Cours : Interférences et diffraction

Fiche de Cours : Interférences et diffraction

Classe: ** MP (Deuxième année)
Matière : Physique-Chimie

I. Introduction et Outils Préliminaires

1. Modélisation de la lumière

On adopte le modèle de l’optique ondulatoire. Une onde lumineuse monochromatique de pulsation $\omega$ et de vecteur d’onde $\vec{k}$ (dans le vide, de norme $k = \frac{\omega}{c} = \frac{2\pi}{\lambda}$ ) est représentée par une grandeur complexe, le champ électrique $\underline{\vec{E}}(\vec{r}, t)$ : $\underline{\vec{E}}(\vec{r}, t) = \underline{\vec{E}}_0(\vec{r}) e^{j(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r})}$

2. Intensité lumineuse (Éclairement)

L’humain et les récepteurs (caméras, photodiodes) sont insensibles au champ électrique $\vec{E}$ en raison de la fréquence optique extrêmement élevée ( $\nu \sim 10^{14}\text{ Hz}$ ). Ils mesurent la valeur temporelle moyenne du vecteur de Poynting, appelée intensité lumineuse $I$ (ou éclairement) : $I = \langle \|\frac{1}{\mu_0} \vec{E} \wedge \vec{B}\| \rangle_T \propto \langle \|\underline{\vec{E}}\|^2 \rangle_T$ Par convention, en posant une constante multiplicative égale à 1 (ou en choisissant une amplitude normée), on retiendra : $I = n \varepsilon_0 c \langle \|\underline{\vec{E}}\|^2 \rangle_T$

II. Interférences Lumineuses

1. Définitions et Conditions d’interférence

Soit un point $M$ éclairé par deux sources secondaires $S_1$ et $S_2$ issues d’une même source primaire. Les champs reçus en $M$ sont $\underline{\vec{E}}_1$ et $\underline{\vec{E}}_2$ . Le champ total est $\underline{\vec{E}} = \underline{\vec{E}}_1 + \underline{\vec{E}}_2$ .

L’intensité totale en $M$ s’écrit : $I = \langle \|\underline{\vec{E}}_1 + \underline{\vec{E}}_2\|^2 \rangle_T = I_1 + I_2 + 2 \langle \text{Re}(\underline{\vec{E}}_1 \cdot \underline{\vec{E}}_2^*) \rangle_T$ Où $I_1 = \langle \|\underline{\vec{E}}_1\|^2 \rangle$ et $I_2 = \langle \|\underline{\vec{E}}_2\|^2 \rangle$ sont les intensités propres.

Le terme croisé $I_{12} = 2 \langle \text{Re}(\underline{\vec{E}}_1 \cdot \underline{\vec{E}}_2^*) \rangle_T$ est le terme d’interférence.

Définition (Cohérence) : Pour observer des interférences stables dans le temps, le terme d’interférence doit être non nul en moyenne. Les sources doivent être synsynchrones (même fréquence) et cohérentes (différence de phase temporelle constante).

2. Formule de Fresnel

Si les ondes sont polarisées rectilignement selon la même direction $\vec{u}$ , on pose : $\underline{E}_1 = E_1_0 e^{j(\omega t - \phi_1)}$ et $\underline{E}_2 = E_2_0 e^{j(\omega t - \phi_2)}$ . L’intensité s’exprime par la formule de Fresnel : $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos(\Delta \varphi)$ Où $\Delta \varphi = \phi_2 - \phi_1$ est la différence de phase (ou déphasage) entre les deux ondes au point $M$ .

Interférences constructives (intensité maximale) : $\Delta \varphi = 2k\pi$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ) $\implies I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ .
Interférences destructives (intensité minimale) : $\Delta \varphi = (2k+1)\pi$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ) $\implies I_{\min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ .
Contraste (ou visibilité) : $\mathcal{V} = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}} = \frac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1 + I_2}$

3. Lien avec la différence de marche ( $\delta$ )

La différence de phase $\Delta \varphi$ est liée au chemin optique parcouru. Le chemin optique $S$ est défini par $S = \int_{(Path)} n(M) dl$ . La différence de marche au point $M$ entre les chemins $S_2M$ et $S_1M$ est : $\delta = [S_2M] - [S_1M]$ On relie $\Delta \varphi$ et $\delta$ par la relation fondamentale : $\Delta \varphi = \frac{2\pi}{\lambda_0} \delta = k_0 \delta$ Où $\lambda_0$ est la longueur d’onde dans le vide.

III. Dispositifs Interférentiels

1. Fentes d’Young

Dispositif : Deux fentes $S_1$ et $S_2$ distantes de $a$ , éclairées par une source monochromatique à la distance $D$ de l’écran ( $a \ll D$ ).
Calcul de $\delta$ (approximation paraxiale) : Dans le plan de l’écran de coordonnées $(x, y)$ , l’axe Ox étant dirigé suivant $S_1S_2$ : $\delta \approx \frac{ax}{D}$
Interfrange $i$ : L’interfrange est la distance séparant deux franges brillantes consécutives ( $\Delta \delta = \lambda_0$ ) : $i = \frac{\lambda_0 D}{a}$
Caractéristique : Les franges d’interférence sont des droites rectilignes parallèles équidistantes.

2. Coins d’air et anneaux de Newton (Divisions d’amplitude)

Diviseurs d’amplitude : Lame à faces parallèles, coin d’air (deux plans formant un angle faible $\alpha$ ), anneaux de Newton (lenteur sphérique sur plan).
Localisation : Les interférences par division d’amplitude sont non isobares mais localisées (par exemple, à l’infini pour une lame à faces parallèles avec une lentille, ou sur le coin d’air lui-même).
Ordre d’interférence $p$ : $\delta = p \lambda_0$ .
Pour un coin d’air d’épaisseur $e(x) = \alpha x$ , $\delta = 2n e(x) + \delta_0$ (où $\delta_0$ tient compte du déphasage par réflexion sur un milieu plus réfringent, souvent égal à $\lambda_0/2$ ).

IV. Diffraction de la Lumière

1. Phénomène de diffraction

La diffraction se produit lorsqu’une onde rencontre une ouverture ou un obstacle dont les dimensions caractéristiques sont du même ordre de grandeur que la longueur d’onde $\lambda$ . Elle traduit l’incapacité de la lumière à se propager strictement en ligne droite (limite de l’optique géométrique).

2. Formalisme de Fraunhofer (Diffraction à l’infini)

Dans l’approximation de Fraunhofer (sources et écran rejetés à l’infini, ou utilisation de lentilles convergentes), l’amplitude complexe de l’onde diffractée dans une direction repérée par les angles $(\theta_x, \theta_y)$ ou par le vecteur d’onde $\vec{k}$ est proportionnelle à la transformée de Fourier spatiale de la fonction de transmission de l’ouverture $\underline{t}(x,y)$ : $\underline{E}(M) \propto \iint_{\text{Ouverture}} \underline{t}(x,y) e^{-j (\frac{2\pi}{\lambda})(ux + vy)} dx dy$

3. Exemples classiques (à connaître par cœur)

Fente infiniment longue de largeur $a$ (selon $x$ ) : L’intensité lumineuse sur l’écran (coordonnée $x'$ à la distance $F'$ focalisante de la lentille) s’exprime à l’aide de la fonction $\text{sinc}$ ( $\text{sinc}(u) = \frac{\sin u}{u}$ ) : $I(x') = I_0 \left( \text{sinc}\left( \frac{\pi a x'}{\lambda f'} \right) \right)^2$
- Largeur de la tache centrale : $L = \frac{2\lambda f'}{a}$ .
Ouverture circulaire de diamètre $d$ (ou rayon $R = d/2$ ) : L’intensité diffractée dans le plan focal (coordonnée radiale $r'$ ) fait intervenir la fonction de Bessel de première espèce et d’ordre 1, $J_1$ : $I(r') = I_0 \left( \frac{2 J_1(\pi d r' / \lambda f')}{\pi d r' / \lambda f'} \right)^2$
- Critère de Rayleigh de résolution : Deux sources ponctuelles sont résolues si le maximum de la tache de diffraction de l’une coïncide avec le premier annulaire sombre de l’autre. L’écart angulaire limite de résolution est : $\theta_{\min} \approx 1{,}22 \frac{\lambda}{d}$

V. Méthodes et Savoir-Faire

Méthode 1 : Calculer une différence de marche $\delta$ .
1. Tracer les rayons lumineux issus des sources jusqu’au point $M$ .
2. Exprimer les longueurs géométriques exactes à l’aide de Pythagore.
3. Effectuer un développement limité (approximation paraxiale $x, y \ll D$ ) pour obtenir $\delta$ au premier ordre non nul.
Méthode 2 : Traiter un système interférentiel couplé à la diffraction (Ex : Fentes d’Young finies). L’intensité globale est le produit de l’intensité d’interférences pure par le facteur de diffraction dû à la largeur finie d’une fente : $I(x) = I_{\text{diffraction}}(x) \times [1 + \cos(\Delta \varphi)]$ Conséquence : Les franges d’interférence sont “modulées” par l’enveloppe de diffraction. Des franges peuvent disparaître (zémoins d’intensité) si un maximum d’interférence coïncide avec un minimum de diffraction.

VI. Pièges et Erreurs Classiques à Éviter

Confondre $\Delta \varphi$ et $\delta$ : $\Delta \varphi$ est sans dimension (en radians), $\delta$ est une longueur (en mètres). La formule de passage est $\Delta \varphi = \frac{2\pi}{\lambda_0}\delta$ . Ne jamais écrire $\Delta \varphi = \delta$ .
Oublier les conditions de cohérence temporelle / spatiale : Des sources indépendantes (deux lasers distincts, deux lampes à incandescence) n’interfèrent pas car leurs phases initiales fluctuent de manière aléatoire et non corrélée ( $\langle \cos(\Delta \varphi) \rangle = 0$ ).
Erreur de signe dans le déphasage à l’origine (ou par réflexion) : Une onde réfléchie sur un milieu plus réfringent ( $n_2 > n_1$ ) subit un saut de phase de $\pi$ , ce qui équivaut à ajouter $\frac{\lambda_0}{2}$ à la différence de marche (ou $\pi$ à la phase).
Mauvaise manipulation de l’approximation paraxiale : Dans les développements limités de $\sqrt{D^2 + (x-a)^2}$ , utiliser systématiquement $\sqrt{1+u} \approx 1 + \frac{1}{2}u - \frac{1}{8}u^2$ si le terme d’ordre 1 s’annule par symétrie.