Exercice 2 : Diagonalisation et polynôme annulateur

🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude

Soit $E$ un espace vectoriel sur le corps $\mathbb{K}$ ( $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ) de dimension finie $n \in \mathbb{N}^*$ . On s’intéresse dans ce problème aux liens étroits entre les propriétés de diagonalisation d’un endomorphisme $u \in \mathcal{L}(E)$ et l’existence de polynômes annulateurs.

Ce type de problématique est central dans les écrits des concours (Mines-Ponts, Centrale-Supélec, X-ENS) car il permet de caractériser la diagonalisabilité sans passer systématiquement par le calcul effectif des valeurs propres et des sous-espaces propres associés.

❓ Questions progressives

Rappels et définitions préliminaires Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ et $P \in \mathbb{K}[X]$ . a) Rappeler la définition d’un polynôme annulateur de $u$ . b) Montrer que l’ensemble $\mathcal{I}_u = \{P \in \mathbb{K}[X] \mid P(u) = 0_{\mathcal{L}(E)}\}$ est un idéal de $\mathbb{K}[X]$ . c) En déduire l’existence et l’unicité d’un polynôme unitaire générateur de $\mathcal{I}_u$ , noté $\pi_u$ , appelé polynôme minimal de $u$ .
Propriétés spectrales et polynôme annulateur Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ et $P \in \mathbb{K}[X]$ un polynôme annulateur de $u$ . a) Soit $\lambda \in \mathbb{K}$ une valeur propre de $u$ et $x \in E$ un vecteur propre associé. Montrer que $P(\lambda) = 0$ . b) En déduire que le spectre $\operatorname{Sp}(u)$ de $u$ est inclus dans l’ensemble des racines de $P$ dans $\mathbb{K}$ .
Caractérisation par les polynômes annulateurs scindés à racines simples Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ . a) On suppose que $u$ est diagonalisable. Montrer qu’il existe un polynôme $P \in \mathbb{K}[X]$ scindé à racines simples sur $\mathbb{K}$ tel que $P(u) = 0_{\mathcal{L}(E)}$ . b) Réciproquement, soit $P \in \mathbb{K}[X]$ un polynôme annulateur de $u$ scindé à racines simples sur $\mathbb{K}$ . Montrer que $u$ est diagonalisable. (Indication : on pourra utiliser une récurrence sur le nombre de racines distinctes de $P$ ou la décomposition en éléments simples).
Application pratique et analyse critique Soit $A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ la matrice définie par : $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ a) Déterminer le polynôme caractéristique de $A$ , noté $\chi_A$ . b) Calculer $(A - 2I_3)(A - 3I_3)$ et en déduire le polynôme minimal $\pi_A$ de $A$ . c) La matrice $A$ est-elle diagonalisable dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ ? Justifier rigoureusement. d) Analyse critique du modèle : Expliquer pourquoi l’étude des polynômes annulateurs est numériquement et théoriquement préférable au calcul direct des sous-espaces propres pour des matrices de grande taille.

💡 Pistes & Indications méthodologiques

Question 1 : Pour montrer qu’un ensemble est un idéal de $\mathbb{K}[X]$ , utilisez la caractérisation usuelle (non-vide, stable par combinaison linéaire, et absorbant par multiplication par un polynôme arbitraire). L’unicité du polynôme minimal unitaire découle de la structure d’anneau principal de $\mathbb{K}[X]$ .
Question 2 : Appliquez l’endomorphisme $P(u)$ au vecteur propre $x$ associé à $\lambda$ . Écrivez $P(X) = \sum_{k=0}^{d} a_k X^k$ et remarquez que $u^k(x) = \lambda^k x$ .
Question 3 :
- Sens direct : Exprimez $E$ comme la somme directe des sous-espaces propres et construisez $P(X) = \prod_{i=1}^{r} (X - \lambda_i)$ où les $\lambda_i$ sont les valeurs propres distinctes.
- Sens indirect : Utilisez le théorème de décomposition des noyaux (ou une récurrence) associé au fait que si $P(u) = 0$ avec $P = \prod_{i=1}^r (X - \lambda_i)$ à racines simples, alors $\ker(u - \lambda_i \operatorname{id}_E)$ est en somme directe et reconstitue $E$ .
Question 4 : Pour le calcul matriciel, effectuez le produit par blocs ou par calcul direct. Attention au fait que $\chi_A$ et $\pi_A$ n’ont pas nécessairement les mêmes facteurs irréductibles, bien qu’ils aient les mêmes racines.

📋 Corrigé détaillé pas à pas

1. Rappels et définitions préliminaires

a) Un polynôme $P \in \mathbb{K}[X]$ est dit annulateur de $u \in \mathcal{L}(E)$ si $P(u) = 0_{\mathcal{L}(E)}$ .

b) Posons $\mathcal{I}_u = \{P \in \mathbb{K}[X] \mid P(u) = 0_{\mathcal{L}(E)}\}$ .

Non-vacuité : Le polynôme nul $0$ vérifie $0(u) = 0_{\mathcal{L}(E)}$ , donc $0 \in \mathcal{I}_u$ (et $\mathcal{I}_u$ contient aussi le polynôme caractéristique d’après le théorème de Cayley-Hamilton).
Stabilité par combinaison linéaire : Soient $(P, Q) \in \mathcal{I}_u^2$ et $(\alpha, \beta) \in \mathbb{K}^2$ . On a : $(\alpha P + \beta Q)(u) = \alpha P(u) + \beta Q(u) = \alpha 0_{\mathcal{L}(E)} + \beta 0_{\mathcal{L}(E)} = 0_{\mathcal{L}(E)}$ Donc $\alpha P + \beta Q \in \mathcal{I}_u$ .
Absorption : Soit $P \in \mathcal{I}_u$ et $A \in \mathbb{K}[X]$ . On a : $(AP)(u) = A(u) \circ P(u) = A(u) \circ 0_{\mathcal{L}(E)} = 0_{\mathcal{L}(E)}$ Donc $AP \in \mathcal{I}_u$ . Ainsi, $\mathcal{I}_u$ est un idéal de $\mathbb{K}[X]$ .

c) L’anneau $\mathbb{K}[X]$ étant un anneau principal (car $\mathbb{K}$ est un corps), tout idéal de $\mathbb{K}[X]$ est principal. Par conséquent, l’idéal $\mathcal{I}_u$ s’écrit sous la forme $\mathcal{I}_u = \pi_u \mathbb{K}[X]$ où $\pi_u \in \mathbb{K}[X]$ . Puisque les générateurs d’un idéal principal non nul diffèrent d’une constante multiplicative non nulle près, il existe un unique polynôme générateur unitaire (de coefficient dominant égal à $1$ ), que l’on appelle le polynôme minimal de $u$ .

2. Propriétés spectrales et polynôme annulateur

a) Soit $\lambda \in \operatorname{Sp}(u)$ et $x \in E \setminus \{0_E\}$ tel que $u(x) = \lambda x$ . Par récurrence immédiate, pour tout entier $k \in \mathbb{N}$ , on a $u^k(x) = \lambda^k x$ . Soit $P(X) = \sum_{k=0}^{d} a_k X^k \in \mathcal{I}_u$ . En évaluant $P(u)$ en $x$ , il vient : $0_E = P(u)(x) = \left(\sum_{k=0}^{d} a_k u^k\right)(x) = \sum_{k=0}^{d} a_k u^k(x) = \sum_{k=0}^{d} a_k \lambda^k x = \left(\sum_{k=0}^{d} a_k \lambda^k\right) x = P(\lambda) x$ Comme $x \neq 0_E$ , on en déduit nécessairement que $P(\lambda) = 0$ .

b) D’après la question précédente, pour toute valeur propre $\lambda$ de $u$ , $\lambda$ est racine de tout polynôme annulateur $P$ de $u$ . En particulier, $\lambda$ est racine du polynôme minimal $\pi_u$ . Par conséquent, $\operatorname{Sp}(u) \subseteq \{\lambda \in \mathbb{K} \mid P(\lambda) = 0\}$ .

3. Caractérisation par les polynômes annulateurs scindés à racines simples

a) Supposons $u$ diagonalisable. Il existe une base de $E$ formée de vecteurs propres de $u$ . Soit $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_r$ les valeurs propres distinctes de $u$ . Considérons le polynôme $P(X) = \prod_{i=1}^{r} (X - \lambda_i)$ . Par définition, $P$ est scindé à racines simples sur $\mathbb{K}$ . Soit $x \in E$ . Comme $E = \bigoplus_{i=1}^r \ker(u - \lambda_i \operatorname{id}_E)$ , il existe des vecteurs $x_i \in \ker(u - \lambda_i \operatorname{id}_E)$ tels que $x = \sum_{i=1}^r x_i$ . Alors, pour tout $j \in \{1, \dots, r\}$ , l’endomorphisme $(u - \lambda_j \operatorname{id}_E)$ annule $x_j$ . Puisque les facteurs commutent entre eux, on a : $P(u)(x) = \left(\prod_{i=1}^{r} (u - \lambda_i \operatorname{id}_E)\right)\left(\sum_{j=1}^r x_j\right) = \sum_{j=1}^r \left(\prod_{i=1}^{r} (u - \lambda_i \operatorname{id}_E)\right)(x_j)$ Dans le produit pour l’indice $j$ , le terme $(u - \lambda_j \operatorname{id}_E)$ est présent et s’applique à $x_j$ , ce qui donne $0_E$ . Ainsi, chaque terme de la somme est nul, donc $P(u)(x) = 0_E$ pour tout $x \in E$ , ce qui signifie que $P(u) = 0_{\mathcal{L}(E)}$ .

b) Réciproquement, soit $P \in \mathbb{K}[X]$ un polynôme annulateur de $u$ scindé à racines simples. Notons $\lambda_1, \dots, \lambda_r$ ses racines distinctes. On a donc : $P(X) = \prod_{i=1}^{r} (X - \lambda_i)$ avec $\lambda_i \neq \lambda_j$ si $i \neq j$ . Par le théorème de décomposition des noyaux (les polynômes $(X - \lambda_i)$ étant deux à deux premiers entre eux), on a : $\ker(P(u)) = \bigoplus_{i=1}^{r} \ker(u - \lambda_i \operatorname{id}_E)$ Puisque $P(u) = 0_{\mathcal{L}(E)}$ , on a $\ker(P(u)) = E$ . Par suite : $E = \bigoplus_{i=1}^{r} \ker(u - \lambda_i \operatorname{id}_E)$ Par définition, pour tout $i \in \{1, \dots, r\}$ , $\ker(u - \lambda_i \operatorname{id}_E)$ est soit réduit à $\{0_E\}$ (si $\lambda_i \notin \operatorname{Sp}(u)$ ), soit égal au sous-espace propre associé à la valeur propre $\lambda_i$ . En sommant une base de chacun de ces sous-espaces non triviaux, on obtient une base de $E$ constituée de vecteurs propres de $u$ . Par conséquent, $u$ est diagonalisable.

4. Application pratique et analyse critique

a) Calculons le polynôme caractéristique de $A$ : $\chi_A(X) = \det(X I_3 - A) = \begin{vmatrix} X - 2 & -1 & -1 \\ 0 & X - 2 & -1 \\ 0 & 0 & X - 3 \end{vmatrix}$ Puisque la matrice est triangulaire supérieure, son déterminant est le produit de ses coefficients diagonaux : $\chi_A(X) = (X - 2)^2 (X - 3)$

b) Calculons explicitement les matrices $(A - 2I_3)$ et $(A - 3I_3)$ : $A - 2I_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad A - 3I_3 = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ Effectuons le produit $(A - 2I_3)(A - 3I_3)$ : $(A - 2I_3)(A - 3I_3) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ Le polynôme $(X - 2)(X - 3)$ n’est donc pas annulateur de $A$ . D’après le théorème de Cayley-Hamilton, $\chi_A(A) = 0_{\mathcal{M}_3(\mathbb{R})}$ , donc $\pi_A$ divise $\chi_A = (X - 2)^2(X - 3)$ . Les seuls candidats pour $\pi_A$ sont :

$(X - 2)(X - 3)$ (éliminé car le produit calculé ci-dessus n’est pas nul)
$(X - 2)^2(X - 3)$

Par conséquent, le polynôme minimal de $A$ est $\pi_A(X) = (X - 2)^2(X - 3)$ .

c) Le polynôme minimal de $A$ , $\pi_A(X) = (X - 2)^2(X - 3)$ , possède une racine double ( $\lambda = 2$ ). D’après la question 3, un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé à racines simples. Ici, $\pi_A$ n’est pas à racines simples, donc la matrice $A$ n’est pas diagonalisable.

d) Analyse critique du modèle : Le calcul direct des sous-espaces propres (résolution de systèmes linéaires paramétriques de type $(A - \lambda I_3)X = 0$ ) devient extrêmement lourd et numériquement instable pour des matrices de grande dimension ( $n \gg 3$ ), en raison des erreurs d’arrondi en calcul flottant qui faussent le calcul exact du rang. En revanche, l’utilisation des polynômes annulateurs et du polynôme minimal offre une approche algébrique globale : elle permet de tester la diagonalisabilité ou d’obtenir des décompositions spectrales sans nécessairement expliciter l’ensemble des vecteurs propres, ce qui constitue une économie algorithmique majeure en calcul scientifique.