Cours : Arithmétique et Polynômes

📌 1. Définitions & Cadre d’étude

A. Arithmétique dans $\mathbb{Z}$

Soit $\mathbb{Z}$ l’anneau des entiers relatifs.

• Divisibilité : Soit $(a, b) \in \mathbb{Z}^2$. On dit que $a$ divise $b$ (noté $a \mid b$) s’il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $b = ak$.
• Division euclidienne : Soit $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{N}^*$. Il existe un unique couple $(q, r) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}$ tel que : $a = bq + r \quad \text{avec} \quad 0 \le r < b$
• Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) : Soit $(a, b) \in \mathbb{Z}^2 \setminus \{(0,0)\}$. L’idéal $a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z}$ est principal, engendré par un unique entier positif noté $\gcd(a, b)$ ou $a \land b$.
• Plus Petit Commun Multiple (PPCM) : Soit $(a, b) \in (\mathbb{N}^*)^2$. Le PPCM, noté $\operatorname{lcm}(a, b)$ ou $a \lor b$, est le plus petit entier strictement positif multiple commun de $a$ et $b$.
• Nombres premiers : Un entier $p \ge 2$ est dit premier s’il admet exactement deux diviseurs distincts dans $\mathbb{N}$ : $1$ et $p$. L’ensemble des nombres premiers est noté $\mathcal{P}$.

B. Algèbre des polynômes $\mathbb{K}[X]$ ($\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$)

Soit $\mathbb{K}[X]$ l’espace vectoriel des polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$.

• Définition : Un polynôme $P$ est une suite presque nulle d’éléments de $\mathbb{K}$, notée formellement $P = \sum_{k=0}^{n} a_k X^k$.
• Degré : Pour $P \in \mathbb{K}[X] \setminus \{0\}$, le degré de $P$, noté $\deg(P)$, est le plus grand indice $k$ tel que $a_k \neq 0$. Par convention, $\deg(0) = -\infty$.
• Division euclidienne : Soit $(A, B) \in \mathbb{K}[X]^2$ avec $B \neq 0$. Il existe un unique couple $(Q, R) \in \mathbb{K}[X]^2$ tel que : $A = BQ + R \quad \text{avec} \quad \deg(R) < \deg(B)$
• Racine : Soit $P \in \mathbb{K}[X]$ et $a \in \mathbb{K}$. On dit que $a$ est une racine de $P$ si $P(a) = 0$.
  • Propriété : $a$ est racine de $P$ si et seulement si $(X - a) \mid P$.
  • Ordre de multiplicité : $a$ est racine d’ordre $m \ge 1$ si $(X - a)^m \mid P$ et $(X - a)^{m+1} \nmid P$.

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📐 2. Théorèmes fondamentaux & Démonstrations clés

A. Théorème de Bézout et Lemme de Gauss ($\mathbb{Z}$)

Théorème (Bézout dans $\mathbb{Z}$)

Soit $(a, b) \in \mathbb{Z}^2$. Il existe $(u, v) \in \mathbb{Z}^2$ tel que : $au + bv = \gcd(a, b)$ Corollaire (Lemme de Gauss) : Si $a \mid bc$ et $\gcd(a, b) = 1$, alors $a \mid c$.

Démonstration (Lemme de Gauss) :

Supposons $a \mid bc$ et $\gcd(a, b) = 1$. Par le théorème de Bézout, il existe $u, v \in \mathbb{Z}$ tels que : $au + bv = 1$ Multiplions cette égalité par $c$ : $acu + bcv = c$ On remarque que $a$ divise le premier terme ($acu$) par définition, et $a$ divise le second terme ($bcv$) car $a \mid bc$ (donc $bc = ka$ pour un certain $k \in \mathbb{Z}$, d’où $bcv = kav$). Par conséquent, $a$ divise la somme, soit $a \mid c$. $\blacksquare$

B. Théorème Fondamental de l’Arithmétique

Tout entier $n \ge 2$ se décompose de manière unique (à l’ordre des facteurs près) en produit de facteurs premiers : $n = \prod_{p \in \mathcal{P}} p^{v_p(n)}$ où $v_p(n) \in \mathbb{N}$ et $v_p(n) = 0$ pour presque tout $p$.

C. Théorème de D’Alembert-Gauss

Le corps $\mathbb{C}$ des nombres complexes est algébriquement clos : tout polynôme non constant de $\mathbb{C}[X]$ admet au moins une racine dans $\mathbb{C}$. Corollaire: * Tout polynôme $P \in \mathbb{C}[X]$ de degré $n \ge 1$ se scinde en facteurs de degré 1 : $P = a_n \prod_{k=1}^{r} (X - z_k)^{m_k}$ où les $z_k$ sont les racines distinctes de $P$ de multiplicités respectives $m_k$, avec $\sum_{k=1}^{r} m_k = n$.

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💡 3. Méthodes classiques de résolution

A. Calcul du PGCD : Algorithme d’Euclide

Pour déterminer $\gcd(a, b)$ avec $a > b > 0$, on effectue des divisions euclidiennes successives :

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