Exercice 1 : Cotation fonctionnelle

PROBLÈME GUIDÉ CORRIGÉ : COTATION FONCTIONNELLE ET SPÉCIFICATION GPS

Filière : CPGE - Classes Préparatoires aux Grandes Écoles (Filière PT)
Matière : Sciences Industrielles de l’Ingénieur (SII)
Chapitre: ** Procédés d’industrialisation et Spécification GPS
Thème : Analyse de la chaîne de cotes et optimisation de la tolérance fonctionnelle

Préambule et Objectifs

En tant qu’examinateur de concours, j’attends des candidats de la filière PT une rigueur absolue dans la démarche menant de l’expression du besoin (fonction de service) à l’écriture de la condition fonctionnelle, puis à la résolution algébrique des chaînes de cotes.

Ce problème aborde l’étude d’un mécanisme de transmission de puissance pour lequel on souhaite garantir un jeu minimal de fonctionnement afin d’éviter tout arc-boutement.

1. Description du système et Mise en situation

Le mécanisme étudié extrait d’un réducteur industriel est représenté schématiquement par l’ensemble des 4 pièces principales suivantes :

Pièce 1 : Carter (bâti de référence).
Pièce 2 : Arbre menant.
Pièce 3 : Roulement à contacts obliques (butée).
Pièce 4 : Couvercle de fermeture.

L’objectif de l’étude est de garantir un jeu fonctionnel $J$ entre l’arbre (Pièce 2) et le couvercle (Pièce 4) afin d’absorber les dilatations thermiques sans contraindre axialement le roulement (Pièce 3).

La condition fonctionnelle s’exprime par le respect de l’intervalle : $J_{\min} \le J \le J_{\max}$

2. Guidage pas à pas

Étape 1 : Tracé de la chaîne de cotes et identification des conditions

Question 1.1 : Définir la condition fonctionnelle $J$ sous forme de cote conditionnelle (ou cote fermée) sur le schéma d’ensemble.
Correction: **
La condition $J$ est le jeu axial entre la face d’extrémité de l’arbre (2) et la face interne du couvercle (4). Le vecteur représentant la condition $J$ est orienté de la pièce 4 vers la pièce 2 (par convention, du dernier élément vers le premier, ou selon le sens de lecture du jeu).

Question 1.2 : Établir le graphe des liaisons et identifier les surfaces de contact participant à la chaîne de cotes.
Correction: **
Les surfaces en contact sont :

Contact entre Carter (1) et Roulement (3).
Contact entre Roulement (3) et Arbre (2) (par épaulement).
Contact entre Carter (1) et Couvercle (4).

Étape 2 : Écriture de la relation vectorielle et algébrique

Question 2.1 : Projeter la chaîne de cotes sur l’axe horizontal $\vec{x}$ lié au bâti (Carter 1).
Correction: **
L’équation vectorielle de la chaîne de cotes s’écrit sous la forme fermée : $\vec{J} + \sum \vec{C}_i = \vec{0}$

En projetant sur l’axe $\vec{x}$ orienté positivement vers la droite : $J + C_4 - C_3 - C_2 = 0$ (attention au sens des vecteurs des cotes composantes).

Mettons cela sous la forme standard où la cote conditionnelle est isolée : $J = C_2 + C_3 - C_4$ (Où $C_2$ , $C_3$ , $C_4$ sont les cotes nominales des pièces 2, 3 et 4).

Étape 3 : Application Numérique et Calcul des Tolérances

On donne les caractéristiques nominales et les tolérances des pièces (valeurs en $\text{mm}$ ) :

Cote de l’arbre : $C_2 = 120 \pm 0,15$ $\text{mm}$ (soit $IT_2 = 0,30\text{ mm}$ )
Cote du roulement : $C_3 = 40 \pm 0,05$ $\text{mm}$ (soit $IT_3 = 0,10\text{ mm}$ )
Cote du couvercle/carter : $C_4 = 158 \pm 0,20$ $\text{mm}$ (soit $IT_4 = 0,40\text{ mm}$ )

Question 3.1 : Calculer la valeur nominale de la condition $J$ , notée $J_0$ .
Correction: ** $J_0 = C_{20} + C_{30} - C_{40}$ $J_0 = 120 + 40 - 158 = 2\text{ mm}$

Question 3.2 : Calculer l’Intervalle de Tolérance de la condition ( $IT_J$ ).
Correction: **
L’intervalle de tolérance de la cote fermée est la somme arithmétique de tous les intervalles de tolérance des cotes composantes (qu’elles soient sens ”+” ou sens ”-”) : $IT_J = IT_2 + IT_3 + IT_4$ $IT_J = 0,30 + 0,10 + 0,40 = 0,80\text{ mm}$

Question 3.3 : En déduire les valeurs extrêmes du jeu $J_{\min}$ et $J_{\max}$ .
Correction: ** Le jeu minimal correspond au cas le plus défavorable pour le risque de blocage : $J_{\min} = J_0 - \frac{IT_J}{2} = 2 - \frac{0,80}{2} = 2 - 0,40 = 1,60\text{ mm}$

Le jeu maximal correspond au cas de grand jeu : $J_{\max} = J_0 + \frac{IT_J}{2} = 2 + 0,40 = 2,40\text{ mm}$

On a donc : $J \in [1,60\text{ mm} ; 2,40\text{ mm}]$ .

3. Analyse Critique des Résultats (Attendu du Juge)

Question 4 : Le cahier des charges fonctionnel impose un jeu strict $J \in [0,5\text{ mm} ; 1,5\text{ mm}]$ . L’actuelle chaîne de cotes valide-t-elle ce besoin ? Justifier et proposer une amélioration technologique ou économique.

Correction et Analyse Critique :

Constat : Notre calcul donne $J_{\min} = 1,60\text{ mm}$ et $J_{\max} = 2,40\text{ mm}$ . Le jeu minimal réel ( $1,60\text{ mm}$ ) est supérieur au maximum autorisé par le cahier des charges ( $1,5\text{ mm}$ ). Le mécanisme présente un jeu excessif, ce qui peut engendrer des chocs axiaux et du bruit lors de l’inversion du mouvement. Le CDC n’est pas respecté.
Analyse des causes :
- La cote nominale $C_{40}$ du carter/couvercle est inadaptée ( $158\text{ mm}$ au lieu de $159\text{ mm}$ ).
- L’intervalle de tolérance global $IT_J = 0,80\text{ mm}$ est trop large par rapport aux exigences sévères du guidage.
Solutions correctives :
- Action sur les cotations : Resserrer les tolérances d’usinage des pièces 2 et 4, ce qui va augmenter le coût de fabrication (processus d’usinage plus précis requis, passage par exemple de fraisage standard à de la rectification).
- Action par réglage (recommandée en construction mécanique) : Introduire une cale d’épaisseur réglable sous le couvercle (Pièce 4) pour rattraper la dispersion cumulée des chaînes de cotes sans exiger des tolérances de fabrication trop onéreuses.