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CPGE Futur

Exercice 1 : Torseurs cinématiques

🌐 Énoncé du problème / Étude de cas

Section titled “🌐 Énoncé du problème / Étude de cas”

On s’intéresse au mécanisme d’orientation d’un panneau solaire bifacial destiné à une centrale photovoltaïque de forte puissance. Pour maximiser le rendement énergétique au cours de la journée, le panneau doit pivoter autour d’un axe horizontal orienté Est-Ouest.

Le système étudié est modélisé par le schéma cinématique spatial ci-dessous. Il est composé de quatre solides indéformables :

  • 0\text{0} : Le bâti fixe (ancré au sol, repère galiléen R0(O,x⃗0,y⃗0,z⃗0)\mathcal{R}_0(O, \vec{x}_0, \vec{y}_0, \vec{z}_0) où z⃗0\vec{z}_0 est vertical ascendant, et x⃗0\vec{x}_0 est orienté vers le Nord).
  • 1\text{1} : Un support intermédiaire en rotation par rapport à 0\text{0} autour de l’axe (O,z⃗0)(O, \vec{z}_0) d’angle ψ\psi (azimut).
  • 2\text{2} : Le bras de support en rotation par rapport à 1\text{1} autour de l’axe (A,x⃗1)(A, \vec{x}_1) (avec x⃗1=x⃗0\vec{x}_1 = \vec{x}_0) d’angle θ\theta (site).
  • 3\text{3} : Le panneau solaire proprement dit, rigidement lié au bras 2\text{2} pour cette phase d’étude (V⃗(P∈3/2)=0⃗{\vec{V}(P \in 3/2) = \vec{0}} pour tout point PP).

Données géométriques et ordres de grandeur réalistes :

  • Le vecteur OA⃗=Hz⃗0\vec{OA} = H \vec{z}_0 avec H=2,5 mH = 2{,}5\text{ m}.
  • Le centre de gravité du panneau 3\text{3} est noté GG, tel que AG⃗=Ly⃗2\vec{AG} = L \vec{y}_2 avec L=1,5 mL = 1{,}5\text{ m} (où y⃗2\vec{y}_2 est un vecteur lié au solide 2\text{2}).
  • Le système est soumis à des sollicitations cinématiques imposées par des motorisations à commande numérique.

❓ Questions progressives (incluant des questions d’analyse critique)

Section titled “❓ Questions progressives (incluant des questions d’analyse critique)”

  1. Paramétrage et bases cinématiques Définir les bases B0(x⃗0,y⃗0,z⃗0)\mathcal{B}_0(\vec{x}_0, \vec{y}_0, \vec{z}_0), B1(x⃗1,y⃗1,z⃗1)\mathcal{B}_1(\vec{x}_1, \vec{y}_1, \vec{z}_1) et B2(x⃗2,y⃗2,z⃗2)\mathcal{B}_2(\vec{x}_2, \vec{y}_2, \vec{z}_2) en précisant les angles de rotation ψ\psi et θ\theta. Exprimer les matrices de passage correspondantes.

  2. Torseurs cinématiques élémentaires Exprimer le torseur cinématique du mouvement du solide 1\text{1} par rapport au solide 0\text{0}, noté V(1/0)\mathcal{V}(\text{1}/\text{0}), au point OO dans la base B0\mathcal{B}_0. Exprimer de même le torseur cinématique du mouvement du solide 2\text{2} par rapport au solide 1\text{1}, noté V(2/1)\mathcal{V}(\text{2}/\text{1}), au point AA dans la base B1\mathcal{B}_1.

  3. Composition des torseurs cinématiques Par application de la loi de composition des torseurs cinématiques, déterminer l’expression du torseur cinématique du mouvement de 3\text{3} par rapport à 0\text{0}, noté V(3/0)\mathcal{V}(\text{3}/\text{0}), exprimé au point AA dans la base B2\mathcal{B}_2.

  4. Champ de vitesses En déduire l’expression vectorielle de la vitesse absolue du centre de gravité du panneau GG, soit V⃗(G∈3/0)\vec{V}(G \in \text{3}/\text{0}), exprimée dans la base B2\mathcal{B}_2.

  5. Analyse critique et limites du modèle Dans la réalité industrielle, les structures subissent des efforts de vent importants.

    • Si l’on considère une rafale de vent modélisée par une force aérodynamique s’exerçant en GG, quel est l’impact de l’hypothèse de rigidité absolue des solides 0\text{0}, 1\text{1}, 2\text{2} et 3\text{3} sur la validité du calcul cinématique instantané ?
    • Citer deux phénomènes physiques non pris en compte par ce modèle cinématique pur qui limitent sa précision à grande vitesse de rotation.

💡 Pistes & Indications

Section titled “💡 Pistes & Indications”
  • Question 1 : Utilisez les rotations successives : B0→(z⃗0,ψ)B1\mathcal{B}_0 \xrightarrow{(\vec{z}_0, \psi)} \mathcal{B}_1 puis B1→(x⃗1,θ)B2\mathcal{B}_1 \xrightarrow{(\vec{x}_1, \theta)} \mathcal{B}_2.
  • Question 2 : Rappelez-vous qu’une liaison pivot se caractérise par un torseur dont la résultante cinématique (taux de rotation) est porteur de l’axe de la liaison.
  • Question 3 : V(3/0)=V(3/2)+V(2/1)+V(1/0)\mathcal{V}(\text{3}/\text{0}) = \mathcal{V}(\text{3}/\text{2}) + \mathcal{V}(\text{2}/\text{1}) + \mathcal{V}(\text{1}/\text{0}). Attention à bien ramener tous les torseurs au même point (AA) et dans la même base (B2\mathcal{B}_2) avant addition.
  • Question 5 : Pensez aux notions de déformabilité élastique (souplesse des arbres et des structures) et aux jeux fonctionnels dans les liaisons mécaniques (guidages par roulements).

📋 Corrigé détaillé et analyse des résultats

Section titled “📋 Corrigé détaillé et analyse des résultats”

1. Paramétrage et bases cinématiques

Section titled “1. Paramétrage et bases cinématiques”
  • Base B0(x⃗0,y⃗0,z⃗0)\mathcal{B}_0(\vec{x}_0, \vec{y}_0, \vec{z}_0) liée à 0\text{0}.
  • Base B1(x⃗1,y⃗1,z⃗1)\mathcal{B}_1(\vec{x}_1, \vec{y}_1, \vec{z}_1) liée à 1\text{1} : x⃗1=x⃗0\vec{x}_1 = \vec{x}_0, et la base B1\mathcal{B}_1 se déduit de B0\mathcal{B}_0 par une rotation d’axe z⃗0\vec{z}_0 et d’angle ψ\psi. y⃗1=−sin⁡(ψ)x⃗0+cos⁡(ψ)y⃗0(selon les conventions usuelles)\vec{y}_1 = -\sin(\psi)\vec{x}_0 + \cos(\psi)\vec{y}_0 \quad (\text{selon les conventions usuelles})
  • Base B2(x⃗2,y⃗2,z⃗2)\mathcal{B}_2(\vec{x}_2, \vec{y}_2, \vec{z}_2) liée à 2\text{2} : x⃗2=x⃗1=x⃗0\vec{x}_2 = \vec{x}_1 = \vec{x}_0, et B2\mathcal{B}_2 se déduit de B1\mathcal{B}_1 par une rotation d’axe x⃗1\vec{x}_1 et d’angle θ\theta. y⃗2=cos⁡(θ)y⃗1+sin⁡(θ)z⃗1\vec{y}_2 = \cos(\theta)\vec{y}_1 + \sin(\theta)\vec{z}_1 z⃗2=−sin⁡(θ)y⃗1+cos⁡(θ)z⃗1\vec{z}_2 = -\sin(\theta)\vec{y}_1 + \cos(\theta)\vec{z}_1

2. Torseurs cinématiques élémentaires

Section titled “2. Torseurs cinématiques élémentaires”
  • Le mouvement de 1/0\text{1}/\text{0} est une rotation d’axe (O,z⃗0)(O, \vec{z}_0) : V(1/0)={Ω⃗(1/0)=ψ˙z⃗0V⃗(O∈1/0)=0⃗exprimeˊ en O\mathcal{V}(\text{1}/\text{0}) = \begin{cases} \vec{\Omega}(\text{1}/\text{0}) = \dot{\psi} \vec{z}_0 \\ \vec{V}(O \in \text{1}/\text{0}) = \vec{0} \end{cases}_{\text{exprimé en } O}
  • Le mouvement de 2/1\text{2}/\text{1} est une rotation d’axe (A,x⃗1)(A, \vec{x}_1) : V(2/1)={Ω⃗(2/1)=θ˙x⃗1=θ˙x⃗0V⃗(A∈2/1)=0⃗exprimeˊ en A\mathcal{V}(\text{2}/\text{1}) = \begin{cases} \vec{\Omega}(\text{2}/\text{1}) = \dot{\theta} \vec{x}_1 = \dot{\theta} \vec{x}_0 \\ \vec{V}(A \in \text{2}/\text{1}) = \vec{0} \end{cases}_{\text{exprimé en } A}

3. Composition des torseurs cinématiques

Section titled “3. Composition des torseurs cinématiques”

Par isependance des mouvements et par addition des torseurs au même point AA : V(3/0)=V(3/2)+V(2/1)+V(1/0)\mathcal{V}(\text{3}/\text{0}) = \mathcal{V}(\text{3}/\text{2}) + \mathcal{V}(\text{2}/\text{1}) + \mathcal{V}(\text{1}/\text{0}) Étant donné que 3\text{3} est lié rigide à 2\text{2}, V(3/2)=0\mathcal{V}(\text{3}/\text{2}) = \mathbf{0}.

Exprimons les éléments de réduction en AA :

  • Résultante cinématique : Ω⃗(3/0)=Ω⃗(3/2)+Ω⃗(2/1)+Ω⃗(1/0)=0+θ˙x⃗0+ψ˙z⃗0\vec{\Omega}(\text{3}/\text{0}) = \vec{\Omega}(\text{3}/\text{2}) + \vec{\Omega}(\text{2}/\text{1}) + \vec{\Omega}(\text{1}/\text{0}) = \mathbf{0} + \dot{\theta} \vec{x}_0 + \dot{\psi} \vec{z}_0
  • Champ de vitesse en AA : V⃗(A∈3/0)=V⃗(A∈3/2)+V⃗(A∈2/1)+V⃗(A∈1/0)\vec{V}(A \in \text{3}/\text{0}) = \vec{V}(A \in \text{3}/\text{2}) + \vec{V}(A \in \text{2}/\text{1}) + \vec{V}(A \in \text{1}/\text{0})
    • V⃗(A∈3/2)=0⃗\vec{V}(A \in \text{3}/\text{2}) = \vec{0} (33 lié à 22)
    • V⃗(A∈2/1)=0⃗\vec{V}(A \in \text{2}/\text{1}) = \vec{0} (AA appartient à l’axe de rotation)
    • V⃗(A∈1/0)=V⃗(O∈1/0)+OA⃗∧Ω⃗(1/0)=0⃗+(Hz⃗0)∧(ψ˙z⃗0)=0⃗\vec{V}(A \in \text{1}/\text{0}) = \vec{V}(O \in \text{1}/\text{0}) + \vec{OA} \wedge \vec{\Omega}(\text{1}/\text{0}) = \vec{0} + (H \vec{z}_0) \wedge (\dot{\psi} \vec{z}_0) = \vec{0}

Finalement, au point AA : V(3/0)A={Ω⃗(3/0)=θ˙x⃗0+ψ˙ψ˙z⃗0V⃗(A∈3/0)=0⃗\mathcal{V}(\text{3}/\text{0})_A = \begin{cases} \vec{\Omega}(\text{3}/\text{0}) = \dot{\theta} \vec{x}_0 + \vphantom{\dot{\psi}}\dot{\psi} \vec{z}_0 \\ \vec{V}(A \in \text{3}/\text{0}) = \vec{0} \end{cases}

4. Champ de vitesses

Section titled “4. Champ de vitesses”

Calculons la vitesse absolue du centre de gravité GG par application de la formule du champ des moments (ou champ de vitesses) pour le solide 3\text{3} en mouvement par rapport à 0\text{0} : V⃗(G∈3/0)=V⃗(A∈3/0)+GA→∧Ω⃗(3/0)\vec{V}(G \in \text{3}/\text{0}) = \vec{V}(A \in \text{3}/\text{0}) + \overrightarrow{GA} \wedge \vec{\Omega}(\text{3}/\text{0})

On sait que AG⃗=Ly⃗2\vec{AG} = L \vec{y}_2, donc GA→=−Ly⃗2\overrightarrow{GA} = -L \vec{y}_2. V⃗(G∈3/0)=(−Ly⃗2)∧(θ˙x⃗0+ψ˙z⃗0)\vec{V}(G \in \text{3}/\text{0}) = (-L \vec{y}_2) \wedge (\dot{\theta} \vec{x}_0 + \dot{\psi} \vec{z}_0)

En projetant dans la base B2\mathcal{B}_2 (sachant que x⃗0=x⃗2\vec{x}_0 = \vec{x}_2) : V⃗(G∈3/0)=−Ly⃗2∧(θ˙x⃗2)−Ly⃗2∧(ψ˙z⃗0)\vec{V}(G \in \text{3}/\text{0}) = -L \vec{y}_2 \wedge (\dot{\theta} \vec{x}_2) - L \vec{y}_2 \wedge (\dot{\psi} \vec{z}_0) Or, z⃗0=−sin⁡(θ)y⃗2+cos⁡(θ)z⃗2\vec{z}_0 = -\sin(\theta)\vec{y}_2 + \cos(\theta)\vec{z}_2 (par inversion des relations de passage). Donc : V⃗(G∈3/0)=Lθ˙z⃗2−Lψ˙(y⃗2∧(−sin⁡(θ)y⃗2+cos⁡(θ)z⃗2))\vec{V}(G \in \text{3}/\text{0}) = L\dot{\theta}\vec{z}_2 - L\dot{\psi}\left( \vec{y}_2 \wedge (-\sin(\theta)\vec{y}_2 + \cos(\theta)\vec{z}_2) \right) V⃗(G∈3/0)=Lθ˙z⃗2−Lψ˙cos⁡(θ)x⃗2\vec{V}(G \in \text{3}/\text{0}) = L\dot{\theta}\vec{z}_2 - L\dot{\psi}\cos(\theta)\vec{x}_2

5. Analyse critique et limites du modèle

Section titled “5. Analyse critique et limites du modèle”
  • Impact de l’hypothèse de rigidité : L’hypothèse de solides indéformables pose problème sous l’effet d’une rafale de vent. En réalité, le mât (H=2,5 mH = 2{,}5\text{ m}) et le bras subissent des fléchissements élastiques. Le champ cinématique réel intègre des termes de déformation (champ des déplacements élastiques u⃗(M)≠0⃗\vec{u}(M) \neq \vec{0}), ce qui modifie légèrement la position réelle de GG et induit des erreurs de pointage du panneau solaire que le modèle cinématique pur ne peut détecter.
  • Phénomènes non pris en compte :
    1. Les jeux mécaniques dans les réducteurs et les guidages (contacts non parfaits, hystérésis cinématique).
    2. Les effets dynamiques transitoires (vibrations propres de la structure sous l’effet de lâchers tourbillonnaires ou de rafales, couplage elasto-cinématique).