaison vs rectilignes d’égale épaisseur).
• La visibilité des franges est toujours le juge de paix pour tester la limite d’utilisation d’un interféromètre.