Exercice 2 : Marges de phase et de gain, lieux de Bode et Nyquist

🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude

On s’intéresse à l’asservissement en position d’un axe motorisé utilisé dans un système aéronautique. Le schéma-blocs de la boucle de régulation est donné par une structure classique à retour unitaire.

La fonction de transfert en boucle ouverte du système non corrigé, notée $H_{BO}(p)$, est définie par : $H_{BO}(p) = \frac{K}{p(1 + \tau_1 p)(1 + \tau_2 p)}$

On pose les valeurs numériques suivantes pour l’application numérique :

• $K = 10 \text{ s}^{-1}$
• $\tau_1 = 0,1 \text{ s}$
• $\tau_2 = 0,02 \text{ s}$

L’objectif de ce problème est d’analyser la stabilité relative du système asservi en utilisant les diagrammes de Bode et le diagramme de Nyquist, puis de proposer une correction proportionnelle-dérivée (PD) pour améliorer les performances dynamiques.

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❓ Questions progressives

1. Analyse qualitative de la FTBO : Préciser la classe et l’ordre du système en boucle ouverte. En déduire le comportement asymptotique du diagramme de Bode en gain (asymptote basse fréquence).
2. Diagramme de Bode - Tracé asymptotique :
   • Identifier les pulsations caractéristiques (pulsations de cassure).
   • Tracer l’allure des diagrammes de Bode asymptotiques (gain en $\text{dB}$ et phase en degrés) de la FTBO.
3. Stabilité et Marges de stabilité :
   • Définir rigoureusement la pulsation de coupure à 0 dB ($\omega_{c0}$) et la pulsation critique ($\omega_{-180}$).
   • Exprimer littéralement et calculer graphiquement ou analytiquement la marge de phase ($M_\phi$) et la marge de gain ($M_G$).
   • Conclure quant à la stabilité du système bouclé.
4. Diagramme de Nyquist :
   • Tracer l’allure du diagramme de Nyquist de $H_{BO}(j\omega)$ pour $\omega \in [0, +\infty[$.
   • Retrouver graphiquement la marge de phase et la marge de gain sur ce diagramme.
5. Correction du système :
   • Pour des raisons de cahier des charges, on souhaite obtenir une marge de phase supérieure à $45^\circ$. Le système non corrigé satisfait-il cette condition ?
   • Proposer l’ajout d’un correcteur proportionnel-dérivé (PD) de la forme $C(p) = K_c(1 + T_d p)$ pour améliorer cette marge de phase. Expliquer qualitativement l’effet de ce correcteur sur la phase au voisinage de la pulsation de coupure.

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💡 Pistes & Indications méthodologiques

• Pour les diagrammes de Bode : Pensez à mettre la fonction de transfert sous sa forme canonique avant de déterminer les pentes et les retards de phase induits par les pôles réels.
• Pour la pulsation de coupure à 0 dB ($\omega_{c0}$) : Elle se détermine par l’équation $|H_{BO}(j\omega_{c0})| = 1$ (soit $20\log(|H_{BO}(j\omega_{c0})|) = 0 \text{ dB}$). Souvent, dans les zones de transition, l’approximation de l’asymptote simplifie le calcul.
• Pour la marge de phase : $M_\phi = 180^\circ + \arg(H_{BO}(j\omega_{c0}))$. Attention au sens des angles (négatifs pour les retards de phase).
• Pour la marge de gain : On cherche d’abord $\omega_{-180}$ telle que $\arg(H_{BO}(j\omega_{-180})) = -180^\circ$, puis $M_G = -20\log(|H_{BO}(j\omega_{-180})|)$ en $\text{dB}$.
• Pour Nyquist : Étudiez le comportement de la partie réelle et de la partie imaginaire quand $\omega \to 0$ et $\omega \to +\infty$, ainsi que l’intersection avec l’axe réel négatif.

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📋 Corrigé détaillé pas à pas

1. Analyse qualitative de la FTBO

La fonction de transfert s’écrit : $H_{BO}(p) = \frac{10}{p(1 + 0,1p)(1 + 0,02p)}$

• Classe : Le dénominateur possède un terme en $p^1$ seul (intégration pure). Le système est de classe 1.
• Ordre : Le degré du polynôme dénominateur en $p$ est $3$. Le système est d’ordre 3.
• Comportement BF : Lorsque $\omega \to 0$, $H_{BO}(j\omega) \approx \frac{10}{j\omega}$. Le gain asymptotique en basses fréquences est une droite de pente $-20 \text{ dB/décade}$.

2. Diagramme de Bode - Tracé asymptotique

• Pulsations de cassure :
  • $\omega_1 = \frac{1}{\tau_1} = \frac{1}{0,1} = 10 \text{ rad/s}$
  • $\omega_2 = \frac{1}{\tau_2} = \frac{1}{0,02} = 50 \text{ rad/s}$
• Allure du gain (dB) :
  • Pour $\omega < 10 \text{ rad/s}$ : Pente de $-20 \text{ dB/décade}$ passant par $20\log(10) = 20 \text{ dB}$ à $\omega = 1 \text{ rad/s}$.
  • Pour $10 < \omega < 50 \text{ rad/s}$ : Pente de $-40 \text{ dB/décade}$ (suite au pôle en $10$).
  • Pour $\omega > 50 \text{ rad/s}$ : Pente de $-60 \text{ dB/décade}$ (suite au pôle en $50$).
• Allure de la phase :
  • Démarre à $-90^\circ$ en $\omega = 0$ (à cause de l’intégrateur $1/p$).
  • Tend vers $-270^\circ$ en haute fréquence ($\,90^\circ$ par pôle).

3. Stabilité et Marges de stabilité

• Pulsation de coupure $\omega_{c0}$ : À la pulsation $\omega_{c0}$, le gain vaut $0 \text{ dB}$. Supposons que $\omega_{c0}$ se situe entre $10$ et $50 \text{ rad/s}$ (zone à $-40 \text{ dB/décade}$). L’équation du gain asymptotique dans cette zone s’écrit : $20\log(10) - 20\log(\omega_{1}) - 40\log\left(\frac{\omega_{c0}}{\omega_1}\right) = 0$ Soit $20 - 20 - 40\log\left(\frac{\omega_{c0}}{10}\right) = 0 \implies \log\left(\frac{\omega_{c0}}{10}\right) = 0 \implies \omega_{c0} = 10 \text{ rad/s}$. (Vérification exacte : à $\omega = 10$, $|H_{BO}(j10)| = \frac{10}{10 \times \sqrt{1 + 1^2} \times \sqrt{1 + 0,2^2}} = \frac{1}{\sqrt{2} \times \sqrt{1,04}} \approx 0,69$ soit $-3,2 \text{ dB}$. La coupure réelle est donc légèrement inférieure, $\omega_{c0} \approx 8 \text{ rad/s}$. Pour la suite, faisons les calculs rigoureux à la pulsation réelle).

  Calculons la phase à $\omega_{c0} \approx 8 \text{ rad/s}$ : $\arg(H_{BO}(j\omega_{c0})) = -90^\circ - \arctan(0,1 \times 8) - \arctan(0,02 \times 8)$ $\arg(H_{BO}(j8)) = -90^\circ - \arctan(0,8) - \arctan(0,16) \approx -90^\circ - 38,7^\circ - 9,1^\circ = -137,8^\circ$

• Marge de phase ($M_\phi$) : $M_\phi = 180^\circ + \arg(H_{BO}(j\omega_{c0})) = 180^\circ - 137,8^\circ = \mathbf{42,2^\circ}$

• Pulsation critique $\omega_{-180}$ : On cherche $\omega$ tel que $\arg(H_{BO}(j\omega)) = -180^\circ$. $-90^\circ - \arctan(0,1\omega) - \arctan(0,02\omega) = -180^\circ \implies \arctan(0,1\omega) + \arctan(0,02\omega) = 90^\circ$ En utilisant la formule $\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}$ avec $a+b = 90^\circ$ (donc $\tan(a+b) \to \infty$, soit le dénominateur s’annule) : $0,1\omega_{-180} \times 0,02\omega_{-180} = 1 \implies 0,002 \omega_{-180}^2 = 1 \implies \omega_{-180} = \sqrt{\frac{1}{0,002}} = \sqrt{500} \approx \mathbf{22,36 \text{ rad/s}}$

• Marge de gain ($M_G$) : On calcule le gain à cette pulsation : $|H_{BO}(j\omega_{-180})| = \frac{10}{22,36 \times \sqrt{1 + (0,1 \times 22,36)^2} \times \sqrt{1 + (0,02 \times 22,36)^2}}$ $|H_{BO}(j22,36)| = \frac{10}{22,36 \times \sqrt{1 + 5} \times \sqrt{1 + 0,2}} = \frac{10}{22,36 \times \sqrt{6} \times \sqrt{1,2}} = \frac{10}{22,36 \times 2,45 \times 1,095} \approx 0,166$ $M_G = -20\log(0,166) \approx \mathbf{15,6 \text{ dB}}$

• Conclusion sur la stabilité : $M_\phi > 0$ et $M_G > 0$, le système bouclé est stable.

4. Diagramme de Nyquist

• Allure :
  • Pour $\omega \to 0^+$, le vecteur part de l’infini avec un argument de $-90^\circ$ (demi-plan inférieur droit, asymptotique à une droite verticale).
  • Le lieu contourne les quadrants pour couper l’axe réel négatif en un point d’abscisse $-\frac{1}{M_G} \approx -0,166$ à la pulsation $\omega_{-180} = 22,36 \text{ rad/s}$.
  • Il se termine à l’origine $(0,0)$ avec un angle de $-270^\circ$.
• Représentation des marges :
  • Le point critique $(-1 + j0)$ est à l’extérieur du lieu. Le nombre d’tours autour de ce point est nul ($Z = N + P = 0 + 0 = 0$), confirmant la stabilité (critère du revers).
  • La marge de gain se lit sur l’axe réel négatif comme l’inverse de la distance entre l’origine et le point d’intersection du lieu avec cet axe.
  • La marge de phase correspond à l’angle entre le semi-axe réel négatif et le vecteur reliant l’origine au point d’intersection du lieu de Nyquist avec le cercle unité.

5. Correction du système

• Satisfaction du cahier des charges : La marge de phase actuelle est de $42,2^\circ$, ce qui est inférieur aux $45^\circ$ requis. Le système non corrigé ne satisfait pas le cahier des charges.
• Apport du correcteur PD $C(p) = K_c(1 + T_d p)$ : Le terme $(1 + T_d p)$ apporte une avance de phase positive dans la plage de fréquences choisie. En plaçant judicieusement le zéro du correcteur avant la pulsation de coupure, on majore la phase de la FTBO au voisinage de $\omega_{c0}$, ce qui a pour effet direct d’augmenter la marge de phase et d’améliorer la rapidité du système tout en conservant une bonne stabilité relative.