Cours : Espaces préhilbertiens et euclidiens

📌 1. Définitions & Cadre d’étude

Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel, avec $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ .

Définition (Forme sesquilinéaire / bilinéaire) : Une application $\langle \cdot, \cdot \rangle : E \times E \to \mathbb{K}$ est dite :
- Sesquilinéaire à gauche (si $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ ) ou bilinéaire (si $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ) : linéaire par rapport à la première variable.
- Antilinéaire à droite ( $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ ) ou linéaire ( $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ) : $\langle x, \lambda y + z \rangle = \bar{\lambda}\langle x, y \rangle + \langle x, z \rangle$ (pour $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ ).
Définition (Hermitienne / Préhilbertienne) : Une application $\langle \cdot, \cdot \rangle$ est un produit scalaire (dans le cas réel) ou hermitien (dans le cas complexe) si elle vérifie :
1. Symétrie / Hermiticité : $\forall (x,y) \in E^2, \; \langle y, x \rangle = \overline{\langle x, y \rangle}$ .
2. Positivité : $\forall x \in E, \; \langle x, x \rangle \in \mathbb{R}_+$ et $\langle x, x \rangle \ge 0$ .
3. Caractère défini : $\forall x \in E, \; (\langle x, x \rangle = 0 \implies x = 0_E)$ .
Vocabulaire :
- Un espace vectoriel muni d’un tel produit scalaire est un espace préhilbertien (réel ou complexe).
- Un espace préhilbertien réel de dimension finie est appelé un espace euclidien.
- Un espace préhilbertien complexe de dimension finie est appelé un espace hermitien.

Tout produit scalaire induit une norme canonique définie par : $\forall x \in E, \; \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$

Définition : Deux vecteurs $x, y \in E$ sont dits orthogonaux (noté $x \perp y$ ) si $\langle x, y \rangle = 0$ .
Famille orthogonale / orthonormée : Une famille $(e_i)_{i \in I}$ est dite orthogonale si $\forall i \neq j, \; \langle e_i, e_j \rangle = 0$ . Elle est orthonormée (FON) si de plus $\forall i, \; \|e_i\| = 1$ .

Énoncé : Soit $(E, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ un espace préhilbertien. Alors : $\forall (x,y) \in E^2, \; |\langle x, y \rangle| \le \|x\| \|y\|$ Il y a égalité si et seulement si la famille $(x,y)$ est liée.
Démonstration : Si $y = 0_E$ , l’inégalité est triviale ( $0 = 0$ ). Supposons $y \neq 0_E$ . Pour tout $\lambda \in \mathbb{K}$ , posons : $f(\lambda) = \|x + \lambda y\|^2 = \langle x + \lambda y, x + \lambda y \rangle = \|x\|^2 + \lambda \langle y, x \rangle + \bar{\lambda} \langle x, y \rangle + |\lambda|^2 \|y\|^2$ En particulier, choisissons $\lambda = -\frac{\langle y, x \rangle}{\|y\|^2}$ . On a : $f(\lambda) = \|x\|^2 - \frac{|\langle x, y \rangle|^2}{\|y\|^2} \ge 0$ D’où $|\langle x, y \rangle|^2 \le \|x\|^2 \|y\|^2$ , ce qui donne le résultat par passage à la racine carrée. Cas d’égalité : Si $f(\lambda) = 0$ pour le $\lambda$ optimal, alors $x + \lambda y = 0_E$ , donc $x$ et $y$ sont colinéaires. Réciproquement, si la famille est liée, le calcul se ramène à une égalité algébrique évidente. $\blacksquare$

Énoncé : $\forall (x,y) \in E^2, \; \|x + y\| \le \|x\| + \|y\|$
Démonstration : $\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + 2 \text{Re}(\langle x, y \rangle) + \|y\|^2 \le \|x\|^2 + 2 |\langle x, y \rangle| + \|y\|^2$ Par Cauchy-Schwarz : $\|x + y\|^2 \le \|x\|^2 + 2 \|x\| \|y\| + \|y\|^2 = (\|x\| + \|y\|)^2$ En prenant la racine carrée, on obtient l’inégalité triangulaire. $\blacksquare$

Énoncé : Si $(x, y) \in E^2$ sont orthogonaux ( $x \perp y$ ), alors : $\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$

Énoncé : Toute famille libre $(e_1, \dots, e_n)$ d’un espace préhilbertien peut être transformée en une famille orthogonale $(u_1, \dots, u_n)$ engendrant les mêmes sous-espaces vectoriels, via la relation de récurrence : $u_1 = e_1 \quad \text{et} \quad u_k = e_k - \sum_{j=1}^{k-1} \frac{\langle e_k, u_j \rangle}{\|u_j\|^2} u_j$

Énoncé : Soit $F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie d’un espace préhilbertien $E$ . Alors : $E = F \oplus F^\perp$ De plus, pour tout $x \in E$ , la projection orthogonale $p_F(x)$ est l’unique élément de $F$ réalisant la distance minimale entre $x$ et $F$ : $d(x, F) = \|x - p_F(x)\| = \min_{y \in F} \|x - y\|$

Calculer une distance d’un vecteur à un sous-espace vectoriel :
- Méthode 1 : Trouver une base orthonormée $(e_1, \dots, e_k)$ de $F$ , puis calculer $p_F(x) = \sum_{i=1}^k \langle x, e_i \rangle e_i$ . La distance est alors $\|x - p_F(x)\|$ .
- Méthode 2 : Utiliser le théorème de Pythagore ou résoudre un système d’équations normales si $F$ est donné par un système d’équations cartésiennes.
Montrer qu’une application est un produit scalaire :
- Vérifier scrupuleusement les trois axiomes : bilinéarité (ou sesquilinéarité), symétrie (ou hermiticité) et positivité.
- Pour la positivité, s’aider d’une écriture sous forme de somme de carrés ou d’une intégrale dont la fonction est positive et continue.
- Pour le caractère défini ( $\langle x, x \rangle = 0 \implies x = 0$ ), utiliser la continuité de la fonction associée ou exploiter le domaine d’définition.
Déterminer l’adjoint d’un endomorphisme (en dimension finie) :
- Par définition, l’adjoint $u^*$ de $u$ vérifie $\forall (x,y) \in E^2, \; \langle u(x), y \rangle = \langle x, u^*(y) \rangle$ .
- En dimension finie, si $M$ est la matrice de $u$ dans une base orthonormée, alors la matrice de $u^*$ dans cette même base est la transconjuguée $M^* = \bar{M}^T$ (ou simplement $M^T$ dans le cas réel).

Piège 1 : Appliquer le procédé de Gram-Schmidt ou supposer l’existence d’un supplémentaire orthogonal sans vérifier que le sous-espace est de dimension finie. (En dimension infinie, un sous-espace fermé n’admet pas toujours un supplémentaire orthogonal, ou $F \oplus F^\perp$ peut être strictement inclus dans $E$ ).
Piège 2 : Confondre matrice orthogonale (qui caractérise les endomorphismes orthogonaux en base orthonormée) et la conservation du produit scalaire dans une base quelconque. Une matrice de passage entre deux bases orthonormales est orthogonale, mais attention aux bases non orthonormées.
Piège 3 : Oublier la conjugaison dans le cas hermitien ( $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ ). Par exemple, $\langle \lambda x, y \rangle = \lambda \langle x, y \rangle$ mais $\langle x, \lambda y \rangle = \bar{\lambda} \langle x, y \rangle$ .
Piège 4 : Utiliser l’inégalité de Cauchy-Schwarz ou le théorème de Pythagore dans un espace vectoriel normé quelconque qui n’est pas préhilbertien (par exemple, les espaces $L^p$ avec $p \neq 2$ ou les espaces munis de la norme infini $\|\cdot\|_\infty$ ). Le produit scalaire est indispensable pour ces notions géométriques strictes.